第1章 矢量分析与场论

也许你会发现，在这门课程中，我们几乎总是在和“场”打交道。实际上，我们周围的物理世界中的确存在着各种各样的场。例如，自由落体现象说明存在着重力场，指南针的偏转现象说明存在着磁场，人们对冷暖的感觉说明空间分布着温度场，等等。从数学的观点出发，一个场中的每一点所具有的物理特性，都可以用一个或几个确定的物理量来描述。然而，当这些描述场点特性的物理量不仅与大小有关，还与方向有关时，通常需要使用矢量来表示它们。

矢量在空间的分布构成了所谓的矢量场，分析矢量场在空间的分布和变化情况时，会涉及矢量的分析方法和场论的概念，为了后面各章学习的需要，有必要首先了解矢量代数及场论的相关知识。

1.1 矢量的表示和运算

1.1.1 矢量与标量

只有大小而不包含方向的物理量称为标量，如温度、电位、能量、长度、时间等都是标量。由标量所描述的场称为标量场。

既有大小又包含方向的物理量称为矢量，也称为向量，如力、速度、加速度、电场强度、磁场强度、电流密度等都是矢量。由矢量所描述的场称为矢量场。

根据我国有关符号使用标准，使用黑斜体字母来表示矢量，如A。矢量A的大小称为矢量的模，表示为丨A丨或A，矢量的方向可用单位矢量表示，如ea。单位矢量是指长度（模）为1个单位的矢量，所以可用它表示方向。在几何描述上，如图1.1所示的矢量A，线段长度代表它的大小（模），线段的方向表示它的方向。

图1.1所示的矢量A在一维笛卡儿坐标系（又称为直角坐标系）中表示为

式中，A称为矢量A的模；ea描述了矢量A的方向。

在二维笛卡儿坐标系中，矢量A表示为

式中，矢量A的模为，而ex和ey则分别为x轴和y轴方向上的单位矢量，矢量A的方向是由ex和ey来描述的。式（1.2）中的Ax和Ay分别为A在笛卡儿坐标系中的x轴分量和y轴分量，也可以说是A的两个分量函数。

在三维笛卡儿坐标系中，矢量A表示为

式中，矢量A的模为，而ex、ey和ez则分别为笛卡儿坐标系x、y和z轴三个方向上的单位矢量，A的方向是由ex、ey和ez来描述的。式（1.3）中的Ax、Ay和Az分别为A在笛卡儿坐标系中的x轴分量、y轴分量和z轴分量，也可以说是A的三个分量函数。

1.1.2 矢量的代数运算

1.矢量的加法和减法

矢量加法是矢量之和，两个矢量之和服从平行四边形规则，如图1.2（a）所示。从代数运算的角度来看，两个矢量相加等于两矢量的对应坐标分量之和，即

矢量相加满足交换律与结合律，即

A+B=B+A（交换律）

A+(B+C)=(A+B)+C（结合律）

矢量减法可以看成是矢量加法的特例，如

A-B=A+(-B)

如图1.2（b）所示。通常将-B称为矢量B的逆矢量，它的大小与B的大小相等，但方向相反。从代数运算的角度来看，两矢量相减等于两矢量的对应坐标分量之差，即

A-B=(Ax-Bx)ex+(Ay-By)ey+(Az-Bz)ez

2.标量与矢量相乘

标量η乘以矢量A，其积仍为矢量，并满足以下关系：

式（1.6）中，A=Aea。

3.矢量的标积与矢积

两矢量相乘，其积有两种情况：一种积为标量，称为标积；另一种积仍为矢量，称为矢积。

两矢量A与B的标积记为 ·A B，标积通常也称为点乘。两矢量的标积等于两矢量的模之积再乘以两矢量夹角的余弦，也等于两矢量的对应笛卡儿坐标分量积之和，即

式中，θ为矢量A与矢量B的夹角。由式（1.7）可知，两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的标量。

如果作用在某一物体上的力为A，当A使该物体发生了位移且位移矢量为B时，则A· B表示力A使物体位移所做的功。由式（1.7）可以看出，两矢量的标积满足交换律，即

A·B=B· A

显而易见，标积不但与两矢量的大小有关，还与其之间的夹角有关。当两矢量相互垂直，即θ=90°时，其标积为零；当两矢量平行，即θ=0°时，其标积的绝对值最大，等于两矢量的模之积，即

两矢量A与B的矢积记为A× B，矢积通常也称为叉乘。两矢量进行矢积后的结果仍是一个矢量，其大小等于两矢量的模之积再乘以两矢量夹角的正弦，其方向为两矢量所构成的面的法线方向，这个方向通常用en表示或用n表示，即

矢积的方向en符合右手定则，即右手四指从A旋转到B，拇指的方向即为en的方向，如图1.3所示。

矢积与两矢量的笛卡儿坐标分量的关系为

通常，式（1.9）可写成行列式的形式来进行记忆，即

矢积的几何意义是：以两矢量为邻边所围成的平行四边形的面积为矢积的大小，以该平行四边形的法向为矢积的方向。当B表示作用在某一物体上的力，而A表示力臂矢量时，则矢积表示作用于该物体的力矩。

由式（1.9）可以看出

A×B=-B× A

这说明矢积不满足交换律。

矢积不但与两矢量的大小有关，而且与两矢量之间的夹角有关。两矢量平行，即θ=0°时，矢积为零；两矢量垂直，即θ=90°时，矢积的模最大。

4.矢量的混合运算

常用的矢量混合运算恒等式如下：

1.1.3 标量场与矢量场

在火炉、暖气片等热源周围空间的每一点上，都存在着温度的某种分布，于是我们就说空间存在温度场；在江河中，各处水域存在着水流速的某种分布，我们就说那里存在流速场；在地球周围各点，存在着对各种物体的引力，我们说地球周围存在引力场，或者说地面上有重力场；在电荷周围各点，存在着对电荷的作用力，我们就说电荷周围有电场，等等。显然，“场”是指某种物理量在空间的分布。

物理量在空间的分布构成了场，但除了空间分布之外，物理量还可能随时间发生变化。因此在数学上，场是由空间特征物理量和时间坐标变量的多元函数来描述的，即标量场用空间和时间变量的标量函数表示，而矢量场则用空间和时间变量的矢量函数表示。例如，作为标量场的温度场可表示为T（x,y,z,t），电位场可表示为φ（x,y,z,t）；作为矢量场的流速场可表示为v（x,y,z,t），电场可表示为E（x,y,z,t），磁场可表示为B（x,y,z,t）。在电磁场中，若描述场的物理量随时间变化，则称其为时变电磁场。而当描述场的物理量与时间无关时，就将其称为静态电磁场，也就是说，静态场只是空间坐标的函数。例如，静电场可表示为E（x,y,z）。

