3.1　平面体的截交线

平面体的表面是由多个平面所组成，所有它的截交线是由直线所组成的封闭的平面多边形。

例1　试求三棱柱被正垂面截切后的视图。

分析：如图3-2（b）所示，截平面与三棱柱的最左棱线产生一个交点，截平面与三棱柱的顶面产生一条交线。截平面为正垂面，正面投影积聚为线，另两投影为类似形。

作图：①因截平面为正垂面，正面投影积聚为线，可在其上直接找到截交线上点的正面投影1＇、2＇（3＇）。

这里正确选取点的数量很重要。正确选取的方法就是要仔细分析截平面与立体是面、线相交产生点，还是面、面相交产生线。产生点就取一个点，产生线就取两个点。

②根据点的投影规律，长对正找到1，由于截平面与立体顶面产生的交线正面投影积聚为点。水平投影一定是反映实长的直线。长对正找到水平投影2、3并连接画出直线。

③根据点的投影规律，高平齐、宽相等找到侧面投影1＂、2＂、3＂并连接画出平面形。我们看到与正垂面积聚投影长对正的是三角形123。根据投影面垂直面的投影特性，左视图的投影一定为与截平面主视投影高平齐，与俯视三角形宽相等的三角形。即三角形1＂2＂3＂。

④处理轮廓线，由主视可以看出点1上方的最左棱线被切去了，所以左视中1＂上方的最左棱线的投影要擦去。

例2　画出平面切割体的视图。

分析：如图3-3（a）所示，多个截平面切割长方体。正垂面切割：正面投影积聚为线，另两投影为类似形。正平面切割：侧面投影积聚为直线，正面投影反映实形，水平投影积聚为直线。水平面切割：侧面投影积聚为直线，水平投影反映实形，正面投影积聚为直线。

作图：①观察立体发现所绘制物体为长方体切割而成。首先绘制长方体三视图，投影为三个矩形线框。

②根据截平面为正垂面，正面投影积聚为线，该面与物体顶面（为水平面）产生交线。交线的正面投影积聚为点，长对正在水平投影画出反映实形的直线。该面与物体左端面（为侧平面）产生交线。交线的正面投影积聚为点，高平齐在侧面投影画出反映实形的直线。

③根据左视图反映切口特征，知道物体又被一个正平面和一个水平面切割。根据左视图切口可知水平截平面一定是从左到右切通立体。因此高平齐在主视画出其积聚为直线的投影，再根据长对正、宽相等找到其反映实形的矩形线框。

这里利用水平面正面投影积聚为直线且左右贯通很重要。还要注意一个面的投影为一个线框。

④根据投影面平行面的投影规律，高平齐可在主视找到直角四边形为侧平面的正面投影，长对正、宽相等找到其积聚为直线水面投影。根据投影面垂直面的投影特性我们检查是否作图正确。主视图正垂面投影积聚为一条斜线，长对正在俯视找到一个L形线框，高平齐、宽相等在左视找到L形线框的类似形。如找不到符合三等关系的类似形，说明作图错误。

例3　画出平面切割体的视图。

分析：如图3-4（a）所示，多个截平面切割六棱柱体。正垂面切割：正面投影积聚为线，另两投影为类似形。侧平面切割：正面投影积聚为直线，侧面投影反映实形，水平投影积聚为直线。水平面切割：正面投影积聚为直线，侧面投影积聚为直线，水平投影反映实形。

作图：①观察立体发现所绘制物体为六棱柱体切割而成。首先绘制六棱柱体三视图，水平投影为正六边形线框，正面投影为三个矩形，侧面投影为两个矩形。绘制左视时要注意宽相等的度量。

②根据主视图反映切口特征，知道物体被一个正垂面、一个水平面和一个侧平面切割。根据主视图切口可知截平面一从前到后切通立体。为了简化作图我们先找截平面之间的交线。三个截平面产生两条交线。在主视中找到交线的正面投影1＇（2＇）、3＇（4＇），长对正找到交线水平投影为12、34连接的虚线，高平齐、宽相等在左视图中找到交线的侧面投影1＂2＂、3＂4＂。截平面为侧平面的正面投影为直线，水平投影为俯视图中虚线，左视图投影就是与主视图直线高平齐、与俯视图虚线宽相等的矩形。

③截平面为水平面，正面投影积聚为线，长对正在水平投影找到反映实形的7边形线框。该线框宽度就是物体的宽度。因此左视投影为高平齐的从前到后的直线直线。见图3-4（e）。

④截平面为正垂面，正面投影积聚为一条斜线。长对正在水平投影找到其投影为7边形线框。因此高平齐、宽相等在左视画出类似形线框。为作图准确我们不太熟练时一般标注出截平面与棱柱棱线的交点。

⑤处理轮廓线，由主视图可以看出点9＇到水平面之间的最左棱线被切去了，所以左视图中9＂到水平面之间的最左棱线的投影要擦去。立体的前面被切割为上下两部分。我们知道立体的前面为正平面。其左视图投影积聚为直线。现在该平面在左视图中被分为上下两段直线。上面一段由5＂向上，下面一段由水平面向下。

