第2章 电场、磁场与麦克斯韦方程

电场与磁场的基本定律是麦克斯韦于1873年建立的。麦克斯韦是继法拉第之后，集电磁学大成的伟大科学家，他依据库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥-萨伐尔、法拉第等前人的一系列发现和实验成果，建立了第一个完整的电磁理论体系。他不仅科学地预言了电磁波的存在，而且还揭示了光、电、磁现象本质的统一性，完成了物理学的又一次大综合。这一自然科学的成果，奠定了现代电力工业、电子工业和无线电工业的基础。

电磁学的发展过程，经历了与牛顿力学的类比，以及对其类比中所产生的某些规律的否定。本章也从力的类比和描述入手，引入场的概念。本章在引入电场强度与电位的概念、磁感应强度与磁位的概念及电偶极子和磁偶极子的概念后，回顾了电荷在电场和磁场中所受到的两种作用力，即电场力与磁场力，它们分别用电场强度矢量E和磁感应强度B（B也称为磁通密度）来表示。当空间中同时存在电场和磁场时，电荷所受到的力则称为洛伦兹力。接下来讨论用E和B表示的微分形式的麦克斯韦方程组，在对这组方程所依据的实验结果做简短的分析之后，就可以对麦克斯韦方程组所包含的丰富内容进行深入的探索。

从本章的叙述可以看到，麦克斯韦在19世纪所创立的电磁场理论实际上是建立在电磁学的三大实验定律——库仑定律、安培定律和法拉第定律之上的。然而，当深入了解了麦克斯韦的电磁场理论所具有的内涵之后将会发现，他的理论已远远升华到了引导科学乃至世界发生巨大变化的高度。

在电磁学的三大实验定律中，实际上只有库仑定律是可以用经典物理学的测量方法来进行直接的实验检验的。而安培定律和法拉第定律本身却难以直接用实验检验，并且其精度不明。在麦克斯韦理论建立之前，这两个定律只是描述了存在于电和磁之间相互作用的某些定性的规律。而电与磁，或者说电场与磁场相互之间严格的数学关系及物理内容，实际上正是通过麦克斯韦的工作才确立起来的。从这个意义上来说，在经典电磁学定律向电磁场理论发展的过程中，一种能够反映物质世界新规律的数学方法也构成了整个理论的重要基础，这个数学方法就是矢量场论，麦克斯韦正是矢量场论这一重要数学领域的奠基人之一。本章使用矢量场论的数学方法分别描述了微分形式、积分形式和时谐形式的麦克斯韦方程组，并且通过对麦克斯韦方程组所进行的数学变换，导出了电磁场的能量关系——坡印廷定理。

本章对于传导电流、运流电流、位移电流及电流连续性原理的讨论具有很重要的意义。假设“位移电流”，并由电荷守恒定律导出电流连续性方程，正是麦克斯韦的一种天才表现。从中可以发现，麦克斯韦并不像他同时代的其他科学家那样，只是在牛顿理论所给出的物理和数学框架内摸索。当牛顿数学无法满足他想达到的目标时，麦克斯韦创立了新的数学运算方法；当原有的经典电磁学实验在新的数学方法下还不足以得到波的运动形式时，他就在经典电磁学所能得到的“安培定律”中加上自己的“位移电流”；当得到的电磁场方程组的形式是当时尚无法求解的矢量波动方程形式时，他就用可以作为其中特解的标量波动方程来代替它，从而得到了真空中电磁波的传播速度；而一旦得知电磁波在真空中的传播速度等于光速时，他就满怀信心地指出：光就是电磁波的一种形式，这正是麦克斯韦电磁场理论最本质的东西。麦克斯韦发现了一种新的物质运动形式，这一发现改变了人类对于世界的认识，改变了人类的生产技术手段，甚至改变了人类的生活方式。

2.1 电场力、电场强度与电位

2.1.1 电场力与电场强度

实验表明，电荷之间存在着作用力。一个电荷受到另一个或多个电荷的作用力时存在着两种情况，其中一种情况是所有电荷均处于静止状态。在这种情况下，每两个静止电荷（假设为点电荷）之间的作用力可由库仑定律来描述。库仑是一个法国物理学家，以其名字命名的定律表明：两个点电荷q′及q之间的相互作用力的大小与q′及q的乘积成正比，与它们之间距离R的平方成反比；作用力的方向沿着它们的连线方向，同号电荷相斥，异号电荷相吸。库仑定律是电学发展史上的第一个定量规律，它使电学的研究从定性进入定量阶段，是电学史中的一个重要里程碑。

令FE代表电荷q′作用于电荷q的电场力，e R代表由q′指向q的单位矢量，如图2.1所示，则库仑定律的数学表达式为

FE的方向由单位矢量e R来决定，这个矢量的大小为一单位长度，因此不会改变力FE的大小。在国际单位制中，电荷q′和q的单位为库仑（C），两电荷之间的距离R的单位为米（m），电场力FE的单位则为牛顿（N），ε0称为真空介电常数，其大小为ε0=（1 36π）×10-9法 米（F/m）。

式（2.1）说明，带电体周围的空间确实存在着一种特殊形式的物质，当电荷或带电体进入这个空间时将受到力的作用。我们将电荷周围存在的特殊物质称为电场，电场对电荷的作用称为电场力。

注意：库仑定律所描述的是点电荷之间的作用力，点电荷的物理模型类似于力学中的“质点”，于是，它同样也满足牛顿力学所描述的力的作用关系。另外，库仑定律所描述的点电荷之间的作用力是在施力电荷静止的情况下才获得的。

库仑定律还可以换一种方式来阐述。假定电荷q=1 C，于是电场力FE即为q′对单位电荷的作用力，我们将这个特定大小的电场力（一个单位电荷受到另一个电荷的作用力）FE称为电场强度矢量E：

