第一部分　数学运算中的一些方法和技巧

很多数学运算都有一些特殊的方法和技巧。我们可以利用公式和数的特性等，将复杂的计算过程转化成简单的计算，从而得出我们想要的答案。充分利用这些方法和技巧可以使原本复杂的计算大大简化，并增加准确性。下面就来简单列举一些常用的方法和技巧。

一、凑整法

“凑整法”是在计算过程当中，将中间步骤中的某些数字凑成一个“整数”（整十、整百、整千等方便计算的数字），从而简化计算。

比如我们在计算56×99等于几的时候，很多人觉得无法通过口算计算出结果，其实如果我们运用凑整法就会很简单，即把它变成56×（100－1）就行了。

凑整法是简便运算中最常用的一种计算方法，在具体计算时，除了在过程中凑整，我们还可以综合运用数字运算的交换律、结合律等，把可以凑成整十、整百、整千等计算起来更加方便的数放在一起先行运算，从而提高运算速度。

运用凑整法，最重要的是观察数字的特征，判断哪些数字可以凑整，然后应用相关的定律和性质进行运算，通常能够化繁为简。可以运用凑整法的数学运算题目一般有以下几种。

①加法“凑整”。利用加法的交换律、结合律“凑整”。如：

②减法“凑整”。利用减法性质“凑整”。如：

③乘法“凑整”。利用乘法交换律、结合律、分配律“凑整”。如：

④和（差）代替“凑整”。利用和或差代替原数进行“凑整”。

如126、99、102等，我们可以用（125+1）、（100－1）、（100+2）等来代替，使运算变得比较简便、快速。

要想能够快速准确地判断和学习凑整法，我们需要记住一些最基本的凑整算式：

5×2=10

25×4=100

25×8=200

25×16=400

125×4=500

125×8=1000

125×16=2000

625×4=2500

625×8=5000

625×16=10000

…

记住这些常见的凑整算式，我们就可以在运用凑整法计算题目时更加得心应手了。

1．任意数乘以5、25、125的速算技巧

方法：

A×5型式子的速算技巧：A×5=10A÷2。

A×25型式子的速算技巧：A×25=100A÷4。

A×125型式子的速算技巧：A×125=1000A÷8。

提示：A为变量，代表任意数。

例子：

（1）计算8739.45×5=　　　　　。

解：

10×8739.45÷2

所以8739.45×5=43697.25。

（2）计算7234×25=　　　　　。

解：

7234×100÷4

所以7234×25=180850。

（3）计算8736×125=　　　　　。

解：

8736×1000÷8

所以8736×125=1092000。

练习：

（1）计算36.843×5=　　　　　。

（2）计算3714×25=　　　　　。

（3）计算4115×125=　　　　　。

2．任意数乘以55的速算技巧

方法：

（1）被乘数除以2（如除不尽则取整数部分）。

（2）被乘数是单数则补5，双数则补0。

（3）将上步结果乘以11。

例子：

（1）计算37×55=　　　　　。

解：

37÷2=18

因为37是单数，后面补5为185。

185×11=2035

所以　37×55=2035

（2）计算32×55=　　　　　。

解：

32÷2=16

因为32是双数，后面补0为160。

160×11=1760

所以　32×55=1760

（3）计算78×55=　　　　　。

解：

78÷2=39

因为78是双数，后面补0为390。

390×11=4290

所以　78×55=4290

练习：

（1）计算178×55=　　　　　。

（2）计算97×55=　　　　　。

（3）计算26×55=　　　　　。

3．任意数乘以5的奇数倍

方法：

（1）先把5的奇数倍乘以2。

（2）与另一个乘数相乘。

（3）结果除以2。

例子：

（1）计算28×5=　　　　　。

解：

5×2=10

28×10=280

280÷2=140

所以　28×5=140

（2）计算98×15=　　　　　。

解：

15×2=30

98×30=2940

2940÷2=1470

所以　98×15=1470

（3）计算59×25=　　　　　。

解：

25×2=50

59×50=2950

2950÷2=1475

所以　59×25=1475

练习：

（1）计算88×35=　　　　　。

（2）计算42×15=　　　　　。

（3）计算59×45=　　　　　。

4．任意数乘以15的速算技巧

方法：

（1）用被乘数加上自己的一半（如得出数有小数则省略小数部分）。

（2）奇数后面补5，偶数后面补0。

例子：

（1）计算44×15=　　　　　。

