第3章 介质中的麦克斯韦方程组

前面我们在推导麦克斯韦方程组的时候，并未考虑场中存在介质的情况。所谓介质就是通常所说的绝缘物质，如木材、橡胶、塑料、石油和空气等。按照介质在电磁场中所表现的不同特性，可将其分为电介质和磁介质。电介质物质的原子核对核外电子有很强的束缚力，因而理想的电介质不导电。但当把一块电介质放入电场中时，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正、负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子，这种现象称为电介质的极化。被极化的电介质内部存在着大量的小电偶极子，它们产生的所谓附加电场反过来会影响原来的电场。同样，当把一块介质放入磁场中时，它也会受到磁场的作用，其中也会形成一个个小的磁偶极子，这种现象称为介质的磁化。被磁化的介质内部存在着大量的小磁偶极子，它们产生的所谓附加磁场反过来会影响原来的磁场。

本章将讨论介质的极化或磁化问题，在此基础上重新构建介质中的麦克斯韦方程组，这时方程中所描述的电场和磁场中将会包含介质的极化或磁化所产生的附加场。通过分析发现，如果引入极化矢量P和磁化矢量M，就可以很方便地来描述普通介质中麦克斯韦方程组的一般形式。本章还将引入介质中相对介电常数εr的定义，而且会看到εr与介质折射率n之间存在着直接的联系。在获得介质中麦克斯韦方程组的一般形式后，本章最后描述了方程所涉及的各个相关矢量应满足的边界条件。

3.1 分子模型

虽然下面要对分子进行普遍和有意义的讨论，但是我们关于分子的结论同样也可以适用于原子，比如说氦。分子模型是由正、负电荷组成的，在许多介质中，组成分子的正、负电荷可看成是分子的两个对立的部分，比如氯化氢H+Cl-。但在以下的讨论中，我们假定所取的简单模型的分子并非由这两种对立的部分组成，而是对外表现为电中性，例如甲烷CH4，其正电荷与负电荷相互抵消，分子所呈现的净电荷为零。当然，电场的作用会使这些电荷分离开来，从而在分子中产生电偶极子，下面我们就来讨论这种电荷的分离情况。

假设电场中分子内部的电荷q在电场的作用下从它的平衡位置移动了一段距离x，如果被移动的电荷质量为m，其受到的恢复力与位移成正比，那么电荷的受力方程可以表示为

式中，E是该电荷处的电场强度；x是沿E方向的实际位移；α为衰减系数；ω0为谐振频率。上述方程中考虑到了对该电荷的速度产生影响的阻尼力mα(dx dt)，另外两项分别为它的恢复力和加速度m(d2 x d2t)。

下面我们详细地说明电场强度E的时间函数特性。以时谐场为例，E为时间函数，即

设 E0为常矢量E0的大小，由于分子可以被认为是束缚在固定的位置上，所以不需要考虑 E除了位移之外的其他分量。假设处于平衡状态的电荷在电场作用下按照与电场相同的频率振荡，则位移可以表示为

式中，x0为常量，通常对于位移这种物理量只取复数的实部。将式（3.3）代入式（3.1）可得

式中虚部与衰减系数α有关，这表明我们所讨论模型的衰减使得位移与电场力不同相。从上述表达式中很容易得出位移x的实部，但是从复数形式却可以明显地看出x和E之间的相位关系。

振荡电场的作用在分子内会产生一个振荡的电偶极子，在第2章中曾对电偶极子进行过简单的讨论，并且定义了电偶极矩，即

电偶极矩是时间的函数，它与E的方向相同。若引入分子极化率αp，即令

那么式（3.7）可以简化为

式中，αp是反映分子固有特性的一个函数，同时也是所施加场强E的角频率ω的函数。对于单个分子来说，上述各种关系式就是我们对介质进行微观描述的基础知识。

3.2 电介质及其极化

3.2.1 极化的概念

电介质实际上就是绝缘材料，其中不存在自由电荷，带电粒子是以束缚电荷形式存在的。一般来讲，电介质可分为两大类：第一类是无极分子电介质，当没有外电场作用时，这类电介质中正、负电荷的中心是重合的，处于电中性状态，对外不显电性，如H2、N2等气体物质。第二类是有极分子电介质，当没有外电场作用时，这类电介质中的正、负电荷中心不重合，每个分子可等效为一个电偶极子，但由于分子的无规则热运动，使得电偶极子的分布排列是无规则的。因此，整体仍呈电中性，对外也不显电性。

在外电场作用下，无极分子所组成的电介质的正、负电荷“重心”将产生相对位移，形成等效电偶极子，并且所有的等效电偶极子将随外电场方向呈规则排列。外电场越强，相对位移就越大，等效电偶极矩pe也越大。

对于均匀电介质整体来说，在外电场E作用下，垂直于电场的电介质的两个表面上出现正、负电荷，然而这种电荷与导体中的自由电荷不同，它不能离开电介质，也不能在电介质内部自由移动，它们的移动范围会受到分子的约束，故称之为束缚电荷。