而作用在电荷q上的电场力FE可以在式（2.2）两边同乘以q得到：

于是又回到了库仑定律。这样，根据单位电荷作用力定义的电场强度矢量E可以得出两个或多个彼此相对静止的电荷之间的作用力。

电场强度矢量E的单位是作用在单位电荷上的力，即为牛顿/库仑（N/C），国际单位制中则为伏特/米（V/m）。

以上结论是针对q为点电荷而言的，如果电荷是沿一曲线连续分布的线电荷时，则可引入线电荷密度的描述方式。线电荷密度σl定义为

式中，dq为线元dl上所具有的电量，其在空间产生的电场强度为

式中，R为带电线元dl到场点的距离；eR为线元指向场点的单位矢量。整个线电荷在空间产生的电场强度为

如果电荷是沿一曲面连续分布的面电荷，则可引入面电荷密度的描述方式。面电荷密度σS定义为

式中，dq为面元dS上所具有的电荷量，dq=σS ds。整个面电荷在空间产生的电场强度为

式中，R为带电面元dS到场点的距离；eR为面元指向场点的单位矢量。

如果电荷在某空间体积内连续分布时，引入体电荷密度的描述方式。体电荷密度ρ定义为

式中，dq为体积元dV中所具有的电荷量，dq=ρdV。整个体电荷在空间产生的电场强度为

式中，R为体积元dV到场点的距离；eR为体积元指向场点的单位矢量。

2.1.2 电位

已知试验电荷q在电场中的受力为

FE =qE

在静电场中欲使试验电荷q处于平衡状态，应有一外力FW与电场力FE大小相等、方向相反，即

FW =-q E

于是，试验电荷q在静电场中由A点移动到B点时外力需做的功为

那么，静电场内单位正电荷从A点移动到B点时外力所做的功则为

我们将静电场内单位正电荷从A点移动到B点时外力所做的功称为B点和A点之间的电位差，用φBA表示，即

在自由空间，如果点电荷位于原点，原点到场点A的距离为RA，原点到场点B的距离为RB，则B点和A点之间的电位差为

积分表明，空间两点B和A之间的电位差只与场点所在位置有关，而与积分路径无关。因此，在静电场中，电场强度E沿闭合回路的积分恒为零，即

若单位正电荷是从无穷远处出发（RA=∞）移到B点的，则电位差为

式（2.10）也可改写成一个具有普遍意义的式子：

由此，可以得到空间一段线元上两端点间的电位差为

由式（1.95）可知

比较式（2.13）和式（2.14），可得电位与电场强度的关系为

式（2.15）提供了求解静电场中电场强度E的一种方法，即把求解电场强度E的问题变成先求解电位φ，而后再通过微分关系求E。一般情况下，用这种方法比直接求解E要简便。

2.2 磁场力、磁感应强度与磁位

2.2.1 磁场力与磁感应强度

一个电荷受到另一个或多个电荷的作用力时所存在着的另一种情况是：电荷之间存在相对运动。观察两根载流导线时，会发现另一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，称其为磁场力。我们把存在于载流回路周围空间，并且能对运动电荷施力的特殊物质称为磁场。磁场的特征是能对运动电荷施力，其施力的情况虽然比较复杂，但我们可以用一个磁感应强度B来描述它，即将其定义为一个单位电流受到另一个电流的作用力。

假定电荷q以速度v在磁场中运动，它所受到的磁场力FB可以表示为

正如式（2.2）通过作用力的来源——电荷q′来表示电场强度矢量E一样，式（2.16）中的B同样也可以用产生它的电流来表示。

考虑磁场中载流线元Idl的受力情况，由于

根据安培力实验定律，若真空中有两个电流回路，如图2.2所示，分别用I1dl1和I2dl2表示两回路的电流元，则电流元I1dl1和I2dl2之间的作用力为

式中，μ0称为自由空间的磁导率，其大小为μ0=4π ×10-7（H/m）。

式（2.18）可改写为

比较式（2.19）与式（2.17），可得电流元I1dl1在空间所产生的磁感应强度为

式（2.20）称为毕奥-萨伐尔定律。运用叠加原理，可得闭合回路1在空间所产生的磁感应强度为

式（2.21）是计算线电流周围磁感应强度的公式。磁感应强度B的单位为牛顿（安培·米）[N/（A·m）]，在国际单位制中B的单位为特斯拉（T）。

如果电流是分布在某一曲面上时，若面电流密度为J S，由Idl=J S dS，可得面电流在空间产生的磁感应强度为

式中，R为面元dS到场点的距离；eR为面元指向场点的单位矢量。

如果电流是分布在某一体积内时，若体电流密度为J，由Idl=JdV，可得体电流在空间产生的磁感应强度为

式中，R为体积元dV到场点的距离；eR为体积元指向场点的单位矢量。

2.2.2 矢量磁位

2.2.1节所定义的描述磁场基本特征的物理量——磁感应强度B是一个矢量，因而磁场是一个矢量场。根据通量的概念，我们将穿过某一曲面的磁感应强度B的通量称为穿过该曲面的磁通量，用Φm表示，其数学表达式为

当空间曲面S为一个闭合曲面时，有

由毕奥-萨伐尔定律，将式（2.21）代入式（2.25）得

根据梯度规则，有

于是式（2.26）中的被积函数变成

根据高斯定律，有

式（2.26）可改写为

由于▽算子是对场点（x,y,z）的微分，而线积分是针对源点（x′,y′,z′）的，所以▽算子可移入积分号内，即

利用矢量恒等式▽·(F ×G)=G·▽× F-F·▽×G

根据梯度的性质可知

又知Idl′是源点（x′,y′,z′）的函数，而▽是针对场点（x,y,z）的微分，因此

▽× Idl′=0

这表明整个积分为零，即

由式（2.28）可得到

根据矢量运算规则：一个矢量旋度的散度恒等于零。于是可引入一个任意矢量A，即令

这个从纯数学关系引入的矢量A称为矢量磁位，矢量磁位的单位为韦伯/米（Wb/m）。

从上面的推导看，矢量A还没有明确的物理意义，它可以是任意矢量。为了避免矢量A的这种随意性，必须对其附加另外的约束，这个约束就是要给定矢量A的散度。亥姆霍兹定理指出：对于某区域内的一个矢量场函数，可以通过给定它的旋度函数和散度函数及它在区域边界上的边界条件唯一地确定。给定旋度和给定散度是相互独立的，给定不同的散度将使该矢量的解不同，但不影响解的旋度，其旋度只由给定的旋度条件决定；同样，如何给定旋度也不影响该矢量的散度。由于引入矢量 A 的目的只是为了通过式（2.30）计算场量 B，而不必考虑矢量A本身的物理意义，因此可以根据计算方便的需要来给定矢量A的散度。对于恒定磁场，一般选择