为了形象和直观地描述标量场在空间的分布情形或沿空间坐标的变化情况，常借助于画出其一系列等值间隔的等值面方法，不同等值面的形状及其间隔能较直观地表现标量场的空间分布情况。而为了形象和直观地描述矢量场在空间的分布情形或沿空间坐标的变化情况，则常借助于画出其场线（力线）的方法。场线是一簇空间有向曲线，矢量场较强处场线稠密，矢量场较弱处场线稀疏，场线上某处的切线方向代表该处矢量场的方向。

场既然是某种物理量的空间分布，就应服从因果律。其因，称之为场源，场都是由场源产生的。其果，就是空间某种分布形式的场。例如，温度场由热源产生，静电场由电荷产生。但值得注意的是，场的分布不但取决于产生它的场源，而且还与周围物质环境密切相关。例如，炉膛中的温度分布不仅取决于火力大小及分布，还与炉膛的结构、材料特性及周围环境有关；带电体周围的电场分布不仅与带电体的电荷分布和电量有关，也与周围的物质特性有关。所以，分析讨论一个场的时候，要注意场、场源和场的环境这三者之间的关联性。如果能用一个数学关系来描述电磁场，那么这样的数学关系中一定包含了体现场、场源和场的环境相关的因素。

1.2 正交坐标系

当物理量是空间位置的函数，或者说场与空间分布有关时，为了描述某一场量在空间的分布和变化规律，必须引入坐标系，以表示物理量的空间位置或方向。笛卡儿坐标系、圆柱坐标系和球坐标系是最常用的三种正交坐标系。

1.2.1 正交坐标系的概念

在广义正交坐标系中，坐标变量用u1、u 2和u3表示，若空间一点 P 是u1=C1（常数）、u2=C2（常数）和u3=C3（常数）三个曲面的交点，则它的坐标为P（u1,u2,u3），这三个曲面称为坐标面。广义正交坐标系中，三个坐标面相互正交，简称正交坐标系。正交坐标系具有以下几个概念。

1.正交坐标系的三组坐标面在空间每一点都相互正交，即为相互垂直的坐标面

三维空间中的任一点 P 可用三个独立变量u1、u 2和u3来确定，即 P 点的空间坐标为P（u1,u 2,u3）。在笛卡儿坐标系、圆柱坐标系或球坐标系中，可将P点分别表示为P（x,y,z）、P（r,φ,z）或P（R,θ,φ），每一种表示中的三个独立变量所构成的坐标面都相互垂直。

2.单位矢量两两正交，相互垂直，且满足右手螺旋法则

在正交坐标系中，设与三个坐标面对应的单位矢量分别为e1、e2、e3。这三个单位矢量互相正交，满足右手螺旋法则，三者的方向分别以其变量增大的方向为正方向。

3.正交坐标系中单位矢量的特性

正交坐标系中的三个单位矢量e1、e2、e3具有如下特性：

在笛卡儿坐标系中，三个单位矢量是常量，而在其他坐标系中，三个单位矢量却不一定是常量。

4.矢量微分元

在电磁场中，经常要进行线积分、面积分和体积分的计算，于是就需要表达出与长度、面积和体积对应的微分线元、微分面积元（简称微分面元）和微分体积元（简称微分体元）。在矢量微积分运算中，特别是在电磁场的微积分运算中，线元和面元是矢量，是有方向的。因此，单位矢量有可能是变量，即单位矢量也存在微分元问题。下面分别就三种最常见的正交坐标系进行相关讨论。

1.2.2 笛卡儿坐标系

在笛卡儿坐标系中，空间任意一点M的位置可以用三个相互独立的变量x、y、z表示，记为M（x,y,z），它们的变化范围分别是：-∞＜x＜∞，-∞＜y＜∞，-∞＜z＜∞。如图1.4所示，因为任意一点M的单位矢量处于正交坐标系的三个坐标轴上，因此，它们相互垂直并遵循右手螺旋法则，即

三个单位矢量的方向不随 M 点的位置变化而变化，这是笛卡儿坐标系的一个重要特性。在笛卡儿坐标系中，空间任一点M的位置可用向量表示为OM，也可用一个矢量A来表示，即

式中，x、y、z分别表示A在三个单位矢量方向ex、ey、ez上的投影；Ax、Ay、Az分别表示矢量A在三个方向的分量。当M（x,y,z）点在空间作一微小移动后到达M′点时，则M′的位置可表示为M′（x+dx，y+dy，z+dz），其中dx、dy、dz分别是变量x、y、z在ex、ey、ez方向上的微小增量，MM′就是矢量A沿该方向的微分元，可表示为

MM′=dl=dxex+dyey+dzez

矢量A的微分元仍是一个矢量，其方向由M指向M′。如图1.5所示，由x、x+dx、y、y+dy、z、z+dz这六个点组成一个直角六面体，其各个面的面积即为面元，可表示为

注意：对于闭合曲面，面元的方向为曲面上该点的外法线方向；对于非闭合曲面，面元的方向要在曲面边界的环绕方向选定后，根据右手螺旋法则来确定。对于图1.5所示的六面体，各边都由面元组成，它们所组成的体积为体元，可表示为

dV =dxdydz

1.2.3 圆柱坐标系

空间任一点M也可用三个相互独立的变量r, φ,z来表示，r, φ,z是圆柱坐标系的三个坐标变量。M点的位置在圆柱坐标系下可写为M（r, φ,z）。

现在来看看圆柱坐标系中三个坐标变量的物理意义。如图1.6所示，设r为M点到z轴的垂直距离，也就是圆柱底面的半径；φ为xOz平面与通过M点的半平面的夹角；z为M到xOy平面的垂直距离（与笛卡儿坐标系相同）。用这样定义的这三个变量便可确定空间任一点M的位置，三个变量的变化范围分别是：0≤r＜∞，0≤φ≤2π，-∞＜z＜∞。当r不变而φ、z变化时，就是一个圆柱面（即为r的坐标面），所以称之为圆柱坐标系。

圆柱坐标系的三个变量的单位矢量分别是e r、eφ、e z，它们分别指向 r、φ、z 增加的方向。其中，当φ为变量时，e r、eφ是变量，不是常量，因为e r、eφ的方向随M点的不同会发生变化。但不管怎样，它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即