对于有极分子，在外加电场作用下，各个分子的等效电偶极子将受到一个力矩T的作用：

T= pe × E

在力矩T的作用下，分子的电偶极矩pe在转向电场的方向产生转向，外加场越强，转向的效果也越显著，排列就越整齐，各个分子的等效电偶极矩在电场方向上分量的总和也越大。但由于分子的热运动，不可能使所有分子的电偶极矩都按电场的方向排列起来，在有极分子电介质与外电场垂直的界面上，同样也会出现束缚电荷。

这种在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子及表面上出现束缚电荷的现象，就是电介质的极化现象。无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为转向极化。

3.2.2 极化矢量P

相对于“束缚电荷”而言，有一些自由离子或自由电子会在外电场的作用下被吸引进介质，这些电荷的运动不受分子约束力限制，故被称为“自由电荷”，于是可以将介质中这两种不同类型的电荷集中表示为

或者说，介质中的总电荷密度ρ(r,t)被分成了自由电荷密度ρf(r,t)和束缚电荷密度ρb(r,t)两部分，束缚电荷密度有时又称为分子电荷密度。

注意：很高的场强可能会使介质中的束缚电荷摆脱分子约束而变成自由电荷，这种现象称为介质的“击穿”现象。显然，上面所说的自由电荷并不是这一类电荷。本书不讨论介质击穿问题。

类似地，总电流密度J也可以被分为

式中，Jf(r,t)是自由电流密度；Jb(r,t)是束缚电流密度或称为分子电流密度。

下面我们将引入一个所谓的极化矢量P来描述电介质的极化特性或极化程度。定义极化矢量（也称为极化强度矢量）为单位体积内的电偶极矩矢量和，即

式中，∑pe是ΔV体积元中的电偶极矩矢量和。从式（3.12）可知，矢量P的大小等于按照介质中分子电荷受极化后的重新分布，流过点(r,t)的每单位面积上的分子电荷量。P的方向为任一点(r,t)上分子电荷运动的方向。因此，极化矢量P也能反映分子电荷的运动情况，根据P 能够考察每一点上的电荷动态，它在任意时刻的值都由通过该点的电荷净流量所确定，这是因为介质中的电荷分布呈中性。

研究发现，束缚电流密度Jb与分子电荷的运动相关联，即有

设一介质的体积为 V，表面积为 S，如果该介质被极化，则一般就可以假定流入体积 V和流出体积V的电荷相等，而通过检测流过单位面积元dS上的电荷流量就可得出该介质上总的电荷流量，如图3.1所示。

由于电中性，有

式中，σ为穿过dS的电荷量；n是面元dS上的外法向单位矢量。我们取正电荷向外流动时的值为正值，因为在这种情况下P ·n为正，当P与n为同方向时可得出P的最大值。流出体积V的正电荷的总流量为

由于上述体积内的电荷量要保持电中性，所以在体积V中，必定有等量的负电荷存在，这些电荷可以由体积V中的电荷密度ρb(r,t)来确定，有

式中，dV为体积元。上述两式必定相等，即

对式（3.17）左边应用高斯定律，可得

由于式（3.18）适用于任意体积V，故有

这说明极化矢量P的散度与束缚电荷密度ρb有关，而P对时间的导数则等于束缚电流密度Jb。

3.2.3 介质的分子模型与极化矢量

除了极化矢量P与束缚电荷密度ρb和束缚电流密度J b之间的关系外，我们还希望建立P与电偶极矩pe之间的联系。

假设某介质的单位体积内包含有N个分子，并且假定介质中有一垂直于极化方向（x方向）且面积为A的平面，如果每个分子电荷q在电场E所极化的介质中沿x轴方向移动了距离 x，则穿过该平面的总电荷（平均值）为qNxA，如图3.2所示。

由于所定义的极化矢量 P 就是用来测量移动电荷的，因此如果对P值求面积积分，将会得出移动的电荷量，即

qNxA=∫A PdA

其中dA是A的面元，我们还可将其写为

式中，Pav是面积A上P的平均值。下面就来求这个平均值。

我们知道P(r,t)是一个在每一点都有值的矢量，如果介质是由很容易被分开的离散分子如低密度气体所组成的，则P值的大小在A表面上各点处是不相同的，于是有

即Npe =Pav

式中，Pav与pe同方向。在3.1节中曾得到

式（3.23）是在电场 E 使分子产生极化的基础上，相对于单个分子所得出的结论。在介质密度足够低的情况下，如果单个分子的极化不会影响到相邻电荷所受到的电场，那么这个结论就是成立的。在低密度气体中，除了分子间发生的偶然碰撞之外，一般情况都可以用式（3.24）来描述。但在高密度介质中，由于分子紧密相邻因而彼此会有影响，所以需要对其产生的附加场进行讨论。

从式（3.23）和式（3.24）还可以知道，电介质中的电偶极矩pe和极化矢量P都是由外电场E感应的。于是，当电偶极矩及极化矢量与外电场E成正比时，就称这种介质是线性的。如果电介质的电特性与方向无关，则称这种介质是各向同性的。如果电介质的各部分性质相同，则称这种介质是均匀的。

3.2.4 高密度介质中的电场

可以设想一旦介质被极化，所形成的电荷分布将会使得介质中的电场计算问题变得复杂，特别是当介质中的分子包含有恒定偶极子时尤其如此。原则上，可以假定介质中所有电荷的位置为已知，这时可以利用一般形式的麦克斯韦方程组来进行计算。但如果只考虑比较简单的介质，即其中不存在恒定偶极子的情况时，则可以采用另一种更为适宜的计算方法。