式（2.31）称为矢量A的库仑规范，这时，恒定磁场的矢量磁位A由式（2.30）和式（2.31）共同定义。

将式（2.27）代入式（2.21），可得

根据矢量恒等式关系，式（2.32）中

由于▽算子是对场点（x,y,z）的微分，故▽× dl′=0。于是，式（2.32）可写为

由于式（2.33）中的积分和微分针对的是两组不同变量，所以可以改变式（2.33）的积分与微分顺序，即为

比较式（2.30）与式（2.34），可得矢量磁位A为

或用面电流密度表示为

或用体电流密度表示为

2.2.3 标量磁位

在2.1节中，我们引入了一个标量电位函数φ作为求解静电场的辅助函数。对于恒定磁场，是否也可以进行类似的引入呢？由矢量分析与场论的内容可知，要用一个标量函数φ表示一个矢量场 F 时，应定义F =▽φ或F =-▽φ。并且由于▽×▽φ≡0，故要求矢量场 F 必须是无旋场（即有势场）。对于静电场，因为▽×E=0，故在整个电场空间定义E=-▽φ是成立的。但对于恒定磁场，安培环路定律▽× B=μ0 J表明了磁场是一个有旋场，在有电流处磁场的旋度不为零。因此，在整个磁场空间内使用一个标量函数的梯度来表达磁场是不成立的。

但在许多磁场问题中，求解的空间只局限在没有电流的区域，此区域内可以保证▽×B=0成立，这时就可以引入一个标量位函数φm来表示磁场。在静电场中与位函数φ对应的是电场强度E，根据对偶性，可以把安培环路定律▽× B=μ0 J写成

▽×(B/μ0)=J

称H为磁场强度，H的单位为安培 米（A/m）。于是在恒定磁场中与位函数φm对应的就是磁场强度H，即

式中，φm称为标量磁位，单位是安培（A）。

2.3 洛伦兹力

综上所述，我们通过对电场力和磁场力的分析，引入了电场强度E和磁感应强度B及电位φ和磁位A。当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，电场强度E与磁感应强度B会同时产生效应，称这样的合力F为洛伦兹力，即

F =FE +FB

式（2.40）可看成是对电场强度E和磁感应强度B的定义式。下面，我们就从这个式子出发来重新认识对E和B的定义。

电荷在其周围的空间产生电场，它的表现是对于被引入到场中的其他电荷有电场力相作用，可以利用电荷在电场中受到的电场力来定义电场。

根据实验，当一个电量为q的试验电荷（正电荷）被引入电场时，它将受到这个电场对它的作用力F，电场力F的大小与试验电荷的电量q成正比。这意味着，电场力F与试验电荷q的比值与试验电荷的大小无关，而只与试验电荷所处的位置有关。因此，将单位正电荷在某点所受到的电场力定义为该点的电场强度，记为E，即

当然，在上述定义中应假设试验电荷q是一个电量及尺度都足够小的点电荷，以至于它的引入对原有电场的影响可以忽略不计。

电流或运动电荷在其周围空间产生磁场，它的表现是对于被引入到场中的其他电流或运动电荷有磁场力相作用，可以利用电流或运动电荷在磁场中受到的磁场力来定义磁场。

根据实验，当一个电量为q的试验电荷以速度v在磁场中经过某点时，运动电荷q在该点受到磁场对它的作用力为F =qv × B。此式表明，当v与B平行时，运动电荷受到的磁场力为零；而当v与B垂直时，运动电荷受到的磁场力达到最大（Fmax =qvB）。因此，将磁场中某点的磁感应强度B定义为这样一个矢量，它的大小等于磁场力最大值Fmax与乘积qv的比值并取q趋于零的极限，即

当然，在上述定义中应假设运动的试验电荷q是一个电量及尺度都足够小的点电荷，使它不至于影响原有磁场的空间分布。式（2.42）只定义了磁感应强度 B 的大小，它的方向要根据测得的Fmax和已知的v这两者的方向来确定。

从式（2.40）可看出，静止电荷在磁场中不会受到磁场的作用力。对运动电荷而言，它所承受的磁场力始终与电荷运动速度矢量 v 相垂直。这就表明，磁场力的作用仅能改变电荷运动速度的方向，而不能改变电荷运动速度的量值。因此，在自由空间中磁场力不做功。

2.4 电偶极子

在两个点电荷相互作用的各种情况中，有这样一种特殊情况，即将两个极性相反的等量电荷紧密地置放在一起，以此来模仿电子对，这是一种常见的场源电荷的存在形式。我们将这一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。

如图2.3所示，假设组成电偶极子的两个电荷的电量分别为+q和-q，它们之间的距离为d，则它们在空间一点P（x,y,z）的电位为

式中，r1和r2分别是两电荷到P点的距离。

如果两电荷沿z轴对称分布并且距离P点很远，如图2.4所示，则r1和r2可近似地表示为

r1=r-0.5d cosθ, r2=r+0.5d cosθ

并且r 21r2=r 2-(0.5d cosθ)2≈ r

所以，P点的电位变成

从式（2.43）可以看出，当θ=90°时，电偶极子平分面上的任意点处电位都为零。于是，在这个平面上如果将电荷从一点移动到另一点是没有能量损耗的。

为了便于描述电偶极子，我们定义一个电偶极矩pe，该矢量的大小为pe =qd，而其方向则由负电荷指向正电荷，即

于是，式（2.43）可写成

例2.1 如图2.5所示，两个相距很近，距离为R0的等值异号电荷+q和-q构成一个电偶极子。矢量R0的方向从负电荷指向正电荷，R是从电偶极子指向电场中的任一点的矢量，起点在正、负电荷连线的中点，且R0≪R，试根据点电荷的电场表达式

