第二章 物性代数论

感性思维形式是感觉、印象与表象。感性思维的印象形式主要是在头脑中形成图像。图像与语言在感性思维和理性思维中都起着根本性作用，只不过侧重有所不同。语言是感性思维表象的基本形式，计数的数字与量词也是语言表象的一部分。由于表象比较容易便捷地过渡到统观的理性思维及其所形成的概念与判断，尤其是数字与量词过渡成理性数量概念与判断更是便捷的思维过程。因此数学首先出现的是算术自然计数及其加减乘除四则运算，进而发展成代数。而算术代数侧重来自量词的语言表象。深刻印象与表象具有记忆性质，因此平时所谓“死记硬背”实际上是停留在感性思维的层次上。

算术把“质”差异隐含在单位之中或忽略不计，而纯粹在“量”上计数或比较量度。代数用符号代替具体数字间的关系，从而建立起更普遍的关系。在逻辑上出现某种事物的“有”“无”或“真”“假”的相反观念和“或”“与”“异或”“正反”等关系的逻辑，并用符号表示，构成数码代数的基础。有无到多少比较矛盾就有了量的观念，多了多少，少了多少，而矛盾统一产生增减计数。在计数与量度上出现“单位”，并在计数上形成而出现自然数和十进制等数制观念与算术代数等的加、减正反运算与各种数学关系。物性数学认为实物与场质是不可分割的矛盾统一体，可以分别用实数与虚数，即复数及其扩充共轭形式表示。

物性理论的基本出发点是物质包含实物与场物质（简称场质），物质具有连续可入性、不生不灭性及其与运动不可分割性。因而，物质的分或合仍然不变，这是物质可比较量度与实物可计数的基础。物质量的量度称为质量，它的分或合的总量仍然不变。加上物质与运动不可分割性，物质运动量的量度之能量，与相应质量成正比关系。而运动状态各种各样的不同运动能量可以用不同参量定义，其和为总能量。如平动能用质量乘以速度平方的二分之一定义之，转动能用质量乘以距离中心长度平方与角速度平方二分之一定义之。而速度、角速度涉及时间量度与长度、角度的空间量度。因而质量、能量、时间、长度、角度成为基本比较量度。量度涉及标准尺度比较的单位与数量问题。

数学至今仍以演绎法形式逻辑与搜索法数理逻辑思维为主，随着扩大深入研究，必然出现新的思维方式。不同理性思维逻辑之间对同一系统认识深度可能存在差异或矛盾。低层次逻辑或本质认识通常加以适当扩充、调整、修正，甚至纠正引用可以不同程度上跟高层次逻辑或本质认识结果一致、等价、等效。一致时仍然可用等式表达。许多事物最初认识必须作些简化，才便于进入本质认识或理性思维，否则无从入手。但只停留在这个水平上，就无法深入、提高与实质进步。物性代数论从相对静止比较计数与量度的矛盾统一中考察数学的性质与本质。

第一节 逻辑代数（布尔代数）

数理辩证逻辑强调宇宙万物无不存在矛盾，矛盾统一是宇宙万物运动变化，包括量变与质变的内在根源。数学本身也是在矛盾统一中发展的。这里就从数理逻辑中“有”（“真”“存在”“正”）与“无”（“假”“不存在”“反”）等正反面开始讨论，在数值上可以记作“1”“0”或“A”“B”。逻辑与记作“∧”，逻辑或记作“∨”，逻辑异或记作“⊕”，逻辑非或逻辑反记作“～”等。

A;（∨、∧、⊕）B≧C（或A、或B）

≒A;（∨、∧、⊕）B=C（或A、或B）

1．不存在与存在或无与有某种事物的符号用0与1表示，它们的矛盾性质不同得到结果不同。如不存在或存在的两者矛盾统一逻辑结果是存在，即0∨1=1。不存在与存在的两者矛盾统一逻辑结果是不存在，即0∧1=0。