现在来考察一种介质，它是由呈气态或液态的中性分子所组成的。对于这种流体介质，一般可以认为它是各向同性的。由于单个分子中的电荷是分离的，所以如果施加一个电场就会产生介质的极化，极化的方向与所施加电场的相同。比如，在静电场的情况下，介质充斥于平行板电容器的两个极板之间，介质中任一点处的场与下列因素有关：①金属板上的电荷与介质极化面电荷所构成的介质外表面的电荷分布；②所考察的场点周围分子偶极子所产生的附加影响。前一种因素的作用较为简单，它可由单位面积上的净电荷σ（C/m2）来确定，即

这个结果在例2.3中进行过推导。如图3.3所示，在图3.3（a）和（b）中用恒压源对平行极板电容器进行充电来说明这种情况。平行极板电容器中填充的介质使附加电荷从理想电压源流出，去与介质的表面极化电荷相平衡，从而维持电压差。然而，在电容极板上仍会有净表面电荷σ，由这些电荷所产生的电场可由式（3.25）计算出来。

在对上述第二种因素的影响进行讨论时，我们遵循的是洛伦兹的方法，即作一个包围场点的球面，如图3.4（a）所示。在球面的内部，可认为介质能够体现出单个分子的特性，而在球面外部则认为介质是呈电中性的。正如在例2.1中所看到的那样，这种假设是合理的，因为单个的电偶极子所产生的电场与r3成反比，故而在足够远处是可以忽略的。

连续介质的球形表面（虚构的）会存在着由P所产生的面电荷，而为了得出这种球形表面电荷所产生的电场ES，围绕着电场的方向假定在x方向取一个带状的圆环，如图3.4（b）所示。

如果环带的宽度为Rdθ，那么环带上所包含的面电荷为(P cosθ)2π(R sinθ)Rdθ。这些电荷在球的中心产生一个仅含x分量的电场，大小为

则表面电荷在球体中心产生的总的场等于上式对整个球表面的积分，即

显然，所得到的是极化平均值。

现在我们来确定球体内单个分子偶极子所产生的场。根据例2.1 中得出的关于由电偶极子形成的场的结论，便可以导出每个分子偶极子pe所产生的场为

为了简便起见，式中位置矢量 r 从位于球体中心的场点指向球体内偶极子，分子偶极子的方向均与电场方向（x方向）相同，于是可以得出全部分子偶极子在球体中心的总的场强为

因为r2=x2+y2+z2，而且在球体内部存在大量的分子，所以x2的平均值为r 2/3，而xy与xz的平均值为零，因此由式（3.28）所确定的全部分子偶极子所产生的场强矢量和的值为零。

这样，能在球体中心产生电场就只剩下两个来源：①介质外表面极板上的电荷；②球的内表面上的极化电荷。因此，局部电场可以表示为

Elocal=E(i)+E(ii)

式中，σ是介质表面上单位面积表面的净电荷。式（3.29）称为洛伦兹局部电场的表达式，它说明局部电场的影响可使电场增强Pav/3ε0。

3.2.5 考虑极化效应的麦克斯韦方程组

上述结论与介质结构的情况无关，具有普遍意义。于是，我们就可以对任何介质写出其应满足的麦克斯韦方程组。

麦克斯韦第一方程的原有形式为

根据式（3.10）和式（3.19），可将其改写为

麦克斯韦第四方程的原有形式为

根据式（3.11）和式（3.13），也可将其改写为

于是，可以写出考虑了极化效应后的一般介质中的麦克斯韦第一方程和第四方程分别为

为了与自由空间的麦克斯韦方程组在形式上表达相一致，同时也为了更好地描述介质中的电场问题，下面引入电位移矢量的概念。

在式（3.33）中，令

对于线性、均匀、各向同性的电介质，由于P=ε0αp E，因而

我们称式（3.35）为反映介质极化的物态方程，式中ε称为电介质的介电系数，εr =1+αp称为电介质的相对介电系数。由于D中的第二项ε0αp E是电介质极化时由束缚电荷位移所产生的效应，故将 D 称为介质中的电位移矢量（注：在自由空间中，D=ε0 E，称 D 为电通密度；在电介质中，为了以示区别，应将D称为电位移矢量）。于是，一般电介质中的麦克斯韦第一方程和第四方程可描述为

式中，D=ε0 E+P（考虑了电介质极化效应）。

从以上描述可以看出，新引入的极化矢量P与麦克斯韦方程组中的其他物理量一样，在空间中每一点（r,t）都具有相应的值，可以发现介质中各点的P相差甚远，如同电场强度矢量E与磁感应强度矢量B那样。一般情况下，在介质中进行测量时都会涉及到大量的分子，而且体积也比分子的大小要大得多，因此在极化介质中测定电荷的流动情况时，应根据测量结果计算出P的平均值。

例3.1 如图3.5所示，点电荷+Q位于介质球壳的球心，球壳内半径为R1，外半径为R2，球壳的相对介电常数为εr，壳外为真空。试求球壳外任意一点处的电场强度矢量 E、电位移矢量D和极化矢量P。