证明电偶极子距离R处所产生的电场为

式中，θ是R0和R之间的夹角。若将电偶极矩pe定义为qR0，则上述表达式可写成

证明：在静电场中，任意一点处的电场强度可写为

从电荷到场点的距离由余弦定理计算，即

如果R0≪R，则有

当R0 R≪1时，上式中(R0 R)cosθ的高次幂可以忽略，对

也可以做上述考虑，所以上述电场强度可以写成

由于电偶极矩pe =qR0，所以

这时，上述电场强度E的表达式可写成

现在再来看一看，能否证明如果取rp为从场点指向电偶极子的矢量，则电场强度的表达式为

证明过程与上面的基本相同，但要注意rp与R的方向正好相反。

注意：在上面推导电偶极子所产生的电场强度的过程中，应用了“叠加原理”，即若干电荷在某一点处产生的电场强度等于每一个电荷单独在该点处所产生电场强度的矢量和。

2.5 磁偶极子

在定义磁偶极子之前，首先来分析一个闭合电流回路在空间所产生的磁场。正如电偶极子是常见的电场源的存在形式一样，闭合电流回路是磁场源的最常见形式。如图2.6所示，在电流回路l′所产生的磁场中，任取一闭合回路l。设P是l回路上的一点，由式（2.21）可知，电流回路l′在P点处产生的磁感应强度为

计算B在回路l上的闭合线积分，有

上式的推导中运用了矢量混合积恒等式(A×B)·C=(C×A)·B。

电流回路l′所包围的面积S对P点构成一个立体角Ω，当P点沿回路l位移dl时，立体角将增加dΩ。这个dΩ与假设P点固定不动而让回路l′平移-d l所引起的立体角改变量是相同的，如图2.7所示。图中立体角dΩ对应的面积为l′位移所形成的环带面积，取此环带上的矢量面元dS′=-dl × dl′，dS′对P点所张的立体角为

其中R前的负号是由于立体角定义中的位置矢量应从顶点P指向面元，而此处的R是从面元dS′指向顶点P。

环带所张立体角dΩ为d S′所张立体角的积分，即

式（2.49）的右边恰好就是式（2.48）的括号部分，故式（2.48）可写成

利用以上结论，就可以来计算闭合电流回路在空间 P 点所产生的标量磁位φm。根据式（2.39）的定义可知，φm是H的势函数。根据势函数与有势场的对应关系，可得到空间一点P处的标量磁位与磁场强度的关系为

式中，P0是标量磁位的参考点。当场源电流分布在有限区域内时，一般将参考点选在无穷远处，此时P点的标量磁位为

将其代入式（2.52），可得空间任意点P的标量磁位为

式中，Ω是点P对电流回路l′所张的立体角。

一般情况下，求任意点P对回路面积的立体角并不很容易，但是当P点与回路l′的距离比电流回路的尺寸大得多时，立体角可以近似地表示为

式中的几个变量如图2.6所示，R是自回路中心到P点的相对位置矢量，S是电流回路所围的面积，n是S的法向矢量，它与l′的方向成右手定则。

将式（2.55）所描述的Ω的近似值代入式（2.54），即可得到电流回路l′在远区 P 点处产生的标量磁位：

式中，θ是n与R的夹角。

为了便于描述磁偶极子，我们定义一个磁偶极矩矢量pm，该矢量的大小为pm=IS，而其方向则由n确定，即

pm的单位是安培·米2（A ·m 2）。

将磁偶极矩代入式（2.56），可得

将式（2.58）所得到的磁位函数表达式与式（2.45）所示的电位函数表达式比较，可知二者具有完全类似的形式。

将式（2.58）代入式（2.39），得

整理后得

将式（2.60）所得到的磁场函数表达式与式（2.46）所示的电场函数表达式比较，可知二者具有完全类似的形式。

正因为上述的φm和B的表达式与电偶极子的φ和E的表达式完全类似，所以将这种尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（或者称为电流环）称为磁偶极子。

从上面对磁偶极子的定义可看出，磁偶极子是根据电磁对偶性派生出来的一种概念。磁偶极子与电偶极子不同，它不能在物理上实现，在工程上它是一个载有交变电流的小圆环的等效模型。

2.6 由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程

2.6.1 电通量

凡是矢量场，均有通量可言。把一个测试电荷放入电场中，作用在此电荷上的力将使它按照一定的路线移动，这个路线称为电力线或通量线。若电荷移动到一个新的位置，则又能描出另一条电力线，如此重复就可以得到任意多条电力线。电力线的数目就称为电通量，通常人为地规定一个电荷q所产生的电力线条数即电通量等于用库仑表示的电荷的大小。那么，一个电量为q的电荷能发出多少电力线呢？即它的电通量是多少呢？

设在自由空间中有一个点电荷q，以它为球心作一半径为R的球面，如果用符号D表示球面上的电通量密度，即

于是，根据上面所述的规定，通过整个球面的电通量为

比较式（2.61）与式（2.2），可得电通量密度与电场强度的关系为

式中，D的单位为库仑每平方米（C/m2）。

若考虑S为一个闭合曲面，其中所包围的电荷多于一个以上，则电通量关系应改写为

由式（2.62）和式（2.63）还可知，电场强度E穿出球面的电场强度通量为

2.6.2 麦克斯韦第一方程

令Q=∑q

则由式（2.64）得

根据高斯定律，有

假设闭合面S所包围的体积V中的电荷分布密度为ρ，即

Q=∑q=∫V ρdV

则∫V▽· DdV =∫V ρdV

将式（2.66）或式（2.67）称为麦克斯韦第一方程。从上述过程可知，麦克斯韦第一方程是以电荷q为场源，利用电通量的表达式和高斯定律推导而得到的。

2.7 由电磁感应定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第二方程

法拉第是19世纪电磁学领域中最伟大的实验物理学家。法拉第电磁感应定律的数学定义式为

式（2.68）说明，沿闭合路径的感应电动势（Electromotive force，简称emf）e等于闭合路径所包围面积内穿过的磁通Φm的变化率。严格说来，此方程是建立在实验观察基础上的，并且，负号由楞次所引入，目的是为了遵守感应电动势的极性，现称之为楞次定律。楞次定律表明，穿过环路的磁通变化在闭合导电环内感应的电流方向是使感应电流产生的磁通趋向于抵消原来磁通的变化。实验结果与楞次定律是吻合的。