逻辑或关系：0∨0=0、0∨1=1、1∨0=1、1∨1=1成立。

逻辑与关系：0∧0=0、0∧1=0、1∧0=0、1∧1=1成立。

逻辑异或关系：0⊕0=0、0⊕1=1、1⊕0=1、1⊕1=0成立。

逻辑非关系：0～=1、1～=0成立。

2．如果用普遍符号A、B、C等代替0、1的任意量，上述逻辑关系式A∨B,A∧B,A⊕B,A～具有更普遍的代数意义，由此建立起逻辑代数关系，又称为布尔代数。它跟其他代数一样遵守符号运算规则。

布尔代数遵守交换规则：

A∨B=B∨A

A∧B=B∧A

布尔代数遵守结合规则：

（A∨B）∨C=A∨（B∨C）

（A∧B）∧C=A∧（B∧C）

布尔代数遵守分配规则：

（A∨B）∧C=（A∧C）∨（B∧C）

布尔代数遵守0、1及互补规则：

A∨0=A

A∨1=1

A∧0=0

A∧1=A

A∨A～=1

A∧A～=0

除了布尔代数特殊的0、1及互补规则外，与代数普遍规律一样。

3．对所编写的一组逻辑编码的各位是同等的，各位逻辑是独立运算的，没有进位关系。例如：

101101∨110001=111101

101101∧110001=100001

101101⊕110001=011100

4．如果多位0、1码的各位不等同，而是逢二进位，那么就构成二进制数码或数据。

二进制数中每位只有0和1两个数码，计数规则是“逢二进一”，即每位计满2就向高位进一。例如：

101101B+110001B=1011110B

5．为了便于电脑实现二进制运算，出现了若干种编码。

系1：原码是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。

系2：反码表示法是正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码逐位取反，符号位仍为1。如原码10010110=反码11101001。

系3：补码表示法是正数的补码与其原码相同，负数是先求原码的反码，然后在反码的末尾位加1后得到的结果。在电脑系统中，数值一律用补码来存储表示。

6．每3位与每4位二进制数可以等价组合成八进制数（0、1、2、3、4、5、6、7为基数，“逢八进一”）与十六进制数（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F为基数，“逢十六进一”）。例如，上面的二进制计算式化为八进制与十六进制计算式为

55Q+61Q=136Q

2DH+31H=5EH

其中，B表示二进制，Q表示八进制，H表示十六进制。

7．十进制数中每位有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码之一，计数规则是“逢十进一”，即每位数累计满10就应向高位进一，构成十进制自然数。十进制数尾位后小数点往左每递增一位权重10n，往右每递增一位权重10-（n+1）。n为从0开始的自然数。

8．二进制与十进制编码矛盾统一关系可类似十六进制编码方法，将四位二进制数码等价表示十进制数码，且删去多余的二进制数码。它是最常用的一种有权码，其4位二进制码从高位至低位的权依次为23、22、21、20，即8、4、2、1，故称为8421码。按8421码编码的0～9与用4位二进制数表示的0～9等价，所以，8421码是一种人机联系时广泛使用的中间形式。此外还有以下几种。

系1:2421码是另一种有权码，其4位二进制码从高位至低位的权依次为2、4、2、1。例如，（1101）2421码=（7）10。

系2：余3码是由8421码加上0011形成的一种无权码，由于它的每个字符编码比相应8421码多3，故称为余3码。例如，十进制字符5的余3码等于5的8421码0101加上0011，即为1000。

系3：格雷码是在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码。另外由于最大数与最小数之间也仅一位数不同，即“首尾相连”，因此又称循环码或反射码。

9．编码应用中，字符、数字等的表示是用人为编码。如美国信息交换标准码的ASCII码，共128个包括52个英文字母大小写、10个阿拉伯数字和英文标点及一些控制符号。因为电脑只能识别二进代码，所以ASCII码中每一个字符都由八位二进制数表示，其中二进制代码的最高位恒为零。