空间任一点M的位置可用单位矢量表示为

r、φ、z分别是矢量OM或A在er、eφ、ez方向上的投影。

圆柱坐标系的变量与笛卡儿坐标系的关系是

如图1.7所示，三个坐标变量的增量微元表示为dr、dφ、dz，在M（r, φ,z）点处沿er、eφ、ez方向的长度元即变量的线元分别用dlr、dlφ、dlz表示，于是有dlr =dr、dlφ=rdφ、dlz =dz。所以，M点矢量的线元可表示为

由此看来，矢量的线元仍是一个矢量。

由r、r+dr、φ、φ+dφ、z、z+dz这六个坐标点所决定的六面体的面元分别为

所以面元也是矢量。

在圆柱坐标系下，任意曲面上的面元可表示为

任意体元可表示为

1.2.4 球坐标系

如图1.8所示，在球坐标系中三个坐标变量分别为 R、θ、φ，空间任一点 M 可表示为M（R,θ,φ），其几何意义是：R为坐标原点O到M点的距离，即球的半径；θ为z轴与OM之间的夹角，即R与正z轴的夹角，φ为OM在xOy平面上的投影与正 x 轴的夹角。因此，这三个变量的变化范围是：0≤R＜∞，0≤θ≤π，0≤φ≤2π。

球坐标系变量与笛卡儿坐标系变量的关系为

球坐标系变量与圆柱坐标系变量的关系为

球坐标系的单位矢量为e R、eθ、eφ，它们两两正交，其方向分别是沿R、θ、φ增加的方向，且满足

e R × eθ=eφ, eθ × eφ=e R, eφ × e R =eθ

在球坐标系中，e R、eθ、eφ的方向因M点位置的变化而改变，所以单位矢量有可能是变量，但三者将始终保持正交关系。在球坐标系中，M点的位置用单位矢量可表示为

式中，R、θ、φ分别是矢量 A 在e R、eθ、eφ方向上的投影。

如图1.9所示，球坐标系中三个坐标变量的微元分别为dR、dθ、dφ，这三个变量所对应的线元可分别表示为

于是，矢量A的线元为

由R、R+dR、θ、θ+dθ、φ、φ+dφ这六个坐标点组成的六面体的面元分别是

体元为

1.2.5 三种坐标系中单位矢量之间的关系

在进行坐标变换时，矢量之间的关系主要反映在不同坐标系之间的单位矢量相互换算的关系上。

1.圆柱坐标系与笛卡儿坐标系之间单位矢量的关系

如图1.10所示，圆柱坐标系与笛卡儿坐标系之间的关系主要表现为单位矢量er、eφ、ez与ex、ey、ez之间的关系。因为二者的ez =ez，所以，其关系就简化为xOy平面上的二维关系。又因为单位矢量的模的大小为1，即在ex、ey的投影为1，所以

因为e r和eφ是随φ变化的，所以对式（1.36）微分，可以得到

这说明，当φ变化时，单位矢量e r和eφ是变量，这是一个重要的结论。

2.圆柱坐标系与球坐标系之间单位矢量的关系

因为圆柱坐标系和球坐标系都有相同的φ变量，即二者的eφ=eφ，因此同样可简化为 rOz 平面上的二维关系，如图1.11所示。

3.球坐标系与笛卡儿坐标系之间单位矢量的关系

类似地，从图1.8及球坐标系的坐标变量与笛卡儿坐标系的变量关系式（1.29），可得出两坐标系中单位矢量之间有如下关系：

从式（1.41）和式（1.42）可看出，在球坐标系中，单位矢量均不是常量，它们都是随某个量而变化的，即有

例1.1 试将圆柱坐标系中的矢量A=-reφ+zez变换为笛卡儿坐标系中的表达式。

解法1：按题意有Ar =0、Aφ=-r、Az =z，设矢量在笛卡儿坐标系中表示为A=Ax e x+Ayey+Azez，由图1.10可知

根据坐标变换关系，由

可得

所以A=yex-xey+zez

解法2：直接利用矩阵公式

同样可得

A=yex-xey+zez

1.3 矢量函数的通量与散度

为了研究矢量场的空间变化情况，我们需要引入矢量场的散度的概念。矢量函数的散度是一个标量函数，它表示矢量场中任意一点处通量对体积的变化率，即描述了通量源的强度。因此，在具体讨论散度之前必须先从通量的概念入手。

1.3.1 矢量的通量

正如1.1 节中所描述的那样，在研究电场、磁场时，可借助一组场线（矢量线）来形象地表示矢量场的空间分布，如描述电场的电力线、描述磁场的磁力线等。矢量场中每一点都有唯一的一条矢量线通过，线的疏密表示该点处矢量场的强弱。下面以电力线为例进行分析。

如图1.12所示，设空间一点M处的场强函数为E，在笛卡儿坐标系中，有

E=E(x,y,z)=Exex+Eyey+Ezez

在电力线上取一线元dl=exdx+eydy+ezdz，其方向为沿矢量线切线的方向。由于矢量线上任一点的切线方向即dl的方向与该点矢量场E的方向平行，从矢量叉乘的几何意义可知

E × dl=0

展开表示为

式（1.45）即为电力线的微分方程，求出其通解，就可得出矢量线的表达式。

在矢量场中，经常会遇到要对曲面求积分，这时在曲面S上，可取一个面元dS。由于面元除了大小之外，在空间也有一定的取向，因此要用一个矢量来表示面元。如图1.13所示，取一个与面元相垂直的单位矢量en，称为面元的法向矢量，并用它来表示面元dS的取向，则面元矢量可表示为

dS=dSen

确定en的取向要分两种情况考虑：①当dS 是一个闭合面 S 上的一个面元时，en的方向为闭合面在dS这一点上的外法线方向；②当dS是由一个闭合曲线C为边界所组成的开表面的一个面元时，要确定面元dS的方向，首先必须选定曲线C的绕行方向，然后沿绕行方向卷曲右手指头，则大拇指的方向即为en的方向，二者满足右手螺旋关系。