另一方面，我们已经知道，要在导体内维持电流必须使此导体内存在电场。基于这种理解，可以用导体内的感应电场强度E来定义感应电动势，即

式中，l是假想的导体闭合路径。

类似于2.6节的推导，若以闭合路径l为边界的面积上的磁通密度用符号B表示，则穿过该面积的磁通量为

根据式（2.68）和式（2.69）可得

若考虑S面在空间是固定的，并且l所包围的是同一面积S，则式（2.71）右边的时间导数将只作用于时变场B，同时再对等号左边运用斯托克斯定律，得

于是就得到麦克斯韦第二方程：

2.8 由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程

已知穿过开表面积S的磁通为

目前的实验表明，磁体的南、北极不能分开，由北极出发的磁通线数正好等于进入南极的磁通线数，换言之，磁通线始终是连续的。于是，对于一个闭合曲面S而言，有

这一特性被称之为磁通连续性原理。

根据高斯定律，有

于是得麦克斯韦第三方程：

2.9 由安培环路定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第四方程

2.9.1 传导电流、运流电流和位移电流

我们通常所认识的电流是自由电荷在导电媒质（有阻力的区域）中作有规则运动所形成的传导电流，或者是自由电荷在无阻力空间作有规则运动时形成的运流电流。

电流存在的明显标志是它所产生的磁效应。在时变电磁场中，不仅导电媒质中的运动电荷周围具有磁效应，无阻力空间的运动电荷周围具有磁效应，而且变动电场周围空间也具有磁效应。因此对于一般意义上的电流概念，就必须加以补充和拓广。

1.传导电流

传导电流是人们最为熟悉的一种电流，它是自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的，产生这种电流的根本原因是导电媒质中存在电场的作用。当电荷在导电媒质中运动时，将会遇到与其他质点发生碰撞而产生的阻滞作用。因此，传导电流应服从于欧姆定律。

如图2.8所示，在导体中沿电流方向取一极小圆柱体AB，设其长度为dl，截面积为dS，A、B两端的电势分别为φ和φ+dφ。根据欧姆定律，由A向B通过截面积d S的电流为

再将导体电阻与导体参数的关系式R=ηdl dS代入上式，得

式中，η为电阻率。因为dI dS=J c（J c为电流密度），又根据电场强度与电势的关系-dφ dl=E，上式可写成

J c =E/η=γE

式中，γ称为电导率。由于电流密度和场强都是矢量，并且它们的方向相同，故有

此式称为微分形式的欧姆定律，它表明了传导电流密度与电场强度的关系。由上述关系可知，传导电流为

2.运流电流

电荷在无阻力空间，由于电场力作用或由于机械原因而产生规则运动时，将形成运流电流。例如，在电子管中就存在这种运流电流。形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用，即使存在与其他粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微，可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。

假设存在一个电荷体密度为ρ的区域，在电场作用下，电荷以平均速度v运动，在dt时间内，电荷运动的距离为dl，即

dl=vdt

dl的方向与平均速度v的方向相同。如果存在一个面积元dS，当运动电荷垂直穿过面积元时，dt时间内穿过的总电量为

dq=ρdSdl=ρvdSdt

则穿过的电流为

div=dq dt=ρvdS

所以，运流电流为

即，在面积元dS上任意一点的运流电流密度为

由于传导电流与运流电流都是由带电质点的运动所形成的，因而在空间同一点上，两种电流密度一般不能同时并存。

3.位移电流

在时变电磁场中，电场总是处于一种变动状态，电介质内部的电量将会随着电场的不断变化而产生一种持续的微观迁移，从而形成一种电流，这种电流不像传导电流和运流电流那样是由电荷宏观运动所产生的，它只是分子束缚电荷微观位移的结果，因而称之为位移电流。

假定作一个闭合面S，其中所包围的电量为q，已知

则穿过闭合面S的位移电流id为

因此，位移电流密度为

2.9.2 电流连续性原理

在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面 S。假设穿入闭合面的导体上的传导电流为ic，同时有运流电流iv也穿入 S 面，则穿入的传导电流和运流电流应等于 S 面内自由电量q的增加率，即

若指定穿出S面的电流为正，则式（2.84）可写成

假设S面内自由电量q的增长应与穿出的位移电流相一致，即

由式（2.85）和式（2.86）可得

式（2.87）所描述的电流关系称为电流连续性原理。

式（2.87）也可写成

式中，，称为全电流密度。此全电流密度穿过S面的通量

称为穿过S面的全电流。

电流连续性原理表明：在时变场中，在传导电流中断处必有运流电流或位移电流接续。

我们曾经说过，传导电流Jc和运流电流Jv一般不会同时存在，因此对于传导电流，由电流连续性原理可得

在等式右边设电荷q=∫V ρd V（ρ为电荷体密度），则有

通常将式（2.90）称为积分形式的电流连续性方程。

若在式（2.90）左边运用高斯定律，则有

通常将式（2.91）称为微分形式的电流连续性方程。

2.9.3 麦克斯韦第四方程

在前面的分析中已经定义，穿过面积S的电通量为

Φe=∫S D·dS

穿过面积S的磁通量为

Φm =∫S B·dS

式中，D称为电通量密度；B称为磁通量密度。前面曾经定义用电场强度E表示的电通量密度为D=ε0 E，根据对偶性原理，在自由空间用磁场强度 H 表示的磁通密度就可相应地描述为

安培环路定律是表征恒定磁场的基本方程之一，其积分形式为

式中，I为传导电流。只要传导电流连续，则安培环路定律必定成立。但在时变场中，传导电流却不一定处处连续。例如，在有电容器所构成的回路中，电容器极板之间的传导电流就不连续。因此，在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电流，即有