字形码是字符与数字等的输出码，输出字符与数字时都采用图形方式，无论笔画多少，每个字符与数字等都可以写在同样大小的方块中。通常用9×9点阵字节组来显示字符与数字等。

10．量大的汉字人为编码更加复杂，根据用途不同，汉字编码分为外码、交换码、机内码、字形码和地址码。

系1：外码又称输入码，是用来将汉字输入电脑中的一组键盘符号，常用的输入码有拼音码、五笔字型码、自然码、区位码和电报码等。一种好的编码应具有编码规则简单、易学好记、操作方便、重码率低、输入速度快等优点，每个人可根据自己的需要进行选择。

系2：交换码又称国标码，是电脑内部处理的信息，都是用二进制代码表示的，汉字也不例外。而二进制代码使用起来是不方便的，于是需要采用信息交换码，通常为两个字节二进制码。中国标准总局1981年制定了中华人民共和国国家标准《信息交换用汉字编码字符集·基本集》（GB 2312—80），即国标码。

系3：机内码是根据国标码的规定，每一个汉字都有了确定的二进制代码。在电脑内部汉字代码都用机内码，在磁盘上记录汉字代码也使用机内码。

系4：汉字的字形码是汉字的输出码。输出汉字时都采用图形方式，无论汉字的笔画多少，每个汉字都可以写在同样大小的方块中。通常用16×16点阵来显示汉字。

系5：汉字地址码是指汉字库中存储汉字字形信息的逻辑地址码。它与汉字机内码有着简单的对应关系，以简化内码到地址码的转换。地址码属于二进制编码。

第二节 实数代数（四则运算）

算术代数不同于逻辑代数之处在于它从右到左的位权重不同且有进位关系，从而形成若干根据需要的进位制，如电脑采取的二进制（八进制、十六进制）和日常生活、生产、财务等习惯采取的十进制。数量多少的矛盾就可以通过计数获得统一解决。计数之物质的质或定性方面差异忽略而隐含于单位之中，以便计数。在定量后忽略单位而抽象出纯粹数字或量甚至形的符号逻辑关系，这个符号逻辑关系就是数学。算术代数则是数学的基础。

数理辩证逻辑指出系统计数或量度的量与质两面中质方面差异、变化、转化等隐含于单位之中，或可以忽略，甚至在不考虑质方面而纯粹数、形关系性质条件下，可建立纯粹计数或量度数量间的关系，等式是数量间关系矛盾统一的等价基本形式，即简化质或质变方法是数学产生与发展的必要途径，但发展到一程度必须适当补充、改进、调整，甚至纠正，才能真正反映事物的量质关系。

1．算术代数是从十进制自然数（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）为基数的定量计数开始发展起来的，自然数本身具有加（+）、减（-）属性。任何一组自然数具体数据都可以用普遍符号表示，并具有加减属性，这是算术代数的基础。例如，2是1加1的结果，算术上用2=1+1表示，3是2加1或是1加1再加1的结果，算术上用3=2+1=1+1+1表示，依此类推，各个自然数关系，超过9则向数值小数点左边位进位。

一般十进制数表示为

A=AnAn-1…A3A2A1A0A-1A-2…A-m

=An ×10 n+An-1×10 n-1+…+A2×102+A1×10+A0+A-1×10-1+…+A-m ×10-m

小数点前为正整数，小数点后为小数。此外，数制还有多种，但人类社会生活生产习惯比较广泛使用十进制数，并从各种单位中抽象出纯粹数，使其具有更普遍的意义。实际上没有单位难以真正计算。举个最简单例子，如一个班30个学生，增加5个新转学的学生，一下子就计算出35个学生。但学生中有男生，也有女生，还有年龄大小及其他情况差别，这里单位作了简化。不同单位数相加减通常没意义。如学生数与牛羊头数加减通常没有什么意义。