解：

44+44÷2=66

44是双数，补0，所以结果为660。

所以　44×15=660

（2）计算33×15=　　　　　。

解：

33+33÷2=49.5省略小数部分为49。

33是单数，补5，所以结果为495。

所以　33×15=495

（3）计算125×15=　　　　　。

解：

125+125÷2=125+62=187

125是单数，补5，所以结果为1875。

所以　125×15=1875

练习：

（1）计算76×15=　　　　　。

（2）计算144×15=　　　　　。

（3）计算257×15=　　　　　。

5．扩展：任意数乘以1.5的速算技巧

方法：

A×1.5=A+A÷2

例子：

（1）计算1944×1.5=　　　　　。

解：

所以　1944×1.5=2916

（2）计算98×1.5=　　　　　。

解：

所以　98×1.5=147

（3）计算125×1.5=　　　　　。

所以　125×1.5=187.5

练习：

（1）计算76×1.5=　　　　　。

（2）计算144×1.5=　　　　　。

（3）计算257×1.5=　　　　　。

6．扩展：任意数乘以15%的速算技巧

在美国，很多餐馆是需要支付小费的，一般是消费金额的15%，那么，我们怎样快速地计算出该给多少小费呢？

方法：

（1）先计算消费金额的10%，也就是1/10。

（2）将上一步的结果除以2。

（3）将前两步的结果相加。

例子：

（1）计算44×15%=　　　　　。

解：

44×10%=4.4

4.4÷2=2.2

4.4+2.2=6.6

所以　44×15%=6.6

（2）计算98×15%=　　　　　。

解：

98×10%=9.8

9.8÷2=4.9

9.8+4.9=14.7

所以　98×15%=14.7

（3）计算125×15%=　　　　　。

解：

125×10%=12.5

12.5÷2=6.25

12.5+6.25=18.75

所以　125×15%=18.75

练习：

（1）计算76×15%=　　　　　。

（2）计算144×15%=　　　　　。

（3）计算257×15%=　　　　　。

7．尾数为5的两位数的平方

方法：

（1）两个乘数的个位上的5相乘得到25。

（2）十位相乘时应按N×（N+1）的方法进行，得到的积直接写在25的前面。

例如a5×a5，则先得到25，然后计算a×（a+1）并放在25前面即可。

例子：

（1）计算35×35=　　　　　。

解：

5×5=25

3×（3+1）=12

所以　35×35=1225

（2）计算85×85=　　　　　。

解：

5×5=25

8×（8+1）=72

所以　85×85=7225

（3）计算95×95=　　　　　。

解：

5×5=25

9×（9+1）=90

所以　95×95=9025

注意：本题运用的方法不是凑整法，之所以放在这里讲，是因为它是后面几种题型的基础。

练习：

（1）计算152=　　　　　。

（2）计算252=　　　　　。

（3）计算452=　　　　　。

8．扩展：尾数为6的两位数的平方

我们知道尾数为5的两个两位数的平方的计算方法，现在我们来学习尾数为6的两位数的平方算法。

方法：

（1）先算出这个数减1的平方数。

（2）算出这个数与比这个数小1的数的和。

（3）将前两步的结果相加。

例子：

（1）计算762=　　　　　。

解：

752=5625

76+75=151

5625+151=5176

所以　762=5176

（2）计算162=　　　　　。

解：

152=225

16+15=31

225+31=256

所以　162=256

（3）计算962=　　　　　。

解：

952=9025

96+95=191

9025+191=9216

所以　962=9216

练习：

（1）计算262=　　　　　。

（2）计算462=　　　　　。

（3）计算562=　　　　　。

9．扩展：尾数为7的两位数的平方

方法：

（1）先算出这个数减2的平方数。

（2）算出这个数与比这个数小2的数的和的2倍。

（3）将前两步的结果相加。

例子：

（1）计算872=　　　　　。

解：

852=7225

（87+85）×2=344

7225+344=7569

所以　872=7569

（2）计算272=　　　　　。

解：

252=625

（27+25）×2=104

625+104=729

所以　272=729

（3）计算572=　　　　　。

解：

552=3025

（57+55）×2=224