解：按题意该电场为球对称场，应使用高斯定律来求解 E 和 D，再根据式（3.34）求极化矢量P。

将D=DReR =ε0εr EReR代入上式，得

3.3 折射率与相对介电常数

折射率这个量在后续各章中都非常有用，介质的折射率n被定义为

式中，c是电磁波在自由空间的速度（光速）；v是电磁波在折射率为n的介质中的速度。

前面我们已经定义了一个反映介质特性的量——相对介电常数εr，并且

容易证明（见例3.2），在静电场情况下，εr为平行板电容器的两个极板之间填充相对介电系数为εr的介质后其电容的增加倍数。

例3.2 试证明当平行板电容器的极板间填充相对介电系数为εr的介质后，其静电电容增大εr倍。

证明：电容C的定义式为

C=Q/V

式中，Q为正极板上的电荷；V为极板间的电位差。我们知道，电场中某一点的电位被定义为将一个单位正电荷从无穷远处移到该点处电场力所做的功。若电容器的平行板之间存在着均匀电场 E，则其电位差应为E ·d，这里 d 是极板间的距离。下面的分析并不太复杂，因为在“测量”过程中总可以为电容器提供一个恒定的电压源（见图3.6），这时电容增加的系数为

C/C0=Q/Q0

式中，C0和Q0为其未被填充介质时的电容和电荷量；C和Q则是其被填充介质后的相应值。如图3.7所示，如果电容器在填充介质前后其正极板上单位面积的电荷密度分别为σ0和σ，则有

C/C0=σ/σ0

于是上面的问题就变成为当电容器被填充介质后σ增加了多少的问题。极化的影响总是试图将净电荷量减少 P，但是如果电位差维持不变，那么电场也必须保持不变。而电场是由表面净电荷除以ε0得到的（见例2.3），为了保持表面净电荷量维持不变，需要有额外的电荷流向极板，以使得σ0增大P，即σ=σ0+P，这样便有

根据εr的定义可得

C/C0=εr

下面我们来寻求折射率 n 与εr之间的关系。令自由电荷密度ρf和自由电流密度J f均为零，则介质中的麦克斯韦方程组变为

在式（3.42）中应用εr的定义，又有

对方程两端取旋度，可得

这里，E仍假设为一个对于时间和空间无关的函数，因此可以交换对时间和空间的微分顺序，同时再使用矢量恒等式，并将式（3.40）代入上式，可得

考虑到式（3.41），则有

这是一个关于B的三维的波动方程，并且有

v2=c2/εr

由式（3.37）可得v2=c2/n2

3.4 介质的磁化

3.4.1 磁化的概念

介质的磁化和介质的极化一样，也是与物质的结构紧密相关的。根据原子的简单模型，电子沿圆形轨道围绕原子核旋转，其作用相当于一个圆电流，即一个小电流环，这个小电流环可等效为在前面所定义过的磁偶极子。由于热运动等原因，物质中的圆电流产生的磁场常常互相抵消，因而总体对外并不显磁性。

介质中的电子和原子核都是束缚电荷，它们进行的轨道运动和自旋运动都是微观运动，由束缚电荷的微观运动形成的电流即为束缚电流，也称为磁化电流。在没有外加磁场的作用下，绝大部分材料中所有原子的磁偶极矩的取向是杂乱无章的，结果总的磁矩为零，对外不呈现磁性。

在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象称为物质的磁化。

3.4.2 磁化电流与磁化矢量M

与极化矢量的定义类似，为了描述并衡量介质的磁化程度，我们定义磁化强度矢量M为单位体积内磁偶极矩的矢量和：

式中，磁偶极矩pm =ISn是一个分子电流的磁矩，或者说是电流为I、面积为S的小圆环电流的磁矩。面积S的方向应与电流I的方向成右手螺旋螺旋定则，∑pm是ΔV体积元中的分子磁矩的矢量和。因此，M 可看成是单位体积中分子磁矩的矢量和。在这里，被磁化的介质产生的总体磁效应可以看成是由等效的磁化电流即束缚电流形成的。束缚电流产生的磁场等效于所有分子电流产生磁场的矢量总和，可以证明，介质磁化后对磁场的影响可用磁化电流密度Jm来等效，并且

磁化电流不同于自由电流，其电荷运动是被束缚在介质内部的，因此也称为束缚电流。

3.4.3 磁场强度

现在来讨论磁介质中磁感应强度B、磁化矢量M和磁场强度H之间的关系。引入磁化电流后，磁介质中安培环路定律的微分形成可写成

式中，μ0为自由空间的磁导率。由式（3.46）可得

式（3.50）是一般介质中安培环路定律的微分形式，是考虑了磁化效应以后的麦克斯韦第四方程。这里的磁场强度 H 被视为是介质中的一个场函数，与自由空间的磁场强度H=B/μ0相比，引入了磁化矢量M。

对于线性、各向同性及均匀磁介质，由实验可证明，M与H成正比，即

式中χm为磁化率，是一个标量常数。将式（3.51）代入式（3.49），可得

B=μ0 H+μ0 M=μ0 H+μ0 χm H=μ0(1+χm)H =μ0 μr H=μH

我们称式（3.52）为反映介质磁化的物态方程，式中μ=μ0 μr是磁介质的磁导率，μr =1+χm是磁介质的相对磁导率。

3.4.4 磁介质

所谓磁介质，就是在外加磁场的作用下，能产生磁化现象，并能影响外磁场分布的物质。事实上，除了真空外，其他任何物质都是可磁化的磁介质，只不过磁化效应的强弱存在差别而已。根据物质的磁效应的不同，磁介质通常可分为抗磁质、顺磁质、铁磁质、亚铁磁质等。