2．算术代数从自然数开始，自然数计数本身具有加“+”与反面减“-”运算及其量矛盾统一的等式属性。如自然数x与y相加等于z的等式：

x+y=z

≒x=z-y

≒-x=y-z

加等式变换且等效为减等式。减的结果可能是正数，也可能是负数，即出现正负数相反的数。

两自然数矛盾统一性质是加减的等式符号表示，再与其他只要同单位自然数仍然是加减等式关系。等式加减是主要矛盾，加减符号之间的数量可以用项表示。各项内可以有其他运算形式，如乘除等矛盾运算后最后才加减，除非特地用括号标明。

正负数矛盾统一建立在加的等式基础上，即

A;（+、-）B≧Z

≒A±B=Z

其中，A、B是任何正或负实数及其算术运算式结果。矛盾性质是加或减，即用±等式表示。

3．相同数的累加产生乘“×”或“·”或“”，如n个x数相加可变换且等价为乘或反面除：

x+x+⋯+x=y

≒n×x=n·x=nx=y

≒x=y÷n=y/n

乘可变换且等于反面除“÷”或“/”的等式运算。相除实际上是相乘的反操作，即累减运算。

同样两个数A、B相乘可表示为

A;（×、·）B≧C

≒A·B=C

≒AB=C

其中，A、B、C等是正实数及其算术运算式或结果。相乘还可以表示面积与体积等其他参量，如方形平面面积是两个边相乘，立体方形体积是其三个棱边的乘积等。相除可将面积与体积等求得棱边的长度等。可见乘除使参量或单位关系变得更加丰富多彩。

相除结果可能是整数也可能是小数，甚至出现除不尽的循环小数与非循环无限小数，统称实数。

A;（÷、/）B≧C

≒A/B=C

把乘除扩大为不同参数相乘除可得到新的参数及其单位。所得到的单位种类繁多，但基本单位应是质量、时间、长度、角度、能量等。方形面积为两个边的乘积，单位长度的平方可以用来表示面积单位，单位长度的立方可以用来表示体积单位。可见乘积跟几何形状密切相关。

4．等式两侧包含加、减、乘、除的运算则构成四则算术代数。四则运算中必须遵守先乘除后加减原则，因为乘是来自累加，必须先计算结果才能进行加减运算，且加减运算必须同单位或同质才有意义。

算术代数的四则运算式是算术与代数矛盾逻辑的基本形式，是离散数学上的矛盾逻辑基础。不过要记住，这是在忽略单位内质的差异或变化的计数基础上建立的。算术代数矛盾“; ”的性质是加+、减-、乘×、除÷等。可见数学从最简单计数的加计算与其反面减计算的矛盾统一的等式计算开始，累加计算产生乘计算与其反面除计算概念，而计算中出现分数与除不尽的小数，除零的无穷大数，扩大了数量概念，其矛盾统一构成四则等式计算或运算。

5．累乘运算又产生乘方与指数运算及其反面开方与对数运算的概念，如整数是在对于有限对象进行计算的过程中产生的抽象概念。在日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，如质量、长度、时间等。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。有理数为两个整数的商，那么有理数包括所有的整数和分数，这对于一般计数与量度是够的。但方形各边为1的对角线长度不能满足有理数条件，其运算矛盾统一等式又引出无理数与复数概念。无理数的出现使数学产生了第一次危机，无理数与复数获得认可。

数从正负数、整数分数等有理数扩大到无理数与负数开方的虚数。数学的更大进步是为了算术等式运算更具普遍性，这些运算式的具体数字用符号代替，数字运算关系变成了符号运算关系，即出现代数表达式，符号代替数字等式就成代数运算关系式或方程式。符号运算表达式可以左右移动，如等式左边与右边加减同样符号运算仍然相等，代数的进一步发展是出现代数方程式及其求解等问题。

