1.3 动态系统数学模型变换

1.3.1 状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型

1.状态向量的线性变换

1.2节已阐述过，给定线性定常系统的状态空间表达式不具有唯一性，选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式。所任意选取的两个状态向量x和之间实际上存在线性非奇异变换（或称坐标变换）关系，即

式中，T为线性非奇异变换矩阵，T-1为T的逆阵。而对应x和的两种状态空间表达式的矩阵与该非奇异变换矩阵T有确定关系。

设给定系统在状态向量x下的状态空间表达式为

若引入式（1-76）所示的线性非奇异变换（称为对系统进行T变换），将x变换为，则系统在新的状态向量下的状态空间表达式可将式（1-76）代入原状态空间表达式（1-77）得到，即

式中，=T-1AT，=T-1B，=CT，=D。显然，原状态空间中的系统矩阵A与变换后的新状态空间中的系统矩阵是相似矩阵，而相似矩阵具有相同的基本性质，例如，行列式相同、秩相同、特征多项式相同和特征值相同等。事实上，式（1-77）和式（1-78）均描述了同一给定系统。其能对该系统的时域行为表达同样的信息，即对系统进行线性非奇异变换，并不会改变系统的原有性质，故也称为等价变换。其是基于状态空间模型对系统进行分析和综合的一个重要方法。实际上，为了便于揭示系统特性或简化系统的分析、综合工作，通常通过状态向量的线性非奇异变换，将系统状态空间表达式等价变换为某种规范型，如能控标准型、能观标准型、对角线标准型、约当标准型等。

2.系统的特征值

n阶线性定常系统

的特征值即为其系统矩阵A的特征值，即特征方程

的根。其中，A为n×n维实数方阵，I为n×n维单位矩阵，|λI-A|=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an称为系统的特征多项式。因实际物理系统的系统矩阵A为实数阵，故其特征值或为实数，或为共轭复数对。

由线性代数知，设λi是n阶方阵A的一个特征值，若存在一个n维非零向量pi，满足

则称pi为方阵A对应于特征值λi的特征向量。

【例1-9】 求下列矩阵

的特征值和特征向量。

解 A的特征多项式为

则A的特征方程为

（λ+1）（λ+2）（λ+3）=0

解之，得A的特征值为

λ1=-1，λ2=-2，λ3=-3

设对应于λ1=-1的特征向量p1=

则由式（1-80）的定义有

解之，得

p21=0，p11=p31

令p11=p31=1，则对应于λ1=-1的特征向量可取为

同理，对应于λ2=-2，λ3=-3的特征向量分别可取为p2=

p3=

3.系统特征值的不变性

系统经线性非奇异变换后，其特征多项式不变，即系统特征值不变。下面给出这一结论的证明。

不失一般性，设式（1-77）所示系统引入式（1-76）所示的线性非奇异变换，则变换后系统的特征多项式为

上式表明，系统线性非奇异变换前、后的特征多项式完全相同，即系统特征值在线性非奇异变换下具有不变性。

4.状态空间表达式化为对角线标准型

虽然通过线性非奇异变换，可以得到无数种系统的状态空间表达式，但能控标准型、能观标准型、对角线标准型和约当标准型等标准型状态空间表达式在简化系统的分析与设计中具有重要地位。因此，有必要讨论状态空间表达式的标准化问题。这里先讨论对角线标准型和约当标准型。

对于线性定常系统

若系统的特征值λ1，λ2，…，λn互异，则必存在非奇异变换矩阵T，经x=T或=T-1x的线性变换，可将状态空间表达式变换为对角线标准型，即

式中，λi（i=1，2，…，n）是系统矩阵A的n个互异特征值；由式（1-80）求出对应于特征值λi的特征向量pi（i=1，2，…，n），则变换矩阵T由A的特征向量p1，p2，…，pn构造，即

