1.5 几种常见的数学模型的数学表示

在控制理论中，数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数和结构图；频域中有频率特性等。这里仅介绍系统辨识中常用的数学模型：离散脉冲响应函数、线性差分方程和状态空间模型。

1.离散脉冲响应函数

SISO系统的离散脉冲响应函数是指当初始条件为零时，线性系统对于单位脉冲序列产生的输出响应，记为{g（k）}，k=0，1，2，…。则在任意输入u（k）的作用下，系统的输出表示为

式中，z为时延因子，z-1u（k）=u（k-1）。

对于稳态系统，有

上式称为移动平均（Moving Average）模型，简称MA模型。记

对于随机系统，考虑噪声项的影响，则

式中，e（k）为噪声项。

2.线性差分方程

差分方程是离散系统最基本的一种模型，动态的离散系统输入、输出采样值序列u（k）和y（k）之间的关系可表示成如下的n阶线性差分方程

该方程称为自回归滑动平均（Auto-Regressive Moving Average）模型，简称ARMA模型。

3.状态空间模型

线性时不变连续系统的状态空间描述为

式中，x（t）∈Rn为系统的状态变量，u（k）∈Rm为系统的输入量，y（k）∈Rr是系统的输出量， A∈Rn×n为系统矩阵，B∈Rn×m为输入矩阵，C∈Rr×n为输出矩阵。

线性时不变离散系统的状态空间模型为

式中，x（k）∈Rn，y（k）∈Rr、u（k）∈Rm；A∈Rn×n、B∈Rn×m、C∈Rr×n；系数矩阵A、B、C的维数分别为n×n、n×m、r×n。