6．如果等式需要指定那些先运算，可用括号表示。可表示为

（A;B）;（C;D）≧Z

∨（A;（+、-、×、÷）B）;（（+、-、×、÷）C;（+、-、×、÷）D）≧E

其中矛盾“; ”可以是遵守上述规则的加、减、乘、除矛盾逻辑运算，加上括号内算术四则可表示先行运算。

7．n个数x的累乘产生或变换且等效的指数与反面对数的运算：

xx⋯x=y

≒y=xn

≒n=logxy

指数与对数的运算相当于乘除，同样需要先运算结果然后加减。

8．自然数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、…、n是有规则排列数列，每个前后数之差为1，数列之和称为级数，即

Sn=1+2+3+⋯+n=∑n=n（n+1）/2

如果数列或级数每数间的关系更复杂些，应如何表达。这样便出现数列与级数概念。又如数列是自然数平方或立方，其级数分别为

Sn=12+22+32+⋯+n 2=n（n+1）（2n+1）/6

Sn=13+23+33+⋯+n3=n（2S+1）2/4

数列每数间有规则地只是加减之差值或乘除之比值，分别称等差数列与等比数列。

9．按照某种规则排列数的一列数α1、α2、α3、…、αn、…称为数列，记作|αn|。若把这一等差列数用和连接起来称为等差级数或算术级数，记作α1+α2+α3+⋯+αn+…。

数列α、α+β、α+2β、α+3β、…称为公差β的等差数列。相应级数称为等差级数或算术级数。通项αn=α+（n-1）β。其前n项之和为

Sn=∑αn=（α1+αn）n/2

10．数列α、αγ、αγ 2、αγ 3、…称为公比为γ的等比数列，相应级数称为等比级数或几何级数。其前n项之和为

Sn=∑α1γ（n-1）=α（1 1-γn）（/ 1-γ）

11．如果1到n的自然数相乘称为阶乘，n足够大时，则：

n! =1·2·3·…·n≈(n/e)n 2πn

其中，e为数的自然底数。

12．实数还可以表示排列与组合数。如从n个不同的元素中，每次取出k个不同元素，按一定的顺序排成一列，称为排列。排列种数为

13．又如组合，从n个不同的元素中，每次取出k个不同元素，不管其顺序合并成一组，称为组合。其组合种数为

第三节 复数代数

前面讨论了忽略质差异或变化条件下，并将其简化或隐含于单位中的算术代数问题。如果不忽略计数与量度的质方面，那么自然界最普遍的质就是物质及其运动，其量度之质量与能量都是正实数，相加减的差值才有正负实数。但不同能量要由不同的参量定义。而不同参量及其定义的能量性质各不相同，可以用不同的数学方法处理，可建立各种参数与质量、能量的实数关系。数虽然不仅可表示质量、能量的数量且具有更普遍的意义，但物性数学是在不忽略“质”或紧密联系“质”的情况下考察数量关系。而质量、能量、时间、空间长度、空间角度具有自然最普遍的质含义，必须着重讨论。

系统质的演变、转化、变换过程中，某些量是不灭或守恒或不变的，可以简化为质矛盾统一的变换与数量等式关系同时表达的方式。如“一分为二且等于≦”“合二而一且等于≧”“转化且等于≌”等，甚至用等式、方程式、等价式表示。自然最普遍的“质”是静之质量与动之能量矛盾两面的统一，二者构成质能正比例关系。而运动又涉及时间与空间量度矛盾两面，其矛盾统一，则构成运动速度等参量。随着质的深入，量度单位也随之导出，变得更加繁杂，有时就用新单位定义之。数有正数与负数等实数，可是负数开方运算则产生虚数的概念，其矛盾统一则出现复数运算表达式。

