1.3 抽样定理

实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是连续变化的。在对随时间或空间变化的物理量进行检测、记录、存储、处理和传送时，常常不能用连续方式进行。在今天的数字时代，以往用模拟方式连续进行的信息检测、记录、存储、处理和传送也被数字方式所取代。连续变化的物理量要用它的一些离散分布的抽样值来表示，而且这些抽样值的表达方式也是离散的。例如，现今广泛使用的CCD摄像机记录连续变化的图像时，每秒钟只记录30幅图像，表达每幅图像所用的采样点数由CCD的像素数所限制。那么这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？换句话说，是否可以由这些抽样值恢复一个连续的原函数？这正是抽样定理所要回答的问题。这一节讨论的就是惠特克-香农（Whittaker-Shannon）抽样定理的二维形式。

下面就来推导二维的抽样定理。图1.3-1的一维图解分析便于直观了解函数抽样和还原的过程以及在频域产生的相应变化。

1.3.1 函数的抽样

利用梳函数对连续函数g（x，y）抽样

抽样函数gs由δ函数的阵列构成，各个空间脉冲在x 方向和y方向的间距分别为X和Y。每个δ函数下的体积正比于该点g的函数值。利用卷积定理，抽样函数gs的频谱为

空间域函数的抽样，导致函数频谱G的周期性复现，以频率平面上点为中心重复G。

假定g（x，y）是限带函数，其频谱仅在频率平面一个有限区域R上不为零。若2Bx和2By分别表示包围R 的最小矩形在fx和fy方向上的宽度，则只要

或者抽样间隔

Gs中各个频谱区域就不会出现混叠现象。这样就有可能用滤波的方法，从Gs 中抽取原函数频谱G，而阻挡其他各项，再由G求出原函数。

因而，能由抽样值还原原函数的条件是：

① g（x，y）是限带函数。

② 在x，y方向抽样点最大允许间隔分别为和。通常称为奈奎斯特（Nyquist）间隔。显然，当函数起伏变化大，包含的细节多，频带范围较宽时，抽样间隔就应当较小。

1.3.2 函数的还原

把抽样函数 gs（x，y）作为输入，施加到一个低通滤波器上。选择适当的滤波函数H（fx，fy），使Gs中（n=0，m=0）项无畸变通过，而摒弃其他各项，只要频谱不混叠，这是可以做到的。滤波器的输出将给出还原的原函数。

选择矩形函数作为滤波函数

经过滤波，可由Gs准确再现G：

根据卷积定理，在空间域得到

式中

把它们代入式（1.3-6），得到

若取最大允许的抽样间隔，即，，则

这样就证明了：只要抽样间隔满足式（1.3-3）所给的条件，就可以准确还原一个限带的连续函数。办法是在每一个抽样点上放置一个以抽样值为权重的sinc函数作为内插函数，由这些sinc函数的线性组合可复原原函数。式（1.3-7）称为惠特克-香农（Whittaker-Shannon）抽样定理。

抽样定理的重要结论是：一个连续的限带函数可由其离散的抽样序列代替，而并不丢失任何信息。换句话说，这个连续函数具有的信息内容等效于一些离散的信息抽样。抽样定理指出了重新产生连续函数所必须的离散值的最低数目，以及由抽样值恢复原函数的方法，即在空域插值或在频域滤波的方法。

1.3.3 空间带宽积

若限带函数g（x，y）在频域中丨fx丨≤Bx，丨fy丨≤By 以外恒等于零，考虑函数在空域丨x丨≤X，丨y丨≤Y的区间上抽样数目最少应为

式中，4XY表示函数在空域中的面积；4BxBy 表示函数在频域中的面积。在该区间函数可由16XYBxBy个抽样值来近似表示。当然，这只是一种近似。根据抽样定理，xy平面上任一点的准确的函数值应等于整个∙∙空间域所有抽样点上内插的sinc函数在该点的贡献之和。由于sinc函数衰减很快，离该点足够远的位置上的sinc函数的贡献趋于零。因而在一定精度内，只需要该点周围有限数目的抽样值就可近似确定这一点的函数值。

空间带宽积SW就定义为函数在空域和频域中所占面积之积：

它不仅用来描述空间信号（如图像、光学像）的信息容量，也可用来描述成像系统、信息处理系统的信息传递或处理能力。例如，成像系统的空间带宽积就等于有效视场和由系统截止频率所确定的通带面积的乘积。