3025+224=3249

所以　572=3249

扩展阅读

相邻两个自然数的平方之差是多少？学过平方差公式的同学们应该很容易就可以回答出这个问题。

b2－a2=（b+a）（b－a）

所以差为1的两个自然数的平方差为：

（a+1）2－a2=（a+1）+a

差为2的两个自然数的平方差为：

（a+2）2－a2=[（a+2）+a]×2

同理，差为3的两个自然数的平方差也可以计算出来。

练习：

（1）计算172=　　　　　。

（2）计算372=　　　　　。

（3）计算772=　　　　　。

10．扩展：尾数为8的两位数的平方

方法：

（1）先凑整算出这个数加2的平方数。

（2）算出这个数与比这个数大2的数的和的2倍。

（3）将前两步的结果相减。

例子：

（1）计算782=　　　　　。

解：

802=6400

（78+80）×2=316

6400－316=6084

所以　782=6084

（2）计算282=　　　　　。

解：

302=900

（28+30）×2=116

900－116=784

所以　282=784

（3）计算582=　　　　　。

解：

602=3600

（58+60）×2=236

3600－236=3364

所以　582=3364

扩展阅读

尾数为1、2、3、4的两位数的平方数与上面这种方法相似，只需找到相应的尾数为5或者尾数为0的整数即可。

另外不止两位数适用本方法，其他的多位数平方同样适用。

练习：

（1）计算282=　　　　　。

（2）计算382=　　　　　。

（3）计算982=　　　　　。

11．扩展：尾数为9的两位数的平方

方法：

（1）先凑整算出这个数加1的平方数。

（2）算出这个数与比这个数大1的数的和。

（3）将前两步的结果相减。

例子：

（1）计算792=　　　　　。

解：

802=6400

79+80=159

6400－159=6241

所以　792=6241

（2）计算192=　　　　　。

解：

202=400

19+20=39

400－39=361

所以　192=361

（3）计算592=　　　　　。

解：

602=3600

59+60=119

3600－119=3481

所以　592=3481

练习：

（1）计算292=　　　　　。

（2）计算392=　　　　　。

（3）计算992=　　　　　。

12．尾数为1的两位数的平方

方法：

（1）底数的十位数乘以十位数（即十位数的平方）。

（2）底数的十位数加十位数（即十位数乘以2）。

（3）将前两步的结果相加后再加1。

例子：

（1）计算712=　　　　　。

解：

70×70=4900

70×2=140

所以　712=4900+140+1=5041

（2）计算912=　　　　　。

解：

90×90=8100

90×2=180

所以　912=8100+180+1=8281

提示：熟悉之后，也可以省掉后面的0进行速算。

解：

9×9=81

9×2=18

所以　912=8281

（3）计算312=　　　　　。

解：

30×30=900

30×2=60

所以　312=900+60+1=961

注意：可参阅乘法速算中的“尾数是1的两位数相乘”的内容。

练习：

（1）计算812=　　　　　。

（2）计算612=　　　　　。

（3）计算212=　　　　　。

13．任意数除以5的速算技巧

方法：

方法一：除数增加两倍，结果再乘以2，即为商。

方法二：被除数除以10。再乘以2，即为商。

方法三：被除数乘以2，结果再除以10。

例子：

（1）计算46÷5=　　　　　。

解：

将除数乘以2以后，

算式变为46÷10，

结果是4.6。

再乘以2。

所以　46÷5=4.6×2=9.2

（2）计算13÷5=　　　　　。

解：

将被除数除以10，

即13÷10，

结果是1.3。

再乘以2。

所以　13÷5=1.3×2=2.6

（3）计算95÷5=　　　　　。

解：

将被除数除以10，

即95×2，

结果是190。

再除以10。

所以　95÷5=95×2÷10=19

练习：

（1）计算1024÷5=　　　　　。

（2）计算569÷5=　　　　　。

（3）计算1111÷5=　　　　　。

14．扩展：除数以5结尾的速算技巧

我们学过，如果被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（这个数不等于零），那么所得的商不变。这就是商不变的性质。根据这个性质，可以使一些除法算式计算简便。