1．如果物质是连续可入的，不生不灭的，那么基本量度之一系统物质量的量度之质量，其分、合不影响量度。系统质量是其任意值子系统质量的线性叠加，即

m=Σmi

质量不灭表达式为

Δm=ΔΣmi=ΣΔmi=0

系统质量的符号为m，所有物质有相同的质，即质量m是系统物质的量度。它以天平标准砝码比较量度，单位有千吨、吨、千克、克、毫克、微克、纳克等。Δm表示质量差值或微差值。物质运动、变化、转化等首先涉及时间（单位为时、分、秒等），符号t，时间量度通过标准时钟比较量度。空间长度（单位为千公里、千米或公里、米、厘米等），符号ι，长度量度通过与标准米尺比较量度。而空间的面积与体积分别定义为长度的平方与立方。

2．物质运动量的量度称为能量，并通过质能关系表达式，建立系统质量与系统总能量关系：

E=mc2=Σmic2=ΣEi

能量守恒表达式为

ΔE=ΣΔEi=0

∨ΔEi=-ΔEj

Ei、Ej为子系统能量。数学上的量是建立在规定单位计数与标准尺度比较量度基础上的，即有数量与单位，将事物的质或性质隐含于单位之中。而单位实际是肤浅的“质”，远没有矛盾统一逻辑所得“质”或本质那样意义深刻。系统运动的量度为能量，其单位为尔格=克·厘米2/秒2、焦尔=千克·米2/秒2=纳克·千公里2/秒2。可见质量与能量跟时间、长度、角度一样是基本的“质”或基本单位。系统运动量的能量，符号E，主要通过转化机械能做功或质能关系来比较量度。质量与能量都是实数。

3．如果系统总能全部等于平动能，即

E=mc2=mv2/2或¢≡υ lim=1.41c

此处¢=υlim=1.41c称为物质极限速度。它对任何参考系都是不变的。这里只可能有两种解释：一种为极限速度是光速，那么质能比例系数为c2，是光速平方的二分之一，这无形中总能比相对论减少一半，不合理。另一种c仍为光速，质能比例系数c2是光速的平方。这样物质极限速度是光速的1.41倍。

系1：如果物质一分为二成以离散性为主的实物与以连续性为主的场物质，而实物极限速度是光速或狭义极限速度，光速及超光速到极限速度的物质可定义为场物质，简称场质，¢=C是物质或场质极限速度或广义极限速度。

系2：光速是稳定实物运动的极限速度，超过光速是不稳定物质或场物质的运动状态，两者往往不可分割地存在于一个物质系统内。这两种运动状态可化成参量的实数与虚数的关系，在一定条件下可以构成实数的能量或能密度。

系3：光速是实物或粒子运动或成型的极限速度，否则转化为连续场物质形态。极限速度对于任何运动参考坐标系都具有不变性，只能通过时空变换来解决矛盾或统一矛盾。

4．宏微关系大体上存在三大类型。一类规则运动微观粒子是宏观实物最小单位，性质相同，如某些材料的分子、原子是其材料实物性质相同的最小单位。一般宏微观描述是一致的，如上述质量（时间、长度、角度）与能量的宏微观描述是一致的，宏观是微观质量与能量的线性叠加之和。另一类宏观实物运动变化现象是微观粒子某些不规则运动分布统计或平均的结果，宏观温度是微观粒子动能分布统计平均的结果，元素原子量是同元素原子质量平均值等。一般可用概率统计或不同性质能量描述，如温度参量定义的内能，它实际上是微观粒子动能平均值，因此物性数学将其作为内能来处理。第三类微观粒子或各局部是其宏观整体的有机组成系统的一部分，如生命体内的各种器官或细胞是其不可缺少的一部分等，平衡趋势使系统各部分间协调运行与生长。

物态变换具有随机性。物质系统可一分为二地规则运动，如平动、旋转能量与不规则运动，如内能等。系统热量Q与其他能量，如内能改变量ΔU、物态变化潜热ΔR、对外做功PΔV等是其子系统热量Qi与其他能量ΔUi、ΔRi、PiΔVi之和关系，即