且

应该指出，对应于特征值λi的特征向量pi（i=1，2，…，n）并非唯一，因此，式（1-84）所示由p1，p2，…，pn构造的变换矩阵T也不是唯一的。

【例1-10】 试将下列状态方程变换为对角线标准型。

解 A的特征方程为

可见，A的特征值互异，且为λ1=2，λ2=1，λ3=-1。由特征向量的定义，可得出A分别属于λ1，λ2，λ3的特征向量p1，p2，p3。

由Ap1=λ1p1，即

得

解之，得

可见，对应于特征值λ1=2的特征向量并非唯一，可取为p1=

同理，对应于λ2=1，λ3=-1的特征向量分别可取为

于是得到线性非奇异变换矩阵

其逆矩阵为

则引入x=T线性变换后的系统矩阵、输入矩阵分别为

变换后的状态方程为

以上讨论是在A矩阵为任意形式时进行的，下面对A矩阵为“友矩阵”这一标准型的情况进行讨论。若n阶方阵A的形状为

其特征多项式为

数学上称形如式（1-86）的矩阵为相伴矩阵或友矩阵。友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1；最后一行的元素与其特征多项式的系数有一一对应关系（如式（1-86）和式（1-87）所示）；而其余元素均为零。

可以证明，若n阶方阵A为友矩阵，且有n个互异特征值λ1，λ2，…，λn，则以下列范德蒙德（Vandermonde）矩阵T为变换矩阵，可将A阵化为对角线矩阵，即

式（1-88b）中，A为式（1-86）所示的n × n维友矩阵，且其n个特征值λ1，λ2，…，λn互异，T为式（1-88a）所示的范德蒙德矩阵。

5.状态空间表达式化为约当（Jordan）标准型

当n阶系统矩阵A具有重特征值时，若A仍然有n个独立的特征向量，则可将A化为对角线型矩阵；若A独立特征向量的个数少于n，可将A变换为约当标准型。

下面讨论一种特殊情况。设n阶系统矩阵A具有m重特征值λ1，其余（n-m）个特征值λm+1，λm+2，…，λn为互异特征值，且A对应于m重特征值λ1的独立特征向量只有一个，则A经线性变换可化为约当标准型J，即

上式J中用虚线示出一个对应m重特征值λ1的m阶约当块J1，m阶约当块J1是主对角线上的元素为m重特征值λ1、主对角线上方的次对角线上的元素均为1、其余元素均为零的m×m维子矩阵，即

由于任意一个1阶矩阵都是1阶约当块，因此，式（1-89）所示的约当标准型是由n-m+1个约当块组成的分块对角矩阵，即每个独立特征向量对应一个约当块。

可以证明式（1-89）中的线性非奇异变换矩阵T为

式中，p1为m重特征值λ1对应的特征向量；pm+1…pn为其余（n-m）个互异特征值λm+1，λm+2，…，λn对应的特征向量；p2…pm则为m重特征值λ1对应的广义特征向量，即满足

