1.1 有限元方法简介

在实际工程技术领域中，有限元方法是一种比较新颖有效的求解各种力学和场问题的数值计算方法。该方法起源于20世纪早期。在20世纪50年代，使用有限元方法对航空工程中飞机结构进行建模，使有限元方法得到极大的发展。由于有限元方法具有准确和简便的优点，已经成为目前应用最为广泛的一种数值模拟计算方法。

1.1.1 有限元方法的基本思想

有限元方法的基本思想是把连续系统分割成有限个单元，各单元由设置的有限个节点连接，由单元和节点组成的系统来代替原来的连续系统。同时，在节点上引进场函数来代替实际作用于系统上的载荷或边界条件，并在每个单元中假设一个近似的插值函数来表示单元场函数的分布规律，再建立求解节点未知量的有限元方程，把所有单元的有限元方程集合起来，引入边界条件，构成一组代数方程组，求解得到有限个节点处的变量。

1.1.2 有限元方法特点

有限元方法的特点主要有三点。

1.容易理解，便于学习

有限元方法之所以会得到广泛的应用，最大的原因是其概念清晰，便于掌握。对于理论基础较弱的人，可以通过直观的物理意义来学习；对于基础扎实的人，可以加入自己对力学及数学方面的延伸。

2.应用广泛

有限元方法在理论和应用上不断地发展，可以求解很多实际工程中遇到的复杂问题。

3.与计算机的联系密切

（1）有限元方法采用矩阵形式表达，便于编写计算机程序。

（2）利用计算机求解问题。

1.1.3 有限元分析基本步骤

有限元分析基本步骤如下：

（1）连续系统的离散化，即将某个工程结构离散为各种单元组成的计算模型；

（2）选择单元模式，有位移法、力法和混合法，假设得到代表单元解的近似连续函数；

（3）分析单元的力学性质，找出节点力和节点位移之间的关系；

（4）利用几何方程和物理方程建立力与位移的方程式，得到单元刚度矩阵；

（5）计算等效节点力；

（6）利用结构里的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程；

（7）求解有限元方程，解得节点位移；

（8）进而利用各种力学关系得到其他信息。