由斯托克斯定律，得

考虑传导电流与运流电流一般不同时并存的情况，可将这两种电流统称为J，于是式（2.96）可记为

这就是麦克斯韦第四方程。

因为1 ε0 μ0=c2（c为光速），所以式（2.97）可写成

这是麦克斯韦第四方程的另一种表达形式。麦克斯韦第四方程表明，电流或变化的电场将产生磁场。

2.10 微分形式的麦克斯韦方程组

将上面推导出的麦克斯韦方程联立在一起，就得到了微分形式的麦克斯韦方程组，即

式（2.100）～式（2.103）中，电场强度E与磁感应强度B的意义已由洛伦兹力的表达式所确定。常数ε0也已给定，而常量c则是真空中的光速，其大小约为3×108m/s。

式（2.100）建立了电场强度E与电荷密度ρ（c/m3）之间的关系，有了电荷密度函数ρ，就很容易描述电荷在空间的分布情况。而在式（2.103）中则建立了磁感应强度B与电流密度矢量J（A/m2）的关系。一般来说，E、B、ρ和 J 这四个变量均是时间和空间的函数。因此，当一个电荷经过空间任一点时，就可以确定该点处电场和磁场的变化情况。而对于所要讨论的空间中的任一点，可以用一个从参考点（初始点）指向该点（场点）的矢量 r 来表示，时间则用时间坐标t来描述。这样，就能够用坐标（r, t）来确定场中的任意一点，从而也就可以确定整个场中E、B、ρ及J的变化情况。如果想要强调这一点，则可以将麦克斯韦方程组中的变量写成空间和时间的函数形式：

虽然这与麦克斯韦所写的方程式在形式上有所不同，但仍然可以认为麦克斯韦在将实验结果总结成方程式时就是如此考虑的。

下面对这些方程式进行初步的讨论，看一看它们分别依据的是何种实验结果。

第一方程：▽·E=ρ/ε0

将电场与其场源——电荷密度联系了起来，实际上，它是库仑定律的另一种表达形式，这一点可从下面的例2.2中得到证明。

第二方程：▽×E=-∂B/∂t

表明了随时间变化的磁场会产生电场。我们知道，将圆环导线放置在一个建立好的磁场附近，

然后迅速将磁场减为零，这时将产生电场，该电场会使得导线中的电子发生移动，从而在圆环导线中产生感应电流。因此，这个方程式是法拉第电磁感应定律的微分形式。

第三方程：▽·B=0

它与第一方程形成了十分有趣的对比。B的散度与E的散度结果完全不同，这表明E的源和B的源各异。E的源是点电荷，而B的源却不然。也就是说，在形成磁场的源中，不存在“点磁荷”或“自由磁极”。尽管研究（已经进行了很多年）仍然在进行，但至今自由磁极还是没有被找到。

再次强调了电场和磁场之间的内在联系，同时也指出了产生磁场的源是电流（或移动电荷）。这个方程是描述由电流产生磁场的安培定律的另一种表现形式。当然，从这个方程也不难发现，随时间变化的电场也会产生磁场。

例2.2 利用高斯定律，由麦克斯韦方程▽·E=ρ/ε0导出描述两个点电荷之间受力关系的库仑定律。

解：首先来寻找一个点电荷所形成的电场，该点电荷可以被视为是电荷分布的一种极限情况（当其体积趋近于零时）。如图2.9所示，设点电荷q′位于原点，且假想它被一个半径为R的球面所包围。

于是，电荷q′可以表示成在球体上对电荷密度ρ的体积分：

q′=∫V ρdV

由麦克斯韦第一方程

利用高斯定律将上式左边的体积分变换成为相应的面积分，则有

▽·E=ρ/ε0

则有∫V▽· EdV =∫Vρ/ε0d V =q′/ε0

考虑到上述问题的对称性（对位于球面内中心的电荷来说，球面上的各点均具有对称性），可知球面上所有点的E ·n的值必定相等，于是有

式中，dS的积分就是球的表面积。

式中，R/R是一个与n同向的单位矢量，即R/R=n。

在电荷q′附近的电荷q所受到的作用力为

这就是库仑定律。

例2.3 试证明若不计边缘效应，则一平行板电容器两极板间的静电场强度E的表达式为

E=σ/ε0

式中，σ为正极板上单位面积的电荷量。

证明：显然，两极板间的电场强度矢量处处垂直于极板，且电场强度方向由正极板垂直指向负极板。因为如果存在平行于金属极板的电场强度矢量，则将会导致金属极板中的电荷流动，直至其值变为零。如图2.10所示，现在设想有一个单位正立方体，它其中的一个面是正极板表面上的一个单位面积，另有一个面平行于极板表面。这样，这个问题就变成与例2.2中所讨论的问题非常相似了。

单位体积内的电荷Q为

Q=∫V ρdV =σ（数值）

由于包含在单位体积V内的总电荷是在电容正极板的一个单位面积上的，由麦克斯韦方程

▽·E=ρ/ε0

可得σ/ε0=∫V▽· EdV

由高斯定律又可得

σ/ε0=∫S E ·ndS

由于只有在单位体积的某个面上的E和n是同向的时候，E ·n项才不为零，因此有

σ/ε0=E

2.11 麦克斯韦方程的积分形式

将上述几节中所推导的公式进行汇总，根据高斯定律和斯托克斯定律，即可得到与微分形式相对应的麦克斯韦方程组的积分形式：

以及所谓的媒质特性方程：

以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组，又称为电磁场的完整方程组。之所以称其“完整”，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面——电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的规律和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。具体地说，第一方程表明电场是有散度场，即电场可以由点源电荷所激发；第三方程表明磁场为无散度场，即磁场不可能由单极磁荷所激发；而第二方程和第四方程则描述了电场与磁场相互依存、相互制约并且相互转化的关系。

麦克斯韦方程组是求解时变电磁场的基本理论依据，如果将场量视为不随时间变动的恒定量，则可从上述方程得到描述静电场、恒定电场和恒定磁场的微分或积分形式的麦克斯韦方程组，它们只不过是麦克斯韦方程组在特殊情况下的特殊形式。无论在何种情况下，求解电磁场问题将主要是求解麦克斯韦方程组的问题。