整理式（1-92a）得

【例1-11】 将下列系统的状态空间表达式变换为约当标准型。

解 系统矩阵为友矩阵，由其最后一行元素可直接写出特征方程

|λI-A|=λ3-3λ-2=（λ+1）2（λ-2）=0

解得A矩阵的特征值

λ1=-1（2重），λ3=2

按照式（1-92）求变换矩阵T，对应于λ1=-1的特征向量由下列方程求

满足上列方程的独立特征向量个数为1，解之得 p1=

再求对应于2重特征值λ1=-1的一个广义特征向量p2，将求得的p1代入（λ1I-A）p2=-p1得

解之得

最后求对应于特征值λ3=2的一个特征向量p3，由

解之，得

则可构造线性非奇异变换矩阵T为

则

则引入x=T线性变换后的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵分别为

以上关于系统矩阵A经线性变换化为约当标准型J的讨论，仅仅是针对A矩阵的m重特征值λ1对应的独立特征向量只有一个这一特殊情况进行的。应该指出，当n阶系统矩阵A具有mi重特征值λi时（数学上称λi的代数重数为mi），与λi对应的线性独立特征向量数目等于其几何重数αi，αi=n-rank（λiI-A），其中rank为求矩阵的秩且1≤αi≤m i。读者可验证例1-11中的二重特征值-1的几何重数为1。若A矩阵的m重特征值λ1的几何重数即独立特征向量个数为l（1＜l＜m），则A矩阵的约当标准型应有l个约当块与其m重特征值λ1对应。另一特殊的情况，n阶系统矩阵A具有m重特征值λ1，其余（n-m）个特征值λm+1，λm+2，…，λn为互异特征值，但若m重特征值λ1对应的几何重数即独立特征向量个数为m，则应有m个一阶约当块与其m重特征值λ1对应，这时约当型就成为对角线标准型。总之，约当矩阵是相应于系统具有重特征值情况下状态变量之间可能的最简耦合形式。在这种形式下，各状态变量至多和下一序号的状态变量发生联系。

以上主要讨论了系统的线性变换及如何将状态空间表达式化为特征标准型（对角线标准型或约当标准型）的问题，在第3章中将讨论化能控系统为能控标准型和化能观系统为能观标准型的问题。

1.3.2 系统的高阶微分方程描述化为状态空间描述

在经典控制理论中，对线性定常系统常采用常微分方程和传递函数来描述系统输入和输出关系。在现代控制理论中，由描述系统输入、输出动态关系的微分方程或传递函数建立系统状态空间表达式的问题称为实现问题，要求所求得的状态空间表达式既保持原系统的输入、输出关系不变，又揭示出系统的内部关系。实现问题的复杂性在于，根据输入、输出关系求得的状态空间表达式并非唯一，因为会有无数个不同的内部结构均能获得相同的输入、输出关系。

1.微分方程中输入函数不含导数项的情况

当单输入单输出线性定常连续系统的输入量中不含导数项时，描述该系统微分方程的一般形式为

根据微分方程理论，若给定初始条件y（0），（0），…，y（n-1）（0）及t≥0时的输入u（t），则系统微分方程的解是唯一的，即该系统在t≥0时的行为是完全确定的。故可选取x1=y，x2=，…，xn=y（n-1）这n个变量作为状态变量，将式（1-93）化为

则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为

式中，x=

A=

B=

C=[1 0 0 … 0]。

其中，A矩阵为友矩阵。

与式（1-94）对应的系统模拟结构图（状态变量图）如图1-14所示。

从输入、输出的关系看，图1-15所示的结构图与图1-14的结构图是等效的。对应于图1-15，式（1-93）系统的另一种状态空间表达式为

【例1-12】 设系统的微分方程为：+5+13+7y=6u，求系统的状态空间表达式。

解 选取y，，为状态变量，即x1=y，x2=，x3=，则由系统的微分方程得状态空间表达式，即

其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为

2.微分方程中输入函数含有导数项的情况

当单输入单输出线性定常连续系统的输入量中含有导数项时（一般输入量导数的阶数小于或等于系统的阶数n），描述该系统微分方程的一般形式为

在这种情况下，不能选用y，，…，y（n-1）作为状态变量，否则状态方程中包含有输入信号u的导数项。它可能导致系统在状态空间中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性将被破坏。为了避免这种情况的产生，通常选用输出y和输入u及它们的各阶导数组成状态变量，以保证状态方程中不含u的导数项。下面介绍两种常用的方法。