方法：

将被除数和除数同时乘以一个数，使得除数变成容易计算的数字。

例子：

（1）计算2436÷5=　　　　　。

解：

将被除数和除数同时乘以2，

算式变为4872÷10，

结果是487.2。

所以　2436÷5=487.2

（2）计算1324÷25=　　　　　。

解：

将被除数和除数同时乘以4，

算式变为5296÷100，

结果是52.96。

所以　1324÷25=52.96

（3）计算10625÷625=　　　　　。

解：

将被除数和除数同时乘以16，

算式变为170000÷10000，

结果是17。

所以　10625÷625=17

练习：

（1）计算3024÷15=　　　　　。

（2）计算8569÷25=　　　　　。

（3）计算1111÷55=　　　　　。

15．连除式题的速算技巧

我们学过乘法交换律。交换因数的位置积不变。在连除式题中也同样可以交换除数的位置，商不变。

所以，在连除运算中有这样的性质：一个数除以另一个数所得的商，再除以第三个数，等于第一个数除以第三个数所得的商，再除以第二个数。

用字母表示为：

a÷b÷c=a÷c÷b

另外，在连除运算中，还可以利用添括号的方法来进行速算和巧算。

在连除算式中，一个数除以另一个数所得的商再除以第三个数，等于第一个数除以第二、三两个数的积。即添上括号后，因为括号前面是除号，所以括号中的运算符号要变为乘号。

用字母表示为：

a÷b÷c=a÷（b×c）

利用这个法则可以把两个除数相乘。如果积是整十、整百、整千，则可以使计算简便。

利用这两个性质可以使连除运算简便。

方法：

（1）a÷b÷c=a÷c÷b

（2）a÷b÷c=a÷（b×c）

例子：

（1）计算45000÷125÷15=　　　　　。

解：

所以　45000÷125÷15=24

（2）计算4900÷4÷25=　　　　　。

解：

所以　4900÷4÷25=49

（3）24024÷4÷6=　　　　　。

解：

所以　24024÷4÷6=1001

练习：

（1）计算5000÷8÷125=　　　　　。

（2）计算7000÷25÷35=　　　　　。

（3）计算147000÷16÷625=　　　　　。

16．乘除混合运算的速算技巧

在乘除混合运算中，可以把乘数、除数带符号“搬家”。也可以“去括号”或“添括号”。当“去的括号”（或“添的括号”）前面是乘号时，则“要去的括号”（或“要添的括号”）内运算符号不变；当“要去的括号”（或“要添的括号”）前面是除号时，则“要去的括号”（或“要添的括号”）内运算符号要改变。原来乘号变为除号，原来的除号变为乘号。用字母表示为（从左往右看是添括号，从右往左看是去括号）：