例2.4 试证明：由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程及电流连续性方程，可导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。

证明： 对旋度方程两边取散度，得

由电流连续性方程

在等式左边运用高斯定律，在等式右边设电荷q=∫V ρd V（ρ为电荷体密度），则有

即▽·J=-∂ρ/∂t

根据矢量关系▽·(▽×H)=0，有

故可得▽·D=ρ

同理，对旋度方程▽×E=-∂B/∂t 两边取散度，得

根据矢量关系 ▽·(▽×E)=0，可得

▽·B=0

证毕。

2.12 麦克斯韦方程的时谐形式

时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场，简称时谐场。所谓时谐场，即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所有的点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对于时谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态响应。以这种方式研究场时，将不失一般性，其原因如下：①任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来描述；②在线性条件下，可以使用叠加原理。通俗地讲，时变周期场的完整响应可由单色响应叠加而成。

根据电路理论中的相量法，我们可以用相量来表示随正弦变化的场量。在笛卡儿坐标系中，电场强度矢量可用沿三个互为垂直的坐标轴的分量来表示，即

其中的三个分量可表示为

式中，Exm、Eym和Ezm分别为 E 矢量在ex、ey和ez方向的幅值。还可将三个分量用复数的实部表示为

运用上述规则，可将麦克斯韦方程改写为时谐形式：

例2.5 已知在无源的自由空间中，电场为

E=ey.1sin(10πx)cos(6π ×109 t-βz)（V/m）

利用麦克斯韦方程求相应的磁场H及常数β。

解：将E表示为复数形式

由时谐形式的麦克斯韦第二方程可得

又因为无源空间中J =0，所以由时谐形式的麦克斯韦第四方程可得

比较（2.123）和式（2.124），有

所以，相应的磁场H为

H(x,z,t)=-ex0.23×10-3sin(10πx)cos(6π×109t-54.41z)-ez0.13×10-3 cos(10πx)sin(6π×109t-54.41z)（A/m）

2.13 电磁场的能量与坡印廷矢量

由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程，该方程中包含了这样一项，它可以用电磁场中任何一点处的能量密度变化率来表示。

麦克斯韦方程组如下：

用E对式（2.128）两边同时取点乘，可得

用B对式（2.126）两边同时取点乘，可得

再用c2乘以上式，可得

用式（2.129）减去式（2.130），有

式中，左边的括号内包含了两个标量三重积，第一个标量三重积中，算子▽×只作用于B，而在第二个标量三重积中，算子▽×只作用于E，为了清楚起见，把它们写成

c2(E·▽B × B-B·▽E × E)

根据矢量分析理论，对于任意三个矢量a、b、c，其标量三重积可以交换乘积顺序，如

a·b × c=b·c × a

利用这个结论，可将式（2.131）写成

于是式（2.131）可以写成

式（2.132）实际上是能量守恒定律的描述，为了纪念坡印廷对发展此理论所做出的贡献，人们将式（2.132）命名为坡印廷定理的微分形式，而将其中的E × H 这一项称为坡印廷矢量，常用符号S表示，即

在自由空间中，由于

所以，式（2.132）又可写成

下面我们来讨论式（2.134）式中各项的含义。

首先考虑E·J这一项，假设电流密度J与电场强度E具有相同的方向，并且电流密度J由N个电荷组成，每个电荷的大小均为q，单位体积的电荷以均匀速率dx/dt移动，于是

因此，E·J可以看成是某一点上的单位体积能量（能量密度）的变化率。如果要使式（2.134）的纲量和谐的话，该式中所有的项都必须具有相同的意义，即它们均为场中某一点上的单位体积能量的变化率。式（2.134）中的第三项表示在电场中电场能量密度的变化率，第四项表示在磁场中磁场能量密度的变化率。因而在电场和磁场中能量密度瞬时表达式分别为

为了更好地理解式（2.134）中各项的真实含义，将它写成如下积分形式：

式（2.139）称为坡印廷定理的积分形式。式中第一项表示穿过包围体积V的封闭面S的功率。如果积分为正，则表示功率流出体积V；如果积分为负，则表示功率流入体积V。第二项表示由场供给带电粒子的功率。当积分为正时，场对带电粒子做功，当积分为负时，则外力做功，以使带电粒子反抗场而运动。在导电媒质中J=γE，所以此项表示功率损耗或欧姆功率损耗。第三项表示电场储能的变化率，当积分为正时，有外源给电场以能量，使电场增强。当积分为负时，电能由电场释出，使场减弱。第四项表示磁场储能的变化率，当积分为正时，有外源给磁场以能量，使磁场增强。当积分为负时，磁能由磁场释出，使场减弱。

通常将式（2.139）写成

式（2.140）左边的负号表示净功率流入体积V，以提供体积内的热损耗和电场与磁场的储能增加。

对于静态场，式（2.140）变成

它表明，经过面S流入体积V的净功率等于体积内的功率损耗。

为了更好地理解坡印廷矢量S，在式（2.134）中取电流密度J=0的情况进行分析，比如说在无源的自由空间中，这时

我们知道式中每一项都是场中任一点的单位体积能量的变化率，因而就可以得出任意一个体积V中的能量变化率为

对式（2.143）左边运用高斯定律，可得到

式中，S是一个包围体积V的封闭曲面，严格说来，对于坡印廷矢量S的阐述是与方程（2.144）这种类型的面积分有关的，从式（2.144）可以知道，坡印廷矢量 S 具有功率密度的单位，即为瓦每平方米（W/m2），S必定是闭合面S表面上任一点处单位面积的瞬时功率流。根据矢量分析中的矢量积或通常所称的叉乘的规则可知，功率流的方向与包含E和H的平面相垂直。

对于正弦电磁场，计算一个周期内的时间平均值更有实际意义。S 的时间平均值即平均坡印廷矢量定义为

当电场和磁场用复数形式表示时，有

于是，可以定义在时谐形式下的复坡印廷矢量为

可以看出，与Sav相互联系，而与瞬时坡印廷矢量S之间却没有关系。也就是说，不能由的表达式取实部得到S的表达式。定义复坡印廷矢量的目的是为了能够方便地计算出Sav。