在笛卡儿坐标系中，dS可以写成

式中，dSx是面元在yOz平面上的投影；dSy是面元在xOz平面上的投影；dSz是面元在xOy平面上的投影。

如图1.14所示，在矢量场A中，曲面S上取的面元dS很小，在面元dS上的矢量A可认为相等，方向也可认为相同。

于是将A·dS=A cosθdS称为矢量A穿过dS的通量，记为

式中，θ为矢量A与面元dS的夹角。

通量是一个标量，它的正、负与面元法线矢量的选取有关。将曲面S的各个面元上的dΦ相加，即可得到穿过曲面S的通量为

通量的物理意义是：借用矢量线的概念，通量可以认为是矢量A穿过曲面S的矢量线总数。矢量线也称为通量线，穿出的为正，穿入的为负。矢量场A也可称为通量面密度矢量。

如果S面是一个闭合曲面，则通过闭合曲面的总通量可表示为

式中，A是闭合面上的矢量函数。当Φ＞0时，表明穿出闭合面S的通量线数多于穿入S面

的通量线数，这时S面内一定有发出通量线的源，是正源；当Φ＜0时，表明穿入S面的通量线数多于穿出S面的磁通线数，S面内必有吸收通量线的阱，称为负源；当Φ=0时，表明穿出S面的通量线数等于穿入S面的磁通线数，这时S面内的正源与负源的代数和为零，或者说，S面内没有源。源和阱或正源与负源统称为通量源。

1.3.2 散度

矢量场中，矢量通过闭合面 S 的通量是由 S 面内的通量源决定的。从式（1.48）可看出，通量是一个积分量，它描述的是闭合面内是否存在通量源，但它却不能说明场在闭合面内每一点处的分布情况。对于一个场的分析来说，知道场中每一点的场源分布规律是必要的。

如图1.15所示，设有一矢量场A，在场中任一点M处，作一个包含M点在内的任一闭合曲面S，S面所包围的体积为ΔV。体积ΔV以任意方式缩向M点时，即ΔV →0时的通量为

如果此极限存在，则称此极限为矢量场A在M点处的散度，记为div A，即

式中，n为单位法向矢量。由式（1.49）可看出，div A表示在场中任意一点处通量对体积的变化率，也可看成是在该点处一个单位体积通过的通量，它表示了场中各点的场与通量源的关系。

从散度的定义可知，在M点处，当divA＞0时，表明该点存在正源，发出通量线；当divA＜0时，表明该点存在负源，吸收通量线；当divA = 0时，表明该点无源。另外，divA与所取的体积形状无关。因为当ΔV →0时，整个体积趋于0。

如图1.16所示，在笛卡儿坐标系中，取一点M（x, y, z），以M为顶点作一平行六面体，其表面为闭合面S，其三个边分别为Δx、Δy、Δz，则正六面体的体积为

ΔV =ΔxΔyΔz

设在点M（x,y,z）的矢量函数为A，并且

则从前后两个表面穿出的净通量为

其中为矢量A沿x的变化率，于是沿x方向的变化量为，因此加上A的分量，则可表示为。

同理，从左右两个面和上下两个面穿出的净通量分别为

所以，从平行六面体闭合面S穿出的矢量A的总净通量为

由此可知，一个矢量函数的散度为一个标量函数，在场中任一点，矢量场A的散度等于A的各个坐标轴上的分量对各自变量的偏导数之和。将式（1.51）用矢量关系描述可得到

引入一个矢性微分算子▽，这个算子称为哈密顿算子，即

于是，散度在笛卡儿坐标系下的表达式可以写成

注意：▽是一个很重要的微分算子，它有两重意义。首先它是矢性的，而不是一个具体的矢量；其次它是微分算符，它对跟随其后的函数进行微分，而不管跟随其后的函数是矢量函数还是标量函数。式（1.53）就是用哈密顿算子表示的散度表达式，由此式可看出，它与所取的坐标系无关，但在具体计算时，可选择不同坐标系。

可以推得，在圆柱坐标系下，有

在球坐标系下，有

于是，在圆柱坐标系中，有

在球坐标系中，有

利用哈密顿算子的性质可以证明，散度运算符合下列规则：

▽·(A± B)=▽·A±▽·B

▽·(φA)=φ▽· A+A·▽φ

式中，φ为标量函数。

1.3.3 高斯散度定理

散度定理是德国数学家高斯从纯数学观点导出的有关源发散的一个基本定理，又称为高斯通量定理。在矢量分析中，它是一个重要定理。该定理用数学表达式可描述为

其意义是：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函数A在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。也即，一个矢量通过一闭合面的通量等于该矢量的散度对该闭合面所包围的体积的体积分。我们可以利用散度定理将曲面积分转换成体积分，或将体积分转换成曲面积分。

证明：如图1.17所示，在矢量场 A中，取任一闭合曲面 S，其所包围的体积为V，将体积分成无穷多个体元，它们分别是ΔV1、ΔV2、…、ΔVk、…，对其中任意一个小体元ΔVi，由散度定义可知

其通量为

同理，相邻的体元ΔV j也有

由ΔVi和ΔV j组成的体积中穿出的通量为

因为相邻体元有一个公共表面，这个公共表面上的通量对这两个体元来说恰是等值异号的，求和时正好互相抵消。因此，上式右边的积分值等于由ΔVi和ΔV j组成的体积的外表面上的通量。

依此类推，当体积V由N个体元组成时，通过闭合面S上的通量应为

当N→∞时，由体积分的定义，上式左边的总和可以表示为一个体积分，所以有

证毕。

例1.2 长方体区域由x=0、x=1、y=0、y=2及z=0和z=3六个面组成，设其内矢量场D=2xyex+x2ey，试验证散度定理的有效性。

解：由题意知D为二维矢量，且和表面z=0及z=3平行，因此只需要计算其余表面的通量。

由于(Dx)x=0=0、(Dy)y=0 = (Dy)y=2及(Dx)x=1=2 y，代入上式，等号右边第一个积分式为零，第三个和第四个积分式相互抵消，结果为

于是体积分为

曲面积分和体积分结果一致，说明散度定理有效。

1.4 矢量函数的环量与旋度

通量和散度针对的是具有通量源的矢量场，我们用它们来描述场中的通量源与场点的关系。而能够产生矢量场的源除了通量源外，还有一类源，称为旋涡源。例如，对于磁场B，在任意曲面内都有，看起来磁场B似乎是无源的，但该场又的确存在。事实上，它只是说明没有通量源，这时的场其实就是由旋涡源产生的。要讨论旋涡源所形成的场，需要引入矢量场的旋度。而要讨论矢量函数的旋度，必须先引入环量的概念。