Q=ΣQi=ΣPi ΔVi+ΣΔRi+ΣΔUi=P ΔV+ΔR+ΔU

此式实际上是热力学第一定律。

系1：实物体存在气体（粒子之间分离的，靠重力场或容器而聚集在一起）、液体（主要靠场质交换而聚集在一起）、固体（主要靠壳粒交换或递换而联结成体）三类物态，每一类物态转变都要辐射或吸收能量子，称为潜热ΔR。而微观粒子辐射或吸收量子前后带有随机性，即物态变换随机性，因此要经历一段时间全部物态才完成转化变换。

系2：同一温度系统虽然内能是一样的，但物态可能不一样，甚至有三态共存现象，这种情况只能说明其潜热或潜能不一样。气体潜能最大，微观粒子处于自由平动运动为主的状态，比较容易用粒子速度分布来描述，从而出现统计物理。实际上液体与固体粒子运动难以用分布曲线描述，用能量描述更加全面而深入本质。

系3：分子不规则运动存在差异或温度差异，就会自动地在运动中趋于平衡，即热量自动地从高温流向低温。可见热力学第二定律实际上是系统均匀平衡趋势的特例。

5．系统中各种形式的能量要跟总能比较才能确定其占系统总能的比重或比例，是确定系统物质形态或性质的基本参量。某种形式的能量与总能之比称为该种形式能量的能比。各种物质形式的质量与系统总质量之比称为质比。通常总能E包含矢量定义的能量之矢能Ei与标量定义的能量之标能Ej两大类。其与总能之比分别为：