例2.6 已知电磁场的复数形式为

式中，H0、ω、μ、β和a都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。

解：（1）E和H的瞬时值为

所以，瞬时坡印廷矢量为

（2）平均坡印廷矢量为

本章小结

1.电磁场中的三种力

磁场力：FB =qv × B

洛伦兹力（电场力与磁场力的合力）：F =FE +FB=qE+qv × B

2.电通量Φe定义为：Φe=∫S D·dS=q，其中，电通密度D与电场强度E的关系为

D=ε0 E

3.电磁场中的三种电流

（1）传导电流ic =∫S JcdS，其中，传导电流密度Jc =γE，这表明传导电流的电流密度Jc与电场强度E服从于欧姆定律。

（2）运流电流iv=∫S JvdS，其中，运流电流密度Jv=ρv，运流电流不服从于欧姆定律，并且传导电流与运流电流一般不能同时并存。

（3）位移电流，它是分子束缚电荷微观位移所产生的。其中，位移电流密度J d=∂D ∂t=ε0∂E ∂t。

4.电流连续性原理表示为或，式中J=Jc+Jv+J d=γE+ρv+ε0∂E ∂t称为全电流密度。此全电流密度穿过S面的通量称为穿过S面的全电流。电流连续性原理表明，时变场中在传导电流中断处必有运流电流或位移电流接续。

5.电偶极子是由两个相距很近、距离为 d 的等值异号电荷+q和-q构成的，电偶极矩pe=qd。

6.对于一个小电流环，如果所讨论的场对电流环而言是远区场，则这个电流环称为磁偶极子。磁偶极矩pm =ISn。

7.微分形式的麦克斯韦方程组

第一方程▽·E=ρ/ε0或▽·D=ρ

第二方程▽×E=-∂B/∂t

第三方程▽·B=0

8.积分形式的麦克斯韦方程组

9.时谐形式的麦克斯韦方程组

10.媒质的三个特性方程

磁通密度与磁场强度B=μ0 H

电通密度与磁场强度D=ε0 E

电流密度与电场强度J c=γE

11.坡印廷定理表示为

其中，S=ε0c2E×B=E×H这一项称为坡印廷矢量，它表示电磁能量在空间的能流密度。

12.平均坡印廷矢量，当电场和磁场用复数形式表示时，，时谐形式的复坡印廷矢量。

习题2

2.1 假设氯化氢（H+Cl-）分子中的氢离子被完全电离，且氢原子与氯原子之间的距离约为1.3×10-10m，试估计H+Cl-的电偶极矩。

注意：在前面的分析中由于简化了电荷的分布，所以求出的结果可能会高于实验结果。

2.2 根据习题2.1中的结论，计算距离H+Cl-分子100 ×10-10m处的电场最大值，并计算距离自由电子100 ×10-10m处的电场。

2.3 试证明，在电场强度E中旋转一个偶极矩为pe的电偶极子所需的能量为-pe · E，其中取偶极子与电场呈直角时的相应能量为零。

2.4 根据习题2.2中的结论，估算两个相距100 ×10-10m的H+、Cl-粒子相互作用时的最大能量为多少。

2.5 证明：通过任意闭合面的传导电流与位移电流之和等于零。

2.6 证明：（1）在无源的自由空间中仅随时间变化的场，如E=exE0 sinωt，不可能满足麦克斯韦方程组；（2）若将t换成(t-z c)，即E=exE0 sinω(t-z c)，则可以满足麦克斯韦方程组，式中。

2.7 有一种典型的金属导体，电导率γ=5×107s/m，介电常数为ε0，若导体中的传导电流密度为)]A/m2x ×J=e 106 sin[117.1 (3.22t-z，求位移电流密度Jd。

2.8 已知自由空间的磁感应强度为 B=33×10-12cos(3×109t-10z)ey，求位移电流密度 Jd；若t=0, z=1.1m时，E=0，求t=1ms时，z=9 km处的电场强度E。

2.9 举例说明▽× H=J 和▽·D=ρ的含义。

2.10 说明▽·J=-∂ρ∂t的含义，并写出它在直流电路中的形式。

2.11 已知在无源的自由空间中，磁场为H=ey2cos(15πx)sin(6π×109t-βz)A/m，利用麦克斯韦方程求相应的电场E及常数β。

2.12 同轴电缆的内导体半径a=1mm，外导体内半径b=4mm，内外导体间为空气介质，并且电场强度为，试求：（1）求磁场强度H的表达式；（2）求内导体表面的电流密度；（3）计算0≤ z≤ 1m中的位移电流id。

2.13 在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中，已知电场强度为E=eyE0 sin(πz/d)cos(ωt-kxx)V/m，式中E0、k x为常数。试求：（1）磁场强度H；（2）两导体表面上的电流密度J S。

2.14 已知正弦电磁场的瞬时值为E(z,t)=E1(z,t)+E2(z,t)，式中E 81(z,t)=ex 0.03sin(10 πt-kz) V/m；。试求：（1）电场的复矢量；（2）磁场的复矢量和瞬时值。

2.15 已知自由空间中的电磁场为E=ex1000cos(ωt-βz)V/m，H=ey 2.65cos (ωt-βz)A/m，式中，。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。

2.16 在球坐标系中，已知电磁场的瞬时值

式中，E0为常数，，。试计算以坐标原点为球心，以r0为半径的球面S的总功率。

2.17 已知某电磁场的复数形式为E=exiE0 sin(k0z)，，式中，k0=2π λ0=ωc0，c0是真空中的光速，λ0是波长。试求：（1）z=0,λ0 8,λ0 4各点处的坡印廷矢量瞬时值；（2）上述各点处的平均坡印廷矢量的值。

2.18 自由空间中，E(z,t)=ex50cos(ωt-βz)V/m。在z为常数的平面中，试求穿过半径为2.5m的圆面积内的平均功率。

2.19 证明：电磁能量密度和坡印廷矢量S=E×H 在下列变换下都具有不变性：

式中，θ为任意角度，。

2.20 试将麦克斯韦方程的微分形式写成8个标量方程。