1.4.1 矢量的环量

如图1.18所示，在矢量场中取任意一个闭合路径l，则矢量函数A沿闭合路径l的线积分

称为矢量A沿闭合曲线l的环量。其中A是闭合路径上任一点的场矢量，dl是闭合路径上的线元矢量，即路径上的切向长度矢量。

式中，θ为A与dl的夹角。

由式（1.60）可以看出，环量是一个标量，其大小和正负与矢量场A的分布有关，而且与所取积分环绕方向有关。式（1.60）纯属一种数学定义，其物理意义随矢量函数所代表的场而定。例如，当A为电场强度时，其环量将是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。当时，A代表的场即由旋涡源所产生，这时闭合环路包围有旋涡源。环量描述了旋涡源与场的关系，若任意回路内，即矢量函数沿任何闭合路径上的环量等于零，这时场中不可能有旋涡源，这种场称为无旋场或保守场。如静电场、重力场就是保守场。当 A 为稳恒电流形成的磁感应强度 B 时，即，这就是安培环路定律。

环量只能描述闭合路径内是否存在漩涡源，而不能描述场中某一具体点的性质和分布规律，若要进一步地描述这些规律，就需要引入旋度。

1.4.2 矢量场的旋度

在矢量场A中，为了研究场中某点M的性质，取包含M点的一个面元ΔS，其周界为C，选定C的绕行方向，由右手螺旋法则确定面元的法线矢量en的方向。如图1.19所示，沿着包围这个面元的闭合路径取A的线积分，保持en的方向不变，而使曲面面元ΔS以任意方式趋近于零，即逼近M点，用极限表示即为

但上式极限与C所围的面元的方向有关，这里借用了流体力学的概念。例如，在流体情形中，某点附近的流体沿着一个面呈旋涡状流动时，形成一个漩涡流体场，如图1.20所示。如果 C围成的面元与漩涡面方向重合，则上述极限有最大值；如果所取面元和漩涡面元之间有一夹角，则得到的极限值总是小于最大值；而当面元和漩涡面相互垂直时，极限值等于零。由此可知，此极限乃是某一矢量在面元上的投影。

当面元法向矢量en与旋涡轴方向相互重合时，上述极限值为最大值，这个值也就是某一矢量的模，这个矢量称为A的旋度，记为rot A。

式（1.61）表示了rot A矢量在面元法向矢量en方向上的投影，由定义可看出，这个极限式与所取面元的形状无关，它只表示矢量A的旋度在某一确定面元法向矢量en方向上的投影。

在笛卡儿坐标系中，若要求得矢量场中某一点M的旋度，就必须分别求出在三个坐标面方向的旋度矢量的分量，这三个旋度分量之和便是该点的旋度矢量。由旋度的定义可以看出，定义式中的极限与所取面元的形状无关。如图1.21所示，如果要求出矢量场中点 M 的旋度，首先可求出 yOz 坐标面的旋度矢量，也就是沿x方向的旋度矢量。

以 M为顶点，取一个平行于 yOz坐标面的矩形面元，选1→2→3→4 顺序绕行方向，则面元矢量沿正x轴方向的大小为

ΔSx =ex Δy Δz

设M点的矢量A=e x Ax+e y Ay+e z Az，则

式中，和分别是M点处矢量A的分量Az和Ay分别经过Δy和Δz段的变化量。

所以

这就是rot A在ΔS x上的投影，也就是rot A在x轴上的投影（这里的推导也可看成是假设有一旋度矢量沿x方向，取一面元方向也沿x轴，所得结果即为极限的最大值）。

同理，取面元ΔS y和ΔS z，它们分别平行于y轴和z轴，于是可得rot A在y轴上的投影为

rot A在z轴上的投影为

由此可得到：任一矢量A在M点的旋度矢量应为三个分量的矢量之和，即

为了方便记忆，可用行列式表示为

在圆柱坐标系中，坐标变量分别为r、φ、z，其旋度为

用行列式表示为

在球坐标系中，

用行列式表示为

旋度的一个重要性质是：任何一个矢量的旋度的散度恒等于零。用数学公式可表示为

这是一个重要的恒等式，下面在笛卡儿坐标系中予以证明。

因为旋度和散度的定义与所采用的坐标系无关，所以上面的结论对任意矢量都是普遍适用的。由此可知，如果一个矢量B的散度恒等于0，即▽·B=0，则B可以表示为另一个矢量的旋度，即B=▽×A。这是引入矢量位函数的理论根据，在第2章和第4章中将做进一步的分析讨论。

根据▽所具有的矢性和微分双重性质，可以证明旋度运算符合如下规则：

▽×(A±B)=▽×A±▽×B

▽×(φA)=φ▽× A+▽φ× A

▽·(A × B)=B·▽× A-A·▽× B

▽·(▽×A)=0

▽×▽× A=▽(▽·A)-▽2A

▽×(A× B)=A▽·B-B▽·A+(B·▽)A-(A·▽)B

式中，φ为标量函数。上式中出现了▽2A项，在数学上将▽2称为拉普拉斯算子，并且有▽2=▽·▽。

▽2可看成是一个标量算符，也是一个微分算符，并且在笛卡儿坐标系中有

标量场u的拉普拉斯运算表示为

矢量场A的拉普拉斯运算则为

可以证明，在笛卡儿坐标系下

注意：当算子▽2作用在标量函数上时，称为标性拉普拉斯运算；当▽2作用在矢量函数上时，称为矢性拉普拉斯运算，两者是不同的二阶微分运算。

在圆柱坐标系下，拉普拉斯算子的表达式为

在球坐标系下，拉普拉斯算子的表达式为

例1.3 试证明，式中S为包围体积V的封闭面。

证明：设C为一任意常矢量，运用旋度运算规则，有

▽·(C × A)=A·(▽×C)-C·(▽× A)=-C·(▽× A)

从而有∫V▽·(C × A)dV =-C ·∫V(▽× A)dV

根据散度定理，上式左边等于

由于上式中常矢量C是任意的，故得证。

1.4.3 斯托克斯定理

斯托克斯定理是矢量分析中另一个重要定理，该定理描述为：一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。用数学表达式可表示为

即一个矢量场的旋度对某一曲面的曲面积分，等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。其证明类似于高斯散度定理的证明，即把整个曲面S分成N个小面元，整个曲面S的积分等于所有小面元之和，然后由旋度的定义式