例4　试求三棱锥被正垂面截切后的视图。

分析：如图3-5（b）所示，截平面与三棱柱的最左棱线产生一个交点，截平面与三棱柱的棱面产生一条交线。截平面为正垂面，正面投影积聚为线，另两投影为类似形。

作图：①因截平面为正垂面，正面投影积聚为线，可在其上直接找到截交线上点的正面投影1＇、2＇（3＇）。

这里正确选取点的数量很重要。正确选取的方法就是要仔细分析截平面与立体是面、线相交产生点，还是面、面相交产生线。产生点就取一个点，产生线就取两个点。

②根据点的投影规律，长对正找到1，由于截平面与立体棱面产生的交线正面投影积聚为点。水平投影一定是反映实长的直线。长对正找到水平投影2、3并连接画出直线。

③根据点的投影规律，高平齐、宽相等找到侧面投影1＂、2＂、3＂并连接画出平面形。我们看到与正垂面积聚投影长对正的是三角形123。根据投影面垂直面的投影特性，左视图的投影一定为与截平面主视图投影高平齐，与俯视图三角形宽相等的三角形，即三角形1＂2＂3＂。

④处理轮廓线，由主视可以看出点1上方的最左棱线被切去了，所以左视中1＂；上方的最左棱线的投影要擦去。

例5　试求三棱锥被截切后的视图。

分析：如图3-6（b）所示，有两个截平面截切三棱柱。水平面切割：正面投影积聚为直线，侧面投影积聚为直线，水平投影反映实形。侧平面切割：正面投影积聚为直线，水平投影积聚为直线，侧面投影反映实形。

作图：①我们知道如果用一个与三棱锥底面平行的平面切断三棱锥，上面被切掉部分仍为三棱锥，剩余部分为三棱台。见图3-7。我们看到三棱台的上面各边与底面各边对应平行。这样就可以利用平行性在三棱锥上取点。

首先将水平面看成切断三棱锥，这样长对正找到水平面与三棱锥左边棱线的交点1，过1点作底边后面直线的平行线，交三棱锥右边棱线于一点。过1点作左底边线的平行线，交前面棱线于2点。过2点作底面右边直线的平行线。这样得到相当于三棱台顶面的三角形。两个截平面的交线即在水平面上又在三棱锥面上，所有长对正在俯视所作三角形上找到34直线投影。宽相等找到侧面投影。

②根据水平面正面投影积聚为直线，长对正在水平投影上找到反映其实形的四边形线框，该线框前面在前面棱线上，后面在后面棱面上。后面棱面的左视投影积聚为一条斜线。因此高平齐画出积聚为直线的水平面的侧面投影。

③侧平面的截平面，其正面投影、水平投影都积聚为直线，左视图的投影一定为与截平面主视图投影高平齐，与俯视图直线宽相等的三角形，即三角形3＂4＂5＂。

④处理轮廓线，俯视水平面投影为一个线框，因此该线框内的三条棱线的投影要擦去。侧面2＂；上面的前面棱线被切掉要擦去。切割后立体的高点为5点，所以5＂点上方部分的轮廓线要擦去。

平面立体切割首先画出截平面之间的交线可以有效简化作图。在此基础上熟练运用投影面平行面、投影面垂直面的投影特性提高作图效率、检验作图的正确性。如果这部分内容学习有困难可以用橡皮泥等材料自己动手制作简单模型，把立体和平面结合分析、反复思考。空间思维能力和想象能力的建立是渐进的过程，多实践、多分析思考是必须做的工作。

例6　补画平面切割体视图中的漏线。

分析：如图3-8（a）所示，观察已知三视图可知该立体为长方体的切割体。由主视图看出被立体一个正垂面切割，由俯视图看出被两个对称的铅垂面切割，左视图看出立体被两个对称的正平面和一个水平面切割。我们知道正放的长方体上前、后两面为正平面，左、右两面为侧平面，上、下两面为水平面。作图时要充分运用投影面平行面投影特性。投影面垂直面切割立体，作图时要充分利用其投影特性中的类似性。

作图：①左视投影我们知道平行于长方体底面投影的线都是水平面的左视图投影。因此找到水平面M1、M2、P的侧面投影、、p＂。水平面正面投影积聚为直线，高平齐找到正面投影1（）、p＇。长对正、宽相等在水平面画出三个矩形线框p、m1、m2。

②长方体前面为正平面，其水平投影积聚为直线。因此其正面投影为反映实形的线框。俯视投影看到切割立体的铅垂面俯视投影积聚为斜线，铅垂面与前面正平面产生交线为铅垂线。水平投影积聚为一点，正面投影反映实长。因此长对正画出其正面投影。见图3-8（c）。

③长方体左面为侧平面，其正面投影积聚为直线，水平投影积聚为直线。因此其侧面投影为反映实形的线框。高平齐、宽相等画出其为矩形线框的侧面投影。见图3-8（d）。

④长方体被铅垂面切割，俯视投影积聚为斜线，正面投影为四边形线框。因此其侧面投影为类似的线框。正确画出类似形找对斜线很重要。1点为斜线一个端点，它是侧平面的前、上角的点。由1＇长对正找到水平投影1，高平齐、宽相等找到其侧面投影1＂。2点是铅垂面与前面的交线上面的点。由2长对正找到其水平投影2，高平齐、宽相等找到其侧面投影2＂。连接1＂2＂侧面斜线画出，这样类似形出现了。我们也可以用正垂面的类似形检查作图正确性。见图3-8（e）。