方法一 若选取如下一组状态变量

式中，β0，β1，…，βn-1为n个待定系数。对式（1-98）求导，可得

由微分方程式（1-97）及式（1-98）所确定的y的各阶导数与状态变量之间的关系，可得

将上式代入式（1-99）中最后一行，可得

令式（1-100）中u的各阶导数的系数为零，可确定n个待定系数β0，β1，…，βn-1为

且令式（1-100）中u的系数为βn，即

为便于记忆，式（1-101）和式（1-102）也可写成式（1-103）的矩阵形式，即

则式（1-100）成为

则式（1-97）的向量-矩阵形式的状态空间表达式为

式中，β0，β1，…，βn-1及βn由式（1-101）及式（1-102）确定。与式（1-105）对应的系统模拟结构图（状态变量图）如图1-16所示。

【例1-13】 已知系统的微分方程为，试列写状态空间表达式。

解 由微分方程可知各项系数为

a1=6，a2=11，a3=6

b0=0，b1=1，b2=9，b3=4

由式（1-101）和式（1-102）可确定

β0=b0=0，β1=b1-a1β0=1

β2=b2-a1β1-a2β0=3

β3=b3-a1β2-a2β1-a3β0=-25

从而得到系统状态空间表达式为

方法二 设系统微分方程为

引入微分算子

微分算子本身并无意义，它是一种数学符号，一旦作用于函数，即产生意义。如令

则为被作用函数各阶导数代数和。

若令

原微分方程式（1-106）化为

引入中间变量z，令

则有pny=mnu=mnpnz，所以得出

经上述推导，可将原微分方程分解成如下两个方程

选择系统的状态变量为

得系统的状态方程为

输出方程为

由式（1-113）和式（1-114）得式（1-106）的向量-矩阵形式的状态空间表达式为

若输入量导数的阶数小于系统的阶数n，描述系统的微分方程为

则将b0=0代入式（1-115），即可得到式（1-116）对应的状态空间表达式。但b0=0时，也可按如下规则选择另一组状态变量，即

展开式（1-117）得

则有（n-1）个一阶微分方程

由式（1-118）对x1求导得

将式（1-116）代入式（1-120）得

由式（1-119）、式（1-121）及xn=y，可得式（1-116）系统的另一种形式的状态空间表达式为

1.3.3 系统的传递函数描述化为状态空间描述

SISO线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，系统输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比。将传递函数多项式中的变量s用算符d/dt置换便得到相对应的微分方程，因此，由传递函数建立系统状态空间表达式的方法之一是将传递函数化为微分方程，再应用1.3.2节介绍的方法求状态空间表达式。本节介绍将传递函数进行分解直接获得状态空间表达式的实现方法，其可视为MIMO系统传递函数阵实现的特例，关于MIMO系统传递函数阵实现问题在第3章中讨论。与高阶微分方程实现的非唯一性一样，从给定描述系统输入、输出动态关系的传递函数所求得的状态空间表达式也可以有无数个。

设单变量线性定常系统的传递函数为

式中，ai（i=1，2，…，n），βj（j=0，1，2，…，m）均为实数，且不失一般性，设n≥m。若n＞m，（s）为严格有理真分式，其状态空间实现中的直接传递矩阵D=0，系统称为严格正常型（或绝对固有系统）；若m=n，通过长除法将式（1-123）改写为

即当传递函数的分子阶次等于分母阶次时，输出含有与输入直接关联的项，其状态空间实现中的直接传递矩阵D=d，系统称为正常型；若m＞n时，称为非正常型，不能求得其实现。

虽然状态变量的选取并非唯一，但只要传递函数中分子、分母没有公因子，即不出现零极点对消，则n阶系统必有n个独立的状态变量，必可分解成n个一阶系统，每一种实现的系统矩阵的阶次均为n且具有相同的特征值。这种分子、分母没有公因子的传递函数的实现称为最小实现，本节仅讨论最小实现。