可知，相邻面元的轮廓线之间方向总是相反的，内部曲线上的积分互相抵消，结果变为矢量 A 沿曲面轮廓线的积分，如图1.22所示。

对比旋度和散度的公式可以看出，旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律，即

所以，矢量场的旋度是一个矢量函数。而散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律，即

所以，矢量场的散度是一个标量函数。

旋度表示旋涡源与其产生的场之间的关系，如果在矢量场空间，场的旋度处处等于零，则这种场称为无旋场或保守场。散度表示通量源与其产生的场之间的关系，如果在矢量场空间，场的散度处处为零，则这种场称为无散场或管形场。在实际的物理世界中，通常都存在着由通量源和旋涡源共同产生的矢量场，如运动电荷所产生的场。当然，也可能会在有限的区域内，存在着既无散又无旋的无源矢量场，这种场称为调和场。

1.5 标量函数的方向导数与梯度

电磁场是矢量场，矢量场一般都要用矢量（矢量函数）来描述，但矢量在进行微积分运算时相比起标量的运算来说要麻烦得多。在一定条件下，矢量场是可以用标量（标量函数）来描述的，这样就可以简化运算。由矢量和标量的定义可知，二者之间的差别就是：矢量既有大小又有方向，而标量却有大小无方向。那么，在什么条件下，矢量场才可以用标量来描述呢？在研究标量场时，常常关心的是标量函数值随空间位置的变化规律，即标量函数最大变化率及其方向。标量函数在空间的最大变化率及其方向正是下面所要讨论的标量函数的梯度，本节将首先引入标量场的方向导数，并根据方向导数导出标量函数的梯度。

1.5.1 标量场与等值面

如果对一个场的空间分布只考虑大小，不考虑方向，这个场就是标量场。标量场可以用一个标量函数来表示；反之，能用一个标量函数来表示的场就是标量场。这个标量函数其实就是一个只考虑大小、不考虑方向的物理量。例如，设空间的温度分布函数为u，则u=u(x,y,z)就描述了一个标量场；又如，电场中的电位分布可用标量函数φ来表示，则φ=φ(x,y,z)也描述了一个标量场。

如图1.23所示，对于一个标量函数u=u(x,y,z)，当u(x,y,z)=C（C为常数）时，便可得到一个空间曲面。在这个曲面上，各点的坐标值x、y、z虽然不同，但函数值却都是相等的，这些函数值相等的点所组成的曲面称为标量场的等值面。例如，温度场中的等值面，就是温度相同的点所组成的等温面；电位场中的等值面，就是电位相同的点所组成的等位面。

等值面具有如下性质：标量场中每一点都有一个等值面通过，且只有一个。也就是说，等值面充满整个标量场所在的空间，且互不相交。

1.5.2 方向导数

标量场的等值面能够帮助我们直观地了解物理量在整个场中的分布规律，但却不能研究标量场的某个局部情况，如标量场中某一点在各个方向的变化情况，这时就得借助方向导数这个概念。

如图1.24所示，设 M0为标量场 u=u（M）中的一点，从M0点出发引出一条射线l，在l上与M0点邻近取一动点M，设M 0 M=Δl，由于M点在l上是一动点，所以Δl是变量。由偏导数的定义，函数u在M0点沿l方向的偏导数为

式中，称为函数u（M）在M0点处沿l方向的方向导数。

注意：当时，表示 u（M）沿 l 方向是增加的；当时，表示 u（M）沿 l方向是减少的；当时，表示u（M）沿l方向无变化，或是在等值面内移动。

在笛卡儿坐标系中，标量函数u=u（M）可写成u=u(x,y,z)，设有一点M 0(x0,y0,z0)，且函数u在M0处可微，而M点可用M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)表示，且，则

设M0的值为u，则M的值为u+Δu，又设cosα、cos β、cosγ是l的方向余弦，则有

当Δl→0时，将式（1.79）代入式（1.78）并取极限，可得

式中，。在式（1.80）中略去下标 M0，即得到笛卡儿坐标系中任意固定点沿l方向的方向导数表达式为

其中，当l用单位矢量表示为l=lxex+lyey+lzez时，方向余弦也可表示为

可见，方向导数表示函数u在一给定点处沿某一方向的标量函数的变化率。

1.5.3 梯度

那么函数 u（M）沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率又是多少呢？首先来分析方向导数的公式

式中，cosα、cos β、cosγ是l方向的方向余弦。现在沿l方向上取一单位矢量el，那么将el用笛卡儿坐标系的单位矢量来表示，可得

假设有一矢量G，并且

从上述分析可知，矢量G在给定点处为一固定矢量，它只与函数u(x,y,z)有关，与l无关；而el则是从给定点引出的模为1、沿l方向的任一射线上的单位矢量，它与函数u(x,y,z)无关。但从式（1.85）可以看出，G在l方向上的投影正好等于函数u(x,y,z)在该方向的方向导数；另外，当方向l与G的方向一致时，取得最大值，并且。也就是说，矢量G 的方向就是函数u(x,y,z)变化率最大的方向，其大小正好是这个最大变化率的数值，如图1.25所示。因此，把矢量G称为函数u(x,y,z)在给定点处的梯度，记为

上述定义与坐标系无关，是由函数分布所决定的，但其表达式随不同坐标系而不同。

在笛卡儿坐标系中，

在圆柱坐标系中，

在球坐标系中，

又因为在笛卡儿坐标系中，

在圆柱坐标系中，

在球坐标系中，

因此，梯度可表示为

于是可将式（1.85）重新写为

标量函数的梯度有如下性质：

（1）一个标量函数的梯度▽u是一个矢量函数。梯度的方向就是函数u变化率最大的方向，即与等值面垂直的法线方向，并且梯度的模等于函数u在该点的最大变化率的数值。

（2）在标量场中任意一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数u（M）增大的方向。

（3）函数u在给定点处沿任意l方向的方向导数，等于函数u的梯度在l方向上的投影，即

lt@span i=1>∂u/∂llt@span>=G cos(G·l)

