1.3 时域与频域中的信号
1.3.1 时域中的信号
人们对时间比较敏感，每时每刻都与时域事件发生联系。在时域中，信号的幅度随时间变化而变化——这是示波器常用的显示模式。
描述电信号最直观的途径是采用时域表象方式，即给出电压和电流随时间变化的关系。早期的信号观察主要依赖于示波器在时域内观察信号。示波器所显示的是信号的时域表象，它显示了实际电信号的瞬时值随时间的变化，这是在时域中观察信号的波形。图1.12是示波器检测到的一个20MHz的信号波形（正弦波），图1.13则是一个复杂的时域波形。
图1.12 示波器检测到的一个20MHz的信号波形
图1.13 一个复杂的时域波形
我们可用示波器来观察实际电信号的瞬时值。换句话说，我们用示波器在时域中观察信号的波形。傅里叶变换告诉我们任何时域电信号都是由一个或多个不同频率、不同幅度与不同相位的正弦波组成的。通过适当的滤波，可将如图1.13所示的复杂的时域信号分解成多个能独立评估的正弦波信号，或频谱成分。
1.3.2 时域和频域的关系
在时域中观察如图1.12所示的信号，好像是一个单一的正弦波信号。但是，如果用频谱分析仪观察这个20MHz的正弦波信号，会发现除20MHz的信号外，还有20MHz信号的谐波，如图1.14所示。
图1.14 用频谱分析仪观察20MHz的正弦信号
比较在时域内观察到的结果（见图1.12）和在频域内观察到的结果（见图1.14），可以清楚地看出在频域内观察信号的必要性。
时域得到的是信号的波形信息，不能测量混合信号，如果存在干扰或失真信号，在时域上无法区分有用信号和无用信号。在频域上可以准确地测量有用信号和无用信号的各种参数。电子信号可用示波器在时域中观察，也可通过频谱分析仪在频域中观察，但在用示波器无法观察到频域内的信息时，应用频域测量，就能以频谱的形式显示出每个正弦波的幅度随频率变化的情况。
这是否意味着我们无须进行时域测量？也不尽然，对于许多测量来说，实施时域测量会更好些，而有些测量则只能在时域中进行。例如，脉冲的上升沿、下降沿，测量过冲和振铃等就只能在时域中测量。
1. 傅氏级数
信号在时域和频域中的显示通过傅里叶变换来进行。构造频域与时域之间联系的那些基本知识通常被称为傅氏理论
（傅里叶原理）。傅氏理论告诉我们：任何时域内电信号都是由一个或多个不同频率、不同幅度和不同相位的正弦波组成的（见图1.15）。
图1.15 任何时域内的电信号都可以由正弦波相加得到
如图1.13所示的复杂的时域波形可用图1.16来表示它在时域与频域显示之间的关系。
图1.16 时间与频率的关系
每个时域中的信号变量都有一个频谱表象。按照傅氏理论，时域中的任何周期信号都来自于不同频率、不同幅度的正弦信号和余弦信号的组合。时域中的周期信号可通过傅里叶级数（正弦和余弦级数）展开。
图1.17是一些周期信号在时域和频域中的显示。
图1.17 时域和频域中的周期信号（幅度谱）
周期信号的频谱有如下特点。
（1）周期信号的频谱具有离散性。频谱是离散的，由无穷多个冲激函数组成。
（2）周期信号的频谱具有谐波性。谱线只在基波频率的整数倍上出现，谱线代表的是基波及其高次谐波分量的幅度或相位信息。
（3）周期信号的频谱具有收敛性。各次谐波的幅度随着谐波次数的增大而逐渐减小。
时域内的重复周期与频域内谱线的间隔成反比，周期越大，谱线越密集。当时域内的波形向非周期信号渐变时，频域内的离散谱线会逐渐演变成连续频谱。
2. 傅氏变换
傅氏级数仅限于表示周期信号。非周期信号可以通过傅氏变换在频域中表示。
一个时域信号x（t）的傅氏变换是
式中 X（f）——信号的频域表示；
x（t）——信号的时域表示。
按照定义，傅氏级数的表达式中只包含基频及其谐波，它的频谱不仅是离散的，而且只在谐波处才出现。
傅氏变换将时域信号变换成连续的频域表达形式。傅氏变换不仅可以表示离散频率，而且更经常用来表示频域中的连续分布，因此，时域中的单次时间（如脉冲）也可以在频域中表示。图1.18是一些非周期信号在时域和频域中的显示。
图1.18 非周期信号在时域和频域中的显示
图1.18 非周期信号在时域和频域中的显示（续）
傅氏变换不直接用在测量系统中去反映信号的频域表示。离散傅氏变换（DFT）是傅氏变换的离散形式，它能将时域中的取样信号变换成频域中的取样信号表达形式。对时域中的真实信号进行数字化并完成离散傅氏变换，便形成信号的频域表示。因此，傅氏变换不仅仅是一种分析工具，它可以用在频谱或网络分析仪中直接计算所需要的结果。
快速傅氏变换（Fast Fourier Transfonn，FFT）是实现离散傅氏变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的一种极其迅速而有效的算法。FFT的基本原理是J．W．Cooley和J．W．Tukey于1965年提出来的。FFT算法经过仔细选择和重新排列中间的计算结果，使最终完成速度较之离散傅氏变换有了明显的提高。可以将它看做是一种有效的时-频域分析手段，它在如今的一些数字式示波器中有着广泛的应用。图1.19是一个泰克示波器的FFT画面。
图1.19 一个泰克示波器的FFT画面