1.抗磁质

抗磁质主要是由电子轨道磁矩产生磁化现象引起的，在外磁场的作用下，电子轨道磁矩的方向和外磁场的方向相反。这时磁化率χm为负，相对磁导率μr＜1，即M与B的方向相反，磁介质内B变小。

2.顺磁质

顺磁质主要是由电子自旋磁矩引起的。轨道磁矩的抗磁效应不能完全抵消它，在外磁场作用下电子的自旋磁矩和外磁场方向一致，即M与B方向相同，磁化率χm＞0，相对磁导率μr＞1。

上述两种磁介质的磁化率都较小，μr均在1附近。工程上常常将这些磁效应很弱的材料看成是非磁性材料。

3.铁磁质

在外磁场的作用下，呈现强烈的磁化，能明显地影响磁场的分布，这类材料称为铁磁材料。在铁磁材料中，存在许多天然小磁化区，即磁畴。每个磁畴由多个磁矩阵方向相同的原子组成，在无外磁场作用时，各磁畴排列混乱，总磁矩相互抵消，对外不显磁性。但在外磁场作用下，磁畴企图转向外磁场方向排列，形成强烈磁化。因此，铁磁性物质的磁化，是由于外磁场与磁畴共同作用的结果。撤去外磁场后，部分磁畴的取向仍保持一致，对外仍然呈现磁性，称为剩余磁化。时间长了，或温度升高，剩余磁化会消失。铁磁材料是一种非线性磁介质，其曲线与磁化历史有关，形成了一个磁滞回线。

4.亚铁磁质

亚铁磁质是指其中某些分子（或原子）的磁矩与磁畴平行，但方向相反的材料。在外磁场作用下，这类材料也是呈现较大磁效应，但由于部分反向磁矩的存在，其磁性比铁磁材料要小。在工程技术上用得较多的是铁氧体，其最大特点是：磁导率是各向异性的，而介电常数则呈各向同性。

例3.3 某一各向同性材料的磁化率χm =2，磁感应强度B=20 yex（mWb/m2），求该材料的相对磁导率μr、磁导率μ、磁化电流密度J m、传导电流密度J c、磁化强度M和磁场强度H。

解：根据关系式μr =1+χm，得

μr =1+2=3

且μ=μrμ0=3×4π×10-7=3.77（μH/m）

又H=B μ=5.31yex（kA/m）

而M=χm H =2H=10.61yex（kA/m）

J 2c =▽× H =-5.31ez（kA/m）

3.5 介质中的麦克斯韦方程组

在第2章中，我们已经讨论过自由空间中电磁场的基本定律，给出了自由空间中麦克斯韦方程组的微分形式、积分形式和时谐形式。在上面对电介质和磁介质等介质的宏观电磁性质所做的分析和研究中，我们定义了两个新的场量，即

电位移矢量D：D=ε0 E+P

D=εE（反映介质极化的物态方程）

ε=ε0εr =ε0(1+αp)

磁场强度H：

B=μH（反映介质磁化的物态方程）

μ=μ0 μr =μ0(1+χm)

它们分别反映了介质的极化和磁化效应。

由此，可以写出考虑了介质的极化和磁化效应后，一般介质中麦克斯韦方程组的微分形式：

及一般介质中麦克斯韦方程组的积分形式：

由此可以看出，介质中麦克斯韦方程组和真空中麦克斯韦方程组的表达式在形式上是相同的，只是将其场量推广到了一般介质，而不再局限于真空的情况。

另外，此时电流连续性方程的微分形式为

电流连续性方程的积分形式为

在例2.4 中已经证明：由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程及电流连续性方程，可导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。也就是说，麦克斯韦方程组的四个方程，再加上电流连续性方程这五个方程中，事实上只有三个方程是独立的。为了获得电磁场的解，还需要利用三个物态方程

D=εE, B=μH, J c =γE

才可得到一般介质中完整的麦克斯韦方程组的解。

3.6 电磁场的边界条件

在实际工作中，往往会涉及到由不同的介质组成的电磁系统。从麦克斯韦方程组的微分形式和物态方程，只能获得一切电磁系统都适用的通解。若要获得给定电磁系统中的特解，还必须知道该系统中不同介质交界面的边界情况，及电磁场在不同介质交界面上所遵循的规律——边界条件。

研究边界条件的出发点仍然是麦克斯韦方程组，但在不同介质的交界面处，由于介质不均匀，介质的性质发生了突变，使得场量也可能产生突变，因此，麦克斯韦方程组的微分形式可能不再适用，而只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导出边界条件。

电磁场的边界条件通常包括边界面上场量的法向分量之间的关系和切向分量之间的关系，由式（3.54）给出的麦克斯韦方程组的积分形式如下：

电流连续性方程的积分形式为

从式（3.57）、式（3.58）和式（3.61）可知，D、B 和 J 的边界条件应根据场量的法向分量去进行研究。从式（3.59）和式（3.60）可知，E和H的边界条件应根据场量的切向分量去进行研究。下面我们来分别讨论D、B、J、E和H这5个场量的边界条件。