（4）梯度的重要性质：梯度的旋度恒等于零。其数学表达式为

这是一个很容易证明的重要恒等式，它说明：对于一个矢量，如果已知它的旋度处处为零，则可以把它表示为一个标量函数的梯度，即这个矢量场可以用这个标量函数来描述。

于是，我们就完成了最初的命题，即一个矢量场可用一个标量函数来描述的条件。

可以证明，梯度运算有如下规则：

式中，φ和ψ均为标量函数。

例1.4 如图1.26所示，一个三维标量场u=y2-x，求此标量场的等值面，并求u的梯度▽u的表达式及点处的梯度。

解：u是x, y的函数，与z无关，可视为二维场，它在z等于常数的平面上的分布是相同的。

因此，u取某一常量C时，y2= x+C为一抛物线，所以等值面是抛物柱面。

其方向为过等值面上某一点的法线方向，可用单位矢量en表示为

在P点的梯度为

例1.5 空间中有两点，分别是 M(x, y, z)和 M(x′,y′,z′)，两点之间的距离为，用符号▽′表示对x′、y′、z′微分，即+ ，试证明。

解：比较和，一般场点以x、y、z为变量，源点以x′、y′、z′为变量。只需证明

即可得证。这是一个很重要结论，在本课程后面的学习中，将多次应用该结论。

1.6 格林公式

格林公式又称为格林定理，是矢量分析中的重要公式。在电磁场理论中，在研究解的唯一性和电磁辐射及电磁波传播等问题中经常用到。

1.第一格林公式

已知散度定理

式中，n为法向矢量。令A等于一个标量函数φ和一个矢量函数▽ψ的乘积，则

由式（1.97）可得到第一格林公式

2.第二格林公式

若将式（1.98）中的φ和ψ互换，则有

将式（1.98）与式（1.99）相减，就得到第二格林公式

1.7 亥姆霍兹定理

1.7.1 散度和旋度的比较

我们引入的散度和旋度是用来描述矢量场的两个物理量，那么用散度和旋度是否能唯一地确定一个矢量场呢？亥姆霍兹定理回答了这个问题。为便于从概念上理解该定理，先来比较一下散度和旋度的区别：

（1）矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度却是一个矢量函数；

（2）散度表示场中某点的通量密度，它是场中任一点通量源强度的量度；而旋度表示场中某点的最大环量强度，它是场中任一点处旋涡源强度的量度；

（3）从散度公式

可知，它取决于场分量Ax对x 的偏导数、Ay对y的偏导数及Az对z的偏导数。所以，散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定。而由旋度公式

可知，它取决于Ax分量对y、z的偏导数、Ay对x、z的偏导数及Az对y、x的偏导数。所以，旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。

以上比较说明，散度表示矢量场中各点的场与通量源的关系，而旋度表示场中各点场与旋涡源的关系。因此，场的散度和旋度一旦给定，就意味着场的通量源和旋涡源就确定了。既然场总是由源所激发的，通量源和旋涡源的确定便意味着场已确定，因而可得出下述亥姆霍兹定理给出的结论。

1.7.2 亥姆霍兹定理

根据前面几节的讨论可知，一个矢量场的散度和旋度说明了矢量场所具有的性质，而且可以证明：在有限区域V内的任一矢量场，由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上矢量场的分布）唯一地确定，这就是亥姆霍兹定理的核心内容。

产生矢量场的源要么是通量源，要么是旋涡源，要么是二者兼有。散度对应的是通量源，旋度对应的是旋涡源，所以当散度和旋度确定后，产生场的源就确定了，这时一旦边界条件确定，那么场就唯一地被确定了。

亥姆霍兹定理告诉我们，研究一个矢量场必须从它的散度和旋度两个方面着手，也就是说，要确定一个矢量或一个矢量描述的矢量场，必须同时确定该矢量的散度和旋度；相反，当一个矢量的散度和旋度被同时确定之后，该矢量或矢量场才被唯一的确定。因此，矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。亥姆霍兹定理的意义是非常重要的，它是研究电磁场性质和规律的一条主线，无论研究静态电磁场还是时变电磁场，都必须从研究电场和磁场的散度与旋度及边界条件入手。

1.8 矢量场的分类

矢量场可以根据散度和旋度分为无旋场、无源场和有旋有源场。

1.无旋场

如果在场中每一点上都有▽×F=0，则该场没有旋涡源，称矢量场F为无旋场。根据式（1.96）可以推知，该矢量场可以表示为一个标量场的梯度，即存在一个标量函数φ，使得

式中，函数φ称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。上式中冠以一个负号，是由于电磁场中F的方向为φ减小最快的方向，此式说明可以在电场中引入电位函数来描述电场这个矢量场。

由斯托克斯定理可知，无旋场F沿任何闭合路径C的环量恒等于零，即

这一结论等价于无旋场的曲线积分与路径无关，只与起点p和终点q有关。静电场和恒定电场即属于无旋场。

2.无源场

如果在场中每一点上都有▽·F =0，则该场没有通量源，称这种场为无源场。由式（1.69）可知，无源场F可以表示为另一个矢量场的旋度，即存在一个矢量函数A，使得

式中，A称为无源场F的矢量位函数，简称矢量位。利用散度定理可以得出，无源场F通过任何闭合曲面S的通量都等于零，即，磁场就属于此类，即磁场不可能由通量源产生。

3.有旋有源场

一般的矢量场将同时具有非零的散度和非零的旋度，时变电磁场和运动电荷产生的电场就是此类，此时有

这里的ρ表示通量源，J 表示旋涡源，它们均为已知。根据亥姆霍兹定理，一个普通矢量场F可以分解为无旋部分Fi（保守场）和无源部分Fρ（管形场），即

F =Fi+Fρ

其中Fi和Fρ分别满足

由式（1.106）和式（1.107）可以定义一个标量位函数φ和一个矢量位函数A，使得

Fi =-▽φ，Fρ=▽× A

从式（1.109）可知：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。并且，它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。

本章小结

1.若一个物理量既有大小又有方向，则它是一个矢量。在笛卡儿坐标系中，矢量 A 可表示为A=e x Ax+e y Ay+e z Az，A的单位矢量为，其中为矢量A的模。