下面讨论将级联法、串联法和并联法3种分解方法用于式（1-125）中一般n阶严格有理真分式传递函数G（s）的实现。

式中，ai，bi（i=1，2，…，n）为实数常系数。

1.系统实现的级联法

将式（1-125）改写为

然后在传递函数的分子和分母上同乘一中间变量M（s）得

则有

M（s）=U（s）-a1s-1M（s）-…-an-1s-（n-1）M（s）-ans-nM（s）

Y（s）=b1s-1M（s）+b2s-2M（s）+…+bn-1s-（n-1）M（s）+bns-nM（s）

若指定每个积分器的输出为状态变量

相应的系统模拟结构图（状态变量图）如图1-17所示，其中1/s表示积分环节。

由图1-17写出式（1-125）系统采用级联法实现的状态空间表达式为

注意：式（1-127）中状态方程的系数矩阵A、B的结构特征（B中最后一个元素为1，而其余元素为零；A为友矩阵）。若单输入量系统状态空间表达式中的A，B具有这种标准形式，则称其为状态空间表达式的能控标准型。因此，式（1-127）也称为式（1-125）系统的能控标准型实现。显然，系统传递函数式（1-125）对应的微分方程即为式（1-116），将b0=0代入式（1-115）也可得到系统的能控标准型状态空间表达式（1-127）。若按式（1-117）选取状态变量，式（1-125）系统的另一种形式的状态空间表达式则为

注意式（1-128）中系数矩阵A，C的结构特征（C中最后一个元素为1，而其余元素为零；A为友矩阵的转置）。若单输出系统状态空间表达式中的A、C具有这种标准形式，则称其为状态空间表达式的能观标准型。因此，式（1-128）也称为式（1-125）系统的能观标准型实现，相应的状态变量图如图1-18所示。

由式（1-127）及式（1-128）可见，式（1-125）系统的能控标准型实现∑c（Ac，Bc，Cc）和能观标准型实现∑o（Ao，Bo，Co）中的各系数矩阵具有如式（1-129）所示的对偶关系，即

式中，上标T为矩阵转置符号。

【例1-14】 已知系统传递函数为G（s）=

试求其能控标准型、能观标准型状态空间表达式。

解 由式（1-127）得系统的能控标准型实现为

式中，Ac=

Bc=

Cc=[1 5 0]。

由式（1-128）得系统的能观标准型实现为

式中，Ao=

Bo=

Co=[0 0 1]。

2.系统实现的串联法

串联法的基本思路是将传递函数G（s）的分子多项式和分母多项式分别进行因式分解，从而将G（s）表达成若干个一阶、二阶传递函数的乘积，分别对各个一阶、二阶子系统模拟，再将它们串联起来得到系统模拟结构图，由系统模拟结构图即可写出状态空间表达式。下面举例说明。

【例1-15】 设系统传递函数已分解为因式相乘形式（即零点、极点形式），即

式中，zi和pj均为实数（i=1，2，…，n-1；j=1，2，…，n），试用串联法求其状态空间表达式。

解 将式（1-130）改写为

上式表明，系统可看成由n个一阶子系统串联而成，分别对各一阶子系统进行模拟，再将它们串联起来即得系统的模拟结构图，如图1-19所示。选每个积分器的输出为系统状态变量，则由图1-19可写出系统状态方程及输出方程分别为

则向量-矩阵形式的状态空间表达式为

【例1-16】 已知系统传递函数为

试求其状态空间表达式。

解 将传递函数分解为因式相乘的形式，即

其串联实现的模拟结构图如图1-20所示。

选每个积分器的输出为系统状态变量，则由图1-20可写出系统状态方程及输出方程分别为

则向量-矩阵形式的状态空间表达式为

式中，A=

B=

C=[0 … 0 b0]。

3.系统实现的并联法

并联法的基本思路是采用部分分式法将传递函数G（s）分解成若干个一阶、二阶传递函数之和，分别对各个一阶、二阶子系统模拟，再将它们并联连接得系统模拟结构图，由系统模拟结构图即可写出状态空间表达式。

设n阶严格有理真分式传递函数为

式中，-pi为系统极点（i=1，2，…，n）。可采用部分分式法将上式展成部分分式之和，为简单起见，本节仅限于讨论-pi为实极点（i=1，2，…，n）的情况，并分G（s）的n个极点互异和G（s）含有重极点两种情况进行讨论。