1.一般介质界面的边界条件

如图3.8所示为两种一般介质的交界面，第一种介质的介电常数、磁导率、电导率分别为ε1、μ1、γ1，第二种介质的分别为ε2、μ2、γ2。

（1）电位移矢量D的边界条件

如图3.9所示，在分界面上取一个小的柱形闭合面，其上下底面与分界面平行，且为ΔS，并分别在边界的两边。柱形闭合面高为h，是一无限小量，介质界面自由电荷面密度为σS。

在柱形闭合面上应用高斯定律，有

用矢量表示为

式中，σS是分界面上的自由电荷面密度；n为面积ΔS的法向矢量，由介质2指向介质1。由式（3.62）可知，D的法向分量在分界面处产生了突变，该式即为D的法向边界条件。

（2）磁通密度B的边界条件

与图3.9类似，由磁场高斯定律可得

写成矢量式为

式（3.65）表明，B的法向分量是连续的，该式即为B的法向边界条件。

式（3.62）～式（3.65）说明：当分界面上存在自由电荷时，D的法向分量将发生突变，突变量就等于分界面上的电荷面密度σS。当σS=0时，D的法向分量是连续的，而B的法向分量在任何情况下均是连续的。

（3）电流密度J的边界条件

与图3.9类似，由电流连续性原理，有

因为ρ=▽·D

由高斯散度定理得

在小闭合柱面上应用电流连续性定律，有

因为h→0为无穷小，故闭合柱面中包围的自由电荷是分布在交界面ΔS上的面电荷。所以

q=σS ΔS

写成矢量式为

式（3.67）表明：当分界面处电荷面密度发生变化时，其电流密度的法向分量产生突变，突变量为电荷面密度的变化率。式（3.67）即为J的法向边界条件。

（4）电场强度E的边界条件

电场强度 E 的边界条件通常用电场的切向分量来表示。如图3.10所示，将界面上的电场强度分解为切向分量和法向分量，在分界面上取一矩形闭合路径abcd，该路径的两个Δl边与分界面平行，且分别在分界面两侧，另外，两个边的距离h为无限小量。

由麦克斯韦第二方程，得

式中，为矩形回路所包围的磁通变化率。

因为∂B/∂t为有限值，h为一无限小量，所以矩形回路所包围的磁通变化率为零，即有

写成矢量式为

式（3.69）表明：电场强度E的切向分量是连续的。式（3.69）称为E的切向边界条件。

（5）磁场强度H的边界条件

与图3.10类似，由安培环路定律，按照图3.10所示线路积分可得等式左边为

等式右边即闭合回路中穿过的总电流为

写成矢量式为

式（3.70）表明：当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向方向是连续的。式（3.70）称为H的切向边界条件。

综上所述，D、B、J、E和H这5个场量的边界条件分别分别是

2.几种特殊介质的边界条件

在研究电磁场问题时，下述分界面的讨论经常出现。

（1）两种无损耗线性介质的分界面——即两种理想介质的分界面

理想介质的电导率γ=0，属无损耗介质。因此，常将γ极低的介质，如空气和云母视为理想介质。

在γ1=γ2=0的理想条件下，由J=γE可得J S =0，于是有如下边界条件：

D1n-D2n =σS，E1t =E2t

B1n =B2n，H1t =H 2t，J1n =J 2n =0

也就是说，理想介质中不可能有传导电流。

对于无源的情况，即ρ=0、Jc =0的情况下，理想介质的界面上相应的边界条件为

（2）理想介质和理想导体的界面

理想介质的电导率γ=0，而理想导体的电导率γ=∞，工程上常将电导率很高的金属，如铜、铝、金、银等视为理想导体。

根据J=γE的关系可知，在理想导体内部不存在电场，即E=0，否则导体中的传导电流密度将为无穷大。所以，在介质分界的表面上有

E2t =0，D2=0

这将导致D2t =0，而在理想导体中，由于B2=0，则H 2=0，即在介质分界的表面上有

B2n =0, H 2n =0

综上所述，相应的边界条件为

式（3.73）表明：对于时变电磁场中的理想导体，电场总是与导体表面相垂直，而磁场总是与导体表面相切。导体内部既没有电场，也没有磁场。

（3）静态电磁场的边界条件

静态电磁场是时变电磁场的特殊情况。在静态场中，场量不随时间发生变化，从上面所得到的结论中可得，静态电磁场的边界条件为

例3.4 如图3.11所示，在大地与空气的分界面上，设土壤中的电场强度为1210 V/m，电场与地面法线夹角是θ2=20°。已知土壤的电导率为10-5（S/m）、相对介电常数为6，试求：（1）空气的电场强度值；（2）空气中电位移矢量值；（3）空气中电场强度与地面法线的夹角θ1。