2.矢量A穿过曲面S的通量为。A在某点的散度定义为

矢量的散度是标量，表示从该点散发的通量体密度，它描述了该点的通量源强度。

在笛卡儿坐标系中，

散度的性质：旋度的散度恒等于零。于是，当一个矢量的散度恒为零时，该矢量可以表示为另一个矢量的旋度。

3.矢量A沿闭合曲线l的线积分称为A沿该曲线的环量。矢量A在某点的旋度定义为

矢量的旋度还是矢量，其大小表示了最大环量面密度，它描述了场中旋涡源的强度。在笛卡儿坐标系中，

旋度的性质：梯度的旋度恒等于零。于是，当一个矢量的旋度恒为零时，该矢量可以表示成一个标量函数的梯度。

4.标量φ在某点沿l方向的变化率∂φ/∂l称为φ沿该方向的方向导数。标量φ在该点的梯度gradφ=▽φ与方向导数的关系为

lt@span i=1>∂φ/∂llt@span>=▽φ· l

标量φ的梯度是一个矢量，它的大小和方向就是该点最大变化率的大小和方向。

在笛卡儿坐标系中，

标量场中，相同φ值的点构成等值面。在等值面的法线方向上，φ值变化最快。因此，梯度的方向也就是φ等值面的法线方向。该法线方向单位矢量可表示为

5.算子▽是一个矢性微分运算符号。▽·A可看成是两个矢量的标量积，在场的分析中，▽·A定义为 A 的散度。计算时，先按标量积规则展开，再作微分运算。▽× A可看成是两个矢量的矢量积，在场的分析中，▽×A定义为 A 的旋度。计算时，先按矢量积规则展开，再作微分运算。▽φ可看成是▽与φ相乘，将▽φ定义为梯度。

在笛卡儿坐标系（x,y,z）中，

在圆柱坐标系（r,φ,z）中，

在球坐标系（R,θ,φ）中，

▽u为一矢量场，若再对▽u求散度，则称为标量函数u的拉普拉斯运算，记为▽2u，即

▽2u=▽·(▽u)

▽2可看成是一个标量算符，称为拉普拉斯算符，也是一个微分算符，并且，在笛卡儿坐标系中有

在圆柱坐标系下，拉普拉斯算符表达式为

在球坐标系下，拉普拉斯算符表达式为

在笛卡儿坐标系中，标量场u的拉普拉斯运算表示为

矢量场A的拉普拉斯运算表示为

▽2A=▽(▽·A)-▽×(▽× A)

可以证明，在笛卡儿坐标系下，

▽2 A=▽2(e x Ax+e y Ay+e z Az)=e x▽2 Ax+e y▽2 Ay+e z▽2 Az

6.亥姆霍兹定理总结了矢量场的共同性质：矢量场F由它的散度▽·F和它的旋度▽× F及边界条件唯一地确定。

矢量的散度和矢量的旋度各对应于矢量场的一种源，所以分析矢量场时，总是从研究它的散度和旋度着手，散度方程和旋度方程构成微分形式的矢量场的基本方程。也可以从矢量穿过封闭的通量和沿闭合曲线的环量去研究矢量场，从而得到积分形式的基本方程。

习题1

1.1 矢径r=exx+eyy+ezz与各坐标轴正向的夹角为α、β、γ，请用坐标（x,y,z）来表示α、β、γ，并证明cos2α+cos2 β+cos2γ=1。

1.2 已知A=ex-9ey-ez，B=2ex-4ey+3ez，试求：（1）A+B；（2）A-B；（3）A·B；（4）A× B。

1.3 已知A=ex+bey+cez，B=-ex+3ey+8ez，若使A⊥B及A//B，则b和c各应为多少？

1.4 已知A=12 ex+9 ey+ez，B=a ex+b ey，若B⊥A及B的模为1，试确定a和b。

1.5 设A =a1ex+a2ey+a3ez，C= x ex+y ey+z ez，求矢量场B= A × C 的矢量线。

1.6 已知矢量场A=（axz+x2）ex+（by+xy 2）ey+（z-z2+cxz-2xyz）ez，试确定a、b、c，使得A成为一无源场。

1.7 如题1.7图所示，设S为由柱面x2+y2=a2及平面z=0和z=h围成的封闭曲面，求矢径r穿出S面部分的通量。

1.8 已知φ=3x2 y，A=x2yze y+3xy2ez，求rot（φA）。

1.9 试证明：矢量场A=（y2+2 xz 2）ex+（2xy-z）ey+（2x2z-y+2z）ez为无旋场。

1.10 求标量场φ=ln（x2+y2+z2）通过点M（1,2,3）的等值面方程。

1.11 求函数φ=3x2 y-y2在点M（2,3）处沿曲线y=x2-1朝x增大方向的方向导数。

1.12 求标量场φ=1 r在过点的等值面上过该点的切平面方程。

1.13 求函数φ=xy 2+z 2-xyz在点（1,1,2）处沿方向角α=π/3、β=π/4、γ=π/3的方向导数。

1.14 求函数φ=3x2y-y3z2在点M（1,-2, -1）处沿矢量A=yz ex+xz ey+xy ez方向的方向导数。

1.15 求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿着点（5,1,2）到点（9,4,19）的方向导数。

1.16 已知u=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求在点（0,0,0）和点（1,1,1）处的梯度。

1.17 u、v都是x、y、z的函数，u、v各偏导数都存在且连续，证明：（1）grad（u+v）= grad u+grad v；（2）grad（uv）=v grad u+u grad v；（3）grad（u2）=2u grad u。

1.18 试证明：（1）▽·（A+B）=▽· A+▽· B；（2）▽·（φ A）=φ▽· A+A·▽φ。

1.19 已知r=xex+yey+zez，r=（x2+y2+z2）1 2，试证明：（1）；（2）▽·（rnr）=（n+3）rn。

1.20 已知 r=xex+yey+zez，r=（x2+y2+z2）1 2，试证明：（1）▽× r = 0；（2）；（3）[ f(r)是r的函数]。

1.21 试证明：（1）▽×（cA）=c▽× A（c为常数）；（2）▽×（φ A）=φ▽× A+▽φ× A。

1.22 试证明：▽·(A× B)=B·(▽× A)-A·(▽× B)。

1.23 应用散度定理计算积分，其中 S 是 z=0和z=（a2-x2-y2）1 2所围成的半球区域的外表面。

1.24 设E（x,y,z,t）和H（x,y,z,t）是具有二阶连续偏导数的两个矢性函数，它们又满足方程

试证明：E和H均满足（A等于E或H）。

1.25 试证明：▽2(uv)=u▽2v+v▽2u+2▽u·▽v。

1.26 试证明下列函数满足拉普拉斯方程。

（1）φ(x,y,z)=sinαx sin βy e-γz（γ2=α2+β2）

（2）φ(r,φ,z)=r-n cos nφ

（3）φ(R,θ,φ)=R cosθ

1.27 对以下各种情况，试求▽· A和▽× A。

（1）A=xy2z3ex+x3zey+x2y2ez

（2）A(r,φ,z)=r2 cosφer+r2 sinφez

（3）

1.28 设（k为常数），试证明。

1.29 试证明A=yzex+zxey+xyez为调和场，并求出场的位函数φ（φ也称为调和函数）。