a×b÷c=a÷c×b=a×（b÷c）

a÷b×c=a÷（b÷c）

a÷（b×c）=a÷b÷c

利用以上乘除混合运算性质，可以使计算简便。

方法：

（1）a×b÷c=a÷c×b=a×（b÷c）

（2）a÷b×c=a÷（b÷c）

（3）a÷（b×c）=a÷b÷c

例子：

（1）计算150×40÷50=　　　　　。

解：

所以　150×40÷50=120

（2）计算1320×500÷250=　　　　　。

解：

所以　1320×500÷250=2640

（3）计算72000÷（125×9）=　　　　　。

解：

所以　72000÷（125×9）=64

练习：

（1）计算864×27÷54=　　　　　。

（2）计算1320×500÷250=　　　　　。

（3）计算372÷162×54=　　　　　。

17．用凑整法做加法

方法：

（1）在两个加数中选择一个数，加上或减去一个数，使它变成一个末尾是0的数。

（2）同时，在另一个数中，相应地减去或加上这个数。

口诀：一边加，一边减。

例子：

（1）计算297+514=　　　　　。

解：

297差3到300，则：

所以　297+514=811

（2）计算308+194=　　　　　。

解：

308比300多8，则：

所以　308+194=502

（3）计算2991+1452=　　　　　。

解：

2991差9到3000，则：

所以　2991+1452=4443

注意：两个加数要一边加、一边减，才能保证结果不变。

练习：

（1）计算902+681=　　　　　。

（2）计算497+362=　　　　　。

（3）计算4198+2629=　　　　　。

18．用凑整法算减法

方法：

将被减数和减数同时加上或者同时减去一个数，使得减数成为一个整数，从而方便计算。

口诀：同加或同减。

例子：

（1）计算85－21=　　　　　。

解：

首先将被减数和减数同时减去1。

即被减数变为85－1=84

减数变为21－1=20

则84－20=64

所以　85－21=64

（2）计算458－195=　　　　　。

解：

首先将被减数和减数同时加上5。

即被减数变为　458+5=463

减数变为　　　195+5=200

则　　　　　　463－200=263

所以　　　　　458－195=263

（3）计算2816－911=　　　　　。

解：

首先将被减数和减数同时减去11。

即被减数变为2816－11=2805

减数变为911－11=900

则2805－900=1905

所以　2816－911=1905

练习：

（1）计算4582－495=　　　　　。

（2）计算9458－2104=　　　　　。

（3）计算8458－2014=　　　　　。

19．用凑整法算小数

凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。

方法：

（1）用的时候看小数部分，主要看末位。

（2）需要注意的是，小数点一定要对齐。

例子：

（1）计算5.6+2.38+4.4+0.62=　　　　　。

解：

5.6与4.4刚好凑成10，2.38与0.62刚好凑成3。所以：

所以　5.6+2.38+4.4+0.62=13

（2）计算1.999+19.99+199.9+1999=　　　　　。

解：

因为小数计算起来容易出错。刚好1999接近整千数2000，其余各加数看作与它接近的容易计算的整数。再把多加的那部分减去。所以：

所以　　1.999+19.99+199.9+1999=2220.889

注意：一定要记住刚才“多加的”要“减掉”，“多减的”要“加上”。

（3）计算34.16+47.82+53.84+64.18=　　　　　。

解：

这是一个“聚10”相加法的典型例题，所谓“聚10”相加法，即当有几个数字相加时，利用加法的交换律与结合律，将加数中能聚成10或10的倍数的加数交换顺序，先进行结合，然后再把一些加数相加，得出结果。或者改变运算顺序，将相加得整十、整百、整千的数先结合相加，再与其他数相加，得出结果。这是一种运用非常普遍的巧算方法。

这道题目中四个数字都是由整数部分和小数部分组成。因而可以将此题分成整数部分和小数部分两部分来考虑。若只看整数部分，第二个数与第三个数之和正好是100，第一个数与第四个数之和正好是98；再看小数部分，第一个数的0.16与第三个数的0.84的和正好为1，第二个数的0.82与第四个数的0.18之和也正好为1。因此，总和是整数部分加上小数部分，即

原式=100+98+1+1=200

练习：

（1）计算13.6+25.38+16.4+14.62=　　　　　。

（2）计算9.8+99.88+999.888+9999.8888=　　　　　。

（3）计算53.64+55.78+16.44+54.56+14.22+16.36=　　　　　。

20．用凑整法算分数

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……可以使分数运算得到简化。

方法：

（1）充分运用四则运算法则和运算律。

（2）先借后还。

例子：

（1）计算。

解：

所以　

（2）计算。

解：

所以　

（3）计算。

解：

所以　

练习：

（1）计算。

（2）计算。

（3）计算。