（1）传递函数G（s）只含单实极点时

传递函数如式（1-135），则系统特征方程为

式中，-pi（i=1，2，…，n）为系统的互异实极点，则传递函数G（s）可展成部分分式之和

式中，ci（i=1，2，…，n）为待定系数，可由留数法求出，即

式（1-137）表明，式（1-135）所示系统当其仅含单实极点时，可看成由n个一阶子系统并联而成，对应的模拟结构图如图1-21所示。选各积分器的输出为系统状态变量，则由图1-21可写出式（1-135）所示系统当其仅含单实极点时的状态空间表达式

式（1-139）为对角线标准型状态空间表达式，其系统矩阵A为对角线标准型，对角线上各元素就是系统的特征值，即传递函数的极点。

【例1-17】 设系统传递函数为G

（s）=，试应用并联法求其状态空间表达式。

解 由系统特征方程

D（s）=s（s2+7s+12）=0

求得系统特征值为0，-3，-4，则可将系统传递函数分解成部分分式之和，即

式中，，，。

则根据式（1-139），系统对角线标准型状态空间表达式为

对应的系统状态变量图如图1-22所示。

【例1-18】 设系统传递函数为，试求对角线标准型状态空间表达式。

解 ，则其状态空间实现中的直接传递矩阵D=1。

又

式中，，。则系统对角线标准型状态空间表达式为

（2）传递函数G（s）含重实极点时

当式（1-135）传递函数G（s）含重实极点时，不失一般性，假设

式中，-p1为q重实极点，其他-pi（i=q+1，q+2，…，n）为单实极点。

则G（s）可以分解为

其中，q重极点-p1所对应的部分分式系数c1j（j=1，2，…，q）按式（1-142）计算，即

对于单极点-pi（i=q+1，q+2，…，n），对应的部分分式的系数则按式（1-143）计算，即

由式（1-141）选择系统状态变量的拉氏变换为

由式（1-144）得

整理式（1-145）得

由式（1-141）和式（1-144）得

式（1-147）取拉氏反变换，得输出方程为

式（1-146）取拉氏反变换，得状态方程为

由式（1-148）和式（1-149）得式（1-140）系统的向量-矩阵形式的状态空间表达式为

可以看出，式（1-150）为约当标准型状态空间表达式，其系统矩阵A为约当标准型（A中用虚线示出一个对应q重实极点-p1的q阶约当块）。与式（1-150）对应的系统状态变量图如图1-23所示。

以上结果可以推广到一般情况。设n阶严格有理真分式传递函数G（s）中，-p1，-p2，…，-pk为单极点，-pk+1为l1重极点，…，-pk+m为lm重极点，且k+l1+…+lm=n，则可直接写出G（s）的约当标准型状态空间表达式为

【例1-19】 求传递函数的并联实现。

解

式中

则系统并联实现的状态空间表达式为约当标准型，即

系统并联实现的状态变量图如图1-24所示。

1.3.4 系统的传递函数阵

1.由系统的状态空间表达式求传递函数阵

1.3.3节介绍了由传递函数求状态空间表达式的问题，即系统实现问题，可以看出这是一个比较复杂的问题，因为实现具有非唯一性。但实现的逆问题，即从系统状态空间表达式求其传递函数（阵）却较为简单且求解结果是唯一的。

设r维输入、m维输出的多输入多输出（MIMO）线性定常系统的状态空间表达式为

式中，x，y，u分别为n×1，m×1，r×1维的列向量，A，B，C，D分别为n×n，n×r，m×n，m×r维的矩阵。

令系统初始条件为零，对式（1-151）中的状态方程和输出方程两端进行拉氏变换，有

所以

式中

称为系统的传递函数矩阵，其是一个m×r维矩阵，描述了r维输入向量U（s）和m维输出向量Y（s）间的传递关系，即

式中，Gik（s）（i=1，2，…，m；k=1，2，…，r）为一标量传递函数，其表示系统的第k个输入量对第i个输出量的传递作用。

当系统为单输入单输出（SISO）系统时，按式（1-155）求出的G（s）则为标量传递函数，即

而在经典控制理论中，SISO系统的传递函数G（s）具有如下一般形式

比较式（1-157）和式（1-158）可知，传递函数的分子多项式为多项式C[adj（sI-A）B]+D|sI-A|；传递函数的分母多项式即为系统矩阵A的特征多项式，故传递函数的极点即为矩阵A的特征值。

