1.1.4 基尔霍夫定律及应用

知识链接——学一学

基尔霍夫定律是集中参数电路的基本定律，它包括电流定律和电压定律。

1. 电路中几个常用术语

（1）支路

一段含有电路元件而又无分支的电路称为支路。如图1-14所示，该电路中共有3条支路，分别为cabd、cd、cefd段电路。

一条支路中可以由一个元件或者由几个元件串联组成，支路中流过的电流为同一个电流，称为支路电流，如图1-14所示的cabd、cd、cefd各支路对应的支路电流分别为I1、I2、I3。

（2）节点

三条或三条以上的支路连接点称为节点，如图1-14所示的c、d点。

（3）回路

由支路组成的闭合路径称为回路。如图1-14所示的acdba、cefdc、acefdba等都是回路，该电路共有3条回路。一条回路由某个节点开始，绕行一周回到该节点，所经过的支路不可重复。

（4）网孔

如果回路内不再包含有支路，这样的回路称为网孔。如图1-14所示的acdba、cefdc是网孔，而acefdba不是网孔。

2. 基尔霍夫第一定律

基尔霍夫第一定律又称为节点电流定律，简称KCL（Kirchhoff's Current Law），它用来确定连接在同一节点上的各支路电流间的关系。根据电荷的守恒性，电路中任何一点（包括节点在内）均不能堆积电荷。因此任何时刻，流入某一节点的电流之和与流出该节点的电流之和相等，即

式（1.14）可以写成：∑I 流入－∑I 流出=0，即∑I 流入+∑（－I 流出）=0，式中的 I 流入、I 流出皆为电流的大小，如果考虑电流的方向和符号，将流入某一节点的电流取“+”，流出该节点的电流取“－”，则基尔霍夫第一定律可以表述为：在任何时刻，某一节点的电流代数和为零，即

例如，在图1-14中，对于节点c有：I1+I2－I3=0，根据基尔霍夫节点电流定律所列的节点电流关系式称为节点电流方程。

使用时应注意：列节点电流方程之前，必须先标明各支路的电流参考方向；对于含有 n个节点的电路，只可以列出n－1个独立的电流方程。

应用举例——练一练

例1.4 如图1-15所示的电路为某电路的一部分，已知，I1=25 mA，I3=10 mA，I4=12 mA，试求电流I2、I5、I6。

解 电路中共有a、b、c三个节点，根据KCL可列三个节点电流方程：

节点a，I1+I4=I2

节点b，I2+I5 =I3

节点c，I5+I4 =I6

所以

I2 =25 mA+12 mA=37 mA

I5=I3−I2=10 mA−37mA=−27mA I6=I5+I4=−27mA+12 mA=−15mA

求得I5、I6的值带负号，表示电流的实际方向与所标的参考方向相反。

基尔霍夫节点电流定律不仅适用于节点，也可以将其推广应用于包围部分电路的任一假设的封闭面，即广义节点。如图1-16所示，封闭面（虚线表示）将三个节点包围后可以看成一个节点，若已知I1和I2，则可以利用KCL列出电流方程：I1+I2=I3，从而求出I3，对于封闭面所包围的内部电路可以不考虑，从而使问题得到了简化。

3. 基尔霍夫第二定律

基尔霍夫第二定律又称为回路电压定律，简称KⅤL（Kirchhoff's Ⅴoltage Law）。它用来确定回路中各段电压间的关系。在任何时刻，如果从回路任何一点出发，以顺时针方向（或逆时针方向）沿回路绕行一周，回路的路径上各段电压的代数和恒等于零，即

根据∑U=0所列的方程，称为回路电压方程。

以图1-17电路为例说明，沿着回路abcdea绕行方向，有：

Uab=R1I1，Ubc=E1，Ucd=－R2I2，Ude=－E2，Uea=R3I3

则Uab+Ubc+Ucd+Ude+Uea=0

即R1I1+E1－R2I2－E2+R3I3=0

上式也可写成 R1I1－R2I2+R3I3=－E1+E2

所以，任何时刻，在任何一闭合回路的路径上各电阻上的电压降代数和等于各电源电动势的代数和，即

使用基尔霍夫第二定律时应注意：列回路电压方程之前，必须先标明各段电路电压的参考方向和回路的绕行方向。当电压的参考方向与回路绕行方向一致时，该电压符号前取“+”，否则，电压符号前取“−”；当利用∑（RI）=∑E 时，若电源电动势的方向（注意电动势方向由“－”极指向“+”极）与回路绕行方向一致时，该电动势符号前取“+”，否则，电动势符号前取“−”；对于含有 n 个节点、b 条支路的电路，只可以列出 b−（n−1）个独立的回路电压方程。

由上所述可知KCL规定了电路中任何一个节点各支路电流必须服从的约束关系，而KⅤL则规定了电路中任何一条回路内各支路电压必须服从的约束关系。这两个定律仅与元件相互连接的方式有关，而与元件的性质无关，所以这种约束称为结构约束或拓扑约束。

应用举例——练一练

例1.5如图1-18所示电路为某电路的一部分，已知：R1=25Ω，R2=20Ω，R3=10Ω，E1=14Ⅴ， E2=24Ⅴ，I1=2A，求UAB。

解 对E1、R1、R2、E2组成的回路，由KⅤL得：

由KCL得：I1−I2−I3=0

所以

I3=I1−I2=2−（−3）=5（A）

对E2、R2、R3、UAB所组成的回路，由KⅤL得：

UAB−I2R2+I3R3=E2

所以

UAB=E2+I2R2−I3R3=24+（−3）×20−5×10=−86（Ⅴ）

问题研讨——想一想

电路如图1-19所示。

（1）此电路有几条支路、几个节点、几条回路、几个网孔？

（2）列出各节点的电流方程。

（3）列出各条回路的回路电压方程。