解：令空气为介质1，大地为介质2，则ε1=ε0，ε2 =6ε0，γ2=10-5 S/m很小，可视为介质，根据式（3.57）和式（3.63）可得

D1n =D2n

即ε1E1n =ε2E2n

所以ε1 丨E1丨cosθ1=ε2 丨E2丨cosθ2

又因为E1t =E2t，即

丨E1丨sinθ1=丨E2丨sinθ2

因此有

此式表明了场量E和D从一种介质进入另一种介质时的折射规律，或称为折射定律，有关内容将在后面的章节中详细讨论。

根据已知条件可得

所以θ1=3° 28＇，于是可求出

（1）

（2）D1=ε1 E1=8.85 ×10-12 × 6840=6.0534 ×10-8（C/m2）

（3）θ1=3° 28＇

例3.5 设区域1（z＜0）的介质为εr1=1、μr1=1及γ1=0；区域2（z＞0）的介质为εr2=5、μr2=20及γ2=0；区域1中电场强度为

E1=[60cos(15×108t-5z)+20cos(15×108t+5z)]ex（V/m）

区域2中电场强度为

E2=Acos(15×108t-50z)ex（V/m）

试求：（1）参数A；（2）磁场强度H1；（3）磁场强度H 2；（4）证明在z=0处H1和H 2满足边界条件。

解：（1）由题意知z=0为理想介质的界面，在边界面上

E1=(60+20)cos(15×108t)ex=80cos(15×108t)ex

E2=Acos(15×108t)ex

这里E1和E2恰好为切向电场，根据电场的边界条件E1t =E2t 得

A=80（V/m）

（2）根据麦克斯韦方程，有

根据题意有E1=E1xex+0ey+0ez

H1=H1yey=[0.1592cos(15×108t-5z)-0.0531cos(15×108t+5z)]ey（A/m）

（3）同理，由可求得

H2=0.1061cos(15×108t-50 z)e y（A/m）

（4）将z=0代入（2）和（3）中的H1和H 2，可得

H1=0.1061cos(15×108t)ey

H2=0.1061cos(15×108t)ey

H1和H 2正好就是界面上的切向分量，两者相等，丨H1t 丨=丨 H 2t 丨=0.1061（A/m），满足磁场的边界条件。

例3.6 介质1 和自由空间的边界面方程为3x+2 y+z=12（m），在界面的原点一侧，相对介电常数εr1=3，电场强度E1=2ex+5ez（V/m），求电场强度E2。

解：如图3.12所示，自由空间一方的法向矢量为

电场E1在e n方向的投影为

由E1t =E2t，得

E2t =-0.36ex-1.57ey+4.21ez

由D1n =D2n，得

D2n =ε0(7.08ex+4.17ey+2.37ez)

最后可得

E2=E2n+E2t =6.72ex+3.14ey+6.58ez（V/m）

本章小结

1.在介质中，电偶极矩，若引入分子极化率αp，即令，则pe =ε0αp E。

2.单位体积内的电偶极矩数称为极化矢量，即。极化矢量P的散度与束缚电荷密度ρb有关：▽· P=-ρb，而P对时间的导数则等于束缚电流密度J b，即J b=∂P ∂t。

3.电介质的介电系数ε=εrε0，其中εr=1+αp称为电介质的相对介电系数。

4.平均极化矢量Pav=ε0 Nαp E。

5.洛伦兹局部电场的表达式为Elocal=E(i)+Pav /3ε0，此式说明：局部电场的影响可使电场增强Pa v/3ε0，式中E(i)=σ/ε0。

6.介质的折射率n=c/v，它与相对介电系数的关系为n 2=εr。

7.磁偶极矩pm=IS，单位体积内磁偶极矩的矢量和称为磁化强度矢量M，即

由磁化强度又可得磁化电流密度为

Jm=▽× M

8.在各向同性及线性磁介质中，M与H成正比，即M=χm H，其中χm为磁化率，是一个标量常数。

9.反映介质磁化的物态方程为B=μH，其中μ=μ0 μr为磁介质的磁导率，μr=1+χm为磁介质的相对磁导率。

10.考虑介质的极化效应时，麦克斯韦方程组中将引入极化矢量 P，这时的麦克斯韦方程组变为

▽(E+P/ε0)=ρf/ε0

▽×E=-∂B/∂t

▽·B=0

c 2▽× B=J f/ε0+∂/∂t(E+P/ε0)

11.考虑介质的磁化效应时，麦克斯韦方程组中将引入磁化矢量 M，这时的麦克斯韦方程组变为

▽· E=ρf /ε0

▽×E=-∂B/∂t

▽·B=0

12.综合考虑介质极化与磁化效应时，可得一般介质中的麦克斯韦方程组为

13.介质中的电流连续性方程如下。

14.介质中的三个物态方程为

D=εE，B=μH，J c =γE

15.D、B、J、E和H五个场量的边界条件分别为

n·(D1-D2)=σS，n·(B1-B2)=0，n·(J1-J 2)=-∂σS /∂t

n×(E1-E2)=0，n×(H1-H2)=JS

16.特殊介质的边界条件如下。

（1）两种理想介质的分界面上的边界条件

D1n -D2n =σS，E1t =E2t

B1n =B2n，H1t =H 2t，J1n =J 2n =0

（2）理想介质和理想导体的分界面上的边界条件

n× H1=JS, H1t=J S

n × E1=0, E1t=E2t=0

n × B1=0, B1n=B2n=0

n × D1=σS, D1n=σS

（3）静态电磁场的边界条件

D1n -D2n =σS, n·(D1-D2)=σS

E1t =E2t, n ×(E1-E 2)=0

B1n =B2n, n ·(B1-B2)=0

H1t =H 2t, n ×(H1-H 2)=0

习题3

3.1 已知铜导线的直径为1mm，ε=ε0，μ=μ0，电导率γ=5.8×107 S/m。当导线中电流为I =2 cos（2π× 50t）（A）时，导线中的位移电流密度为多少？