α2=Ei/E

β2=Ej/E

矢能比α2与标能比β2，两者都是小于1的实数。

两者之和为：

α2+β2=（Ei+Ej）/E=1

上式表示系统矢能比与标量比之和为1。

当

1/2≤α2<1

1/2≥β2>0

表示系统以场物质为主的物质形态。

当

0<α2<1/2

1>β2>1/2

表示系统以实物为主的物质形态。可见系统矢能比愈大或速度愈大，愈处于连续的场物质状态，达到或超过矢能比1/2为连续场质状态。

6．运动平衡趋势量度为作用力，而力的定义为动能改变量对相应位移改变量之比或动能对位移的梯度：

F=ΔE/Δι=Δmυ 2/2Δι=Δmυ/Δt=Δp/Δt

其动量守恒条件为：

Δmυ/Δt=Δp/Δt=0

速度等于零或等于常数，直线运动或匀速圆周运动时动量守恒。

力矩定义为转动能改变量与相应角移改变量之比或转动能对角位移梯度：

M=ΔE/Δθ=ΔJω 2/2Δθ=ΔJω/Δt=ΔN/Δt

其角动量守恒条件为：

ΔJω/Δt=ΔN/Δt=0

角速度等于零或等角速度常数转动或rω为常数的螺旋运动时角动量守恒。其中J=kmr2中，涡旋体质量m，涡旋体半径r，涡旋惯量系数k与涡旋形状、分布等有关。

7．如果一个实数或数量指数是平方，那么其反面是开方，即

正数开方是实数，而负数开方则成了虚数，实数x与虚数iy合二而一为复数，即

复数可以用实数轴x与垂直的虚数轴iy构成的复平面表示。

8．复数三角与指数分别表示为：

≒z=r（cosθ+isinθ）

≒z=reiθ=re&supiθ

其中r=x2+y2,θ=arctany/x, &sup表示其后为连接指数。

9．两复数加减，通常实数与虚数分别运算：

（A+i B）±（C+i D）=（A±C）+i（B±D）

两复数乘除分别为：

（A+iB）（C+iD）=（AC-BD）+（i BC+AD）

（A+iB）/（C+iD）=（A+iB）（C-iD）/（C+iD）（C-iD）

=（AC+BD）/（C2+D2）+i（BC-AD）/（C2+D2）

10．复变数z=A+iB，有个特殊意义的共轭复变数z=A-iB。（A-iB）;（A+iB）可以表示矛盾的正反面，共轭复数乘积具有实数性质，即

（A-iB）:（×）（A+iB）≧z2

≒（A-iB）×（A+iB）=A2+B2=z2

共轭复数加的关系可变换为实数相加：

（A-iB）;（±）（A+iB）≧z

≒（A-iB）+（A+iB）=2A=z

可见复数共轭的加与乘积结果是实数。

11．广义共轭复数：

（A-iB）:（×）（C+iD）≧z2

∨（A-iB）×（C+iD）=（AC+BD）+i（AD-BC）=z2

当AD-BC=0时，即AD=BC（A/B=C/D或A/C=B/D），也是实数，称为广义共轭复数。说明广义共轭复数间成比例，即前式乘除一个比例常数或两个实数与虚数比例相同，满足此条件的广义共轭乘积后仍为实数性质。

12．如若E’或w’为系统的实能量或实能密度部分，而E"或w"为系统虚能量或虚能密度部分，那么系统总能或总能密度分别为：

E=E'+E"

w=w'+w"

利用广义共轭复数表达系统平动与旋转能量或能密度关系，可以分解为实速度与虚角速度定义的两部分，它是基本矛盾的两面，即一分为二表示为υ±irω=u。

平动量与旋转动量合二而一且等于式：

mυ;（±）imrω≧mü

≒mυ±imrω=mυ±iJω/r=mü

其共轭乘积除2为总能，即

mυ2/2+Jω2/2=mü2/2=mc2

13．利用广义共轭复数表达实物能与场质能及其能密度关系。一部分是由实物参量乘积产生的，另一部分是由正负场质虚参量产生的，即实数通常可一分为二并等于实物参量产生实数与共轭场质虚参量乘积产生的实数。

实物速度参量具有矢量υ与场质速度c虚数关系，即

u≦υ; ic

≒u=υ±ic

p≦mυ; imc

≒p=mυ ±imc

pu/2=（υ ±ic）（mυ ±imc）/2=mυ 2/2±mc2/2+（i ±mυc±mυc）/2

其广义共轭复数乘积的特殊意义，在于i（±mυc±mυc）/2=0，即动量与速度之虚数间取反并除以2时，则得实数的能量：

E=pu/2=（υ+ic）（mυ-imc）/2=mυ2/2+mc2/2=E'+E"

14．利用广义共轭复数表示粒子与波动能量关系。如周期性变换动量合二而一且等于关系式：

mυ;（±）ih/λ≧mü

≒mυ±ih/λ=mü

υ;ic≧u

≒υ±ic=u

量子实动量与波动动量跟其速度广义共轭除以2，则得实数总能：

mυ2/2+hc/2λ=mυ2/2+hv/2=mü2/2=mc2

从p=mυ=h/λ与υ=λ/τ=λv的关系，可以证明量子速度为υ=c。

15．利用广义共轭复数表示相对地面自由落体。实物矢动量与重力势能等效标动量（2mgι/c）的合二而一且等于式：

mυ;（±）i2mgι/c≧mü

≒mυ±i2mgι/c=mü

动量与速度之虚数间取反并除以2时，则得实数的能量：

mυ2/2+mgι=mü2/2

总能在自由落体中不变性，其位能mgΔι转化为动能mΔυ2/2，则：

ΔE=mΔgι+mΔυ2/2=0

在落体重力方向位能减少，而使动能在该方向上相应地增加。地面参考坐标系测得作用力F为：

F=m Δυ 2/2Δι=m Δυ/Δt=-m Δgι/Δι=-mg

上述广义共轭虚数取反实质是场质相对实物正负交换平衡，对实物来说不影响其运动状态。