前已指出，描述同一系统的状态空间表达式可作各种线性非奇异变换，不是唯一的。但是用不同的状态向量描述系统，并不影响其传递函数阵，同一系统的传递函数阵是唯一的，即系统的传递函数阵对于线性非奇异变换具有不变性，这一点可证明如下。

设给定系统在状态向量x下的状态空间表达式如式（1-151），其传递函数阵为式（1-155）。若引入式（1-76）所示的线性非奇异变换，即

则根据式（1-78），采用状态向量描述系统的状态空间表达式为

式中

则对应式（1-159）的传递函数阵（s）应为

证毕。

【例1-20】 设系统的状态方程和输出方程为

求系统的传递函数。

解 首先将状态方程和输出方程用向量-矩阵形式表示，即

因为

故系统传递函数为

实际上本题给出的状态空间表达式为能控标准型，根据式（1-127）所揭示的单变量系统能控标准型系数矩阵A、C与传递函数分母、分子多项式系数的对应关系，可直接写出系统传递函数为

【例1-21】 设系统的状态方程、输出方程分别为

试求系统的传递函数矩阵。

解

系统的传递矩阵为

此传递函数矩阵有6个元素，每个都是一个传递函数。

2.组合系统的传递函数阵

实际的控制系统，一般是由多个子系统以串联、并联或反馈连接的方式组合而成的组合系统。为简单起见，下面仅以两个线性定常子系统作各种连接为例讨论在已知各个子系统的状态空间表达式和传递函数阵时，如何求取组合后的整个系统的状态空间表达式和传递函数阵。

设子系统∑1（A1，B1，C1，D1）为

其传递函数阵为

G1（s）=C1（sI-A1）-1B1+D1

另一个子系统∑2（A2，B2，C2，D2）为

其传递函数阵为

G2（s）=C2（sI-A2）-1B2+D2

（1）并联连接

如图1-25所示，子系统∑1和∑2并联，设∑1和∑2输入、输出维数相同。

由图1-25可知，u1=u2=u，y=y1+y2，则据式（1-161）和式（1-162）得并联后系统的状态空间表达式为

其传递函数阵

（2）串联连接

如图1-26所示，子系统∑1和∑2串联。由图1-26可知，子系统∑1的输出为子系统∑2的输入，而∑2的输出为串联后系统的输出，即u1=u，y=y2，则据式（1-161）和式（1-162）得串联后组合系统的状态空间表达式为

则向量-矩阵形式的状态空间表达式为

又

则串联后组合系统的传递函数阵为

可见，两个子系统串联系统的传递函数阵为子系统传递函数阵之乘积，但应注意，传递函数阵相乘的顺序不能颠倒。

（3）反馈连接

具有输出反馈的系统如图1-27所示。由图1-27可得u1=u-y2，u2=y，y=y1。设D1=0，D2=0，则反馈连接后闭环系统的状态空间表达式为

即

又由图1-27得

将式（1-169）代入式（1-168）得

Y（s）=G1（s）U（s）-G1（s）G2（s）Y（s）

整理上式，得

[I+G1（s）G2（s）]Y（s）=G1（s）U（s）

即

Y（s）=[I+G1（s）G2（s）]-1G1（s）U（s）

则图1-27所示反馈连接闭环系统的传递函数阵为

其描述了U（s）至Y（s）之间的传递关系。

若将式（1-168）代入式（1-169），则得

U1（s）=U（s）-G2（s）G1（s）U1（s）

即

U1（s）=[I+G2（s）G1（s）]-1U（s）

将上式代入式（1-168）得

Y（s）=G1（s）[I+G2（s）G1（s）]-1U（s）

则闭环系统传递函数阵的另一表达式为

其与式（1-170）等价。