3.2 有一典型金属导体，电导率γ=5 ×107 S/m，ε=ε0，电流密度为J=106 sin[117.1(3.22t-z)]ex（A/m2），求位移电流密度。

3.3 材料的εr =1.5，μr =1，令E=e 60cos105x t（V/m），试求：（1）传导电流密度Jc；（2）位移电流密度Jd；（3）位移电流与传导电流密度振幅相等时电导率γ应为多大？

3.4 用圆柱坐标系，分别位于r1=5mm，r2=20mm，z1=0和z2=50mm处的理想导体表面构成的封闭区域中，介质参数为εr =2.2 5，μr =1和γ=0，已知该区域中的磁场H =eφ(2/r)cos(2πz)cos(4π×108t)（A/m），求：（1）封闭区域内的电场 E；（2）r=5mm，z=25mm的表面电流密度J S；（3）r=20mm，z=25mm处的表面电荷密度σS；（4）r=10mm，z=25mm处的位移电流密度J d。

3.5 潮湿土壤的电导率γ=10-3 S/m，εr =2.5，电场强度E=6×10-6sin(9×109t)ey（V/m），求传导电流和位移电流密度。

3.6 电场E=exE0 cosωt（V/m），ω=1000 rad/s，计算下列情况下的传导电流密度和位移电流密度振幅之比：（1）在铜导体内，γ=5 ×107 S/m，εr =1；（2）在蒸馏水中，γ=2 ×10-4 S/m，εr =80；（3）在聚苯乙烯中，γ=10-6 S/m，εr =2.53。

3.7 在介质γ=0，ε=4ε0和μ=5μ0中，位移电流密度为2cos(ωt-5x)ez（μA/m 2）。（1）根据位移电流的定义求D和E；（2）用法拉第定律的微分形式和对时间积分求B和H；（3）利用安培环路定律的微分形式求位移电流密度Jd，并求ω。

3.8 在时变电磁场中的导体内部，设t=0时分布有电荷密度为ρ0的电荷。

（1）证明电荷随时间的变化规律为ρ(t)=ρ0e-t/τ，式中τ=ε/γ（s）为电荷密度减小到初始值的1/e时所经历的时间，也称为弛豫时间；

（2）分别计算铜[γ=5.7 ×107 s/m,εr=1]和石墨[γ=0.12 s/m,εr =5]的弛豫时间。

3.9 如果γ=0，ε=2.5ε0，μ=1 0μ0，下面的哪组场满足麦克斯韦方程组？

（1）E=2yey，H =5xex。

（2）E=100sin（6×107t）sinzey，H =-0.1328cos(6×107t)coszex。

（3）D=(z+6×107t)ex，B=(-754z-4.52×1010t)ey。

3.10 海水的γ=4 s/m，在 f =1GHz时的εr =81，如果把海水视为一种等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜γ=5.7 ×107 s/m,εr =1，试比较在 f =1GHz时的位移电流和传导电流的幅值，并写出H的微分方程。

3.11 由圆形极板构成的平行板电容器，极板面积为S，板间距为d，其中充满介电常数为ε的电介质。当两极板间外加低频电压u=U m sinωt时，可不考虑变化磁场对电场的影响。若忽略边缘效应，（1）求两极板间的位移电流Id；（2）证明Id等于电容器引线中的传导电流。

3.12 一点电荷q=10-5 C，以角速度ω=103 rad/s作圆周运动，圆周半径r0=1cm，求圆心处的位移电流密度。

3.13 分别用下列两个场量表达线性、各向同性介质中的麦克斯韦方程。

（1）E和H；（2）D和B。

3.14 已知在介电常数为ε、磁导率为μ、电导率为0的各向同性的均匀介质中，其中电流密度为J，电荷密度为ρ，试证明：电场强度E和磁场强度H满足非齐次波动方程：

3.15 试证明：在介电常数为ε(r)、磁导率为μ0、电导率为0 的非均匀无源介质（J =0、ρ=0）中，电场强度E和磁场强度H满足波动方程：

3.16 写出在空气和μ=∞的理想磁介质之间的分界面上的边界条件。

3.17 写出推导纯导体（γ=∞）表面边界条件n × H1=J S的详细步骤。

3.18 在由理想导电壁（γ=∞）限定的区域0≤ x≤ a内存在一个如下的电磁场：

这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？

3.19 证明：在均匀电介质内部，极化电荷体密度ρp总是等于自由电荷密度ρ的ε0/ε-1倍。

3.20 证明：在均匀磁介质内部，在稳定情况下磁化电流J m总是等于传导电流J c的μ/μ0-1倍。

3.21 在无损耗的各向同性介质中，E 的波动方程为▽2 E+ω2 με E=0，试问：在满足什么条件下，E=Aeik·r是波动方程的解，此电场作为麦克斯韦方程组的解的条件是什么？

3.22 在一个无源电介质中，已知电场E=exEm cos(ωt-βz)（V/m），试问：在什么条件下E才能够存在？其他场量如何？