1.3 裂隙岩体的渗透灌浆理论

灌浆理论是借助于流体力学和固体力学的理论发展而来的，对浆液的单一流动形式进行分析，建立压力、流量、扩散半径、灌浆时间之间的关系。实际上，浆液在地层中往往以多种形式运动，而且这些运动形式随着地层的变化、浆液的性质和压力变化而相互转化或并存。如在渗透灌浆过程中存在劈裂现象，在劈裂灌浆过程中存在渗透流动，在压密灌浆过程中存在劈裂或渗透流动。尽管浆液在地层中运动形式很复杂，但它在一定条件下总是以某种流动形式为主。浆液流动的本质取决于其流变特性，即在灌浆过程中浆体内部，浆体与裂隙面之间产生的阻力的性质。正确地运用灌浆理论，将其以所要求的运动形式为主在地层中流动，达到灌浆的目的。如在非均质地层内注浆，先用黏度高的悬浊型浆液向地层内大孔洞、裂隙或土层中松软地带灌浆，提高地层的均质性，然后再渗透灌浆。

渗透灌浆是在不足以破坏地层构造的压力（即不产生水力劈裂）下，把浆液注入到粒状土的空隙中，从而取代、排出其中的空气和水。渗透灌浆浆液一般均匀地扩散到裂隙岩体的空隙内，将岩体胶结起来，增强岩体的强度和防渗能力。浆液扩散形状取决于灌浆方式，当由钻杆端孔灌浆，灌浆孔较深，这时相当于点源，浆液呈球面扩散；花管式分段灌浆，浆液呈柱面扩散，如图1-7所示。

1.3.1 牛顿流体渗透公式

以Maag为代表的渗透灌浆理论系通常的均质体粒间渗透理论。马格于1938年，首先推导出浆液在砂层的渗透公式。马格作了下述假定：

（1）浆液从钻杆底部孔灌入土体，灌浆源为点源，浆液在地层中呈球状扩散。扩散是指浆液离开灌入点向被灌载体各个方向的流动。浆液的流变参数越小，浆体在流动过程中压力损失就越小。换言之，流动性愈好，扩散愈容易并且范围也愈大。

（2）浆液为牛顿体，浆液扩散的理论模型见图1-8。

渗流理论的早期概念以为，浆液的渗流服从达西定律的初始含义，主要是浆液运动的法则。具体指在土或岩石中液体的渗透速度（v）与水力坡度（J）成正比：v=kJ。式中：k为比例常数，即上述的渗透系数。需要指出的是，达西定律仅适用于常温、低矿化度而且流速不大的浆液等液体。对于高温、高矿化度、流速不大的浆液等液体，达西定律须作修正。根据达西定律：

根据边界条件，由上式推导出：

考虑r1≫r0，即，已知H-h0=h1, Q=简化上式为：

以上式中：k为砂土的渗透系数，cm/s; Q为浆液流量，cm3/s; kg为浆液在地层中的渗透系数，cm/s; β为浆液黏度与水的黏度比；A为渗透面积，cm2; r1为浆液的扩散半径，cm;h0为注浆点的浆液压力水头，cm; h1为注浆压力水头，cm;H为浆液水头和注浆压力水头之和，cm; r0 为注浆管半径，cm; t为注浆时间，s; n为砂土的孔隙率。

随后，卡罗尔（Karol）、拉弗尔（Raffle）、格林伍德（Greenwood）等也根据各自的研究成果，相应给出了类似的计算公式。

Karol渗透理论公式：

Raffle和Greenwood推导出注浆点源的球形扩散公式：

式中：r0为球形扩散半径，对于柱形灌浆源r0=（L/D）1/2（其中L为柱长，D为柱直径）。

实践应用表明，Maag公式与Raffle公式应用较为广泛。但是它们都有假定前提：

1）被灌砂土为均质的各项同性体。

2）浆液为牛顿流体。

3）浆液以灌浆底端灌入地基土内，浆液在地层中呈现球形扩散。

1.3.2 牛顿流体减速运动渗透公式

前面叙述的渗透灌浆理论公式都是将具有一定黏度浆液的运动状态看作是与浆液运动状态一致的匀速运动。对于含水地层尤其是多孔介质的灌浆，实际上是一种驱水灌浆。当浆液注入而驱替孔隙水时，渗流运动将是减速运动而不是上述的牛顿型匀速运动。在灌浆时，裂隙岩体介质内水泥浆液和水同时运动，不论浆液与水是否溶混，其间总存在一个过渡带，可以认为它们被限制在两个完全界定的区域内。在这两个区域之间存在着一个将它们隔开的分界界面，用笛卡尔三维坐标表示的两种液体与界面，如图1-9所示。

在以浆液为主要占据者的区域，尽管大部分浆液由于灌浆压力的作用而处于运动状态。但是，因为浆液和多孔介质的特性，在运动过程中总不断地有微量浆液附着在介质颗粒的表面而不再运动，这就是束缚浆液饱和度。同样，在浆液驱替水全部的过程中，还有附着在颗粒表面的水，这就是残余水饱和度。界面运动速度：

式中：qg、qω表示浆液和水的流量；n为介质孔隙率；sgω为束缚浆液饱和度；sωg为残余水饱和度。

假如忽略束缚浆液饱和度和残余水饱和度这两个因素，即sgw=swg=0，那么分界界面的运动速度Vn=q/n。这就是一般渗流理论中多孔介质中液体真实流速的表达式。

在长为L的均质多孔介质中，假定介质是各项同性的，两种不可压缩的流体在水平方向上流动。这两种液体被垂直于x轴一平面界面所分隔，当此界面前进时，水泥浆液驱替水。在某时刻t，设此界面离开原点x=0的距离为ξ，界面方程为：

多孔介质中流体的连续性方程为：

式中：Pg、Pω分别表示浆液和地下水的压力。

分界面上的边界条件为：

式中：kgω为在浆液的残余饱和度和浆液束缚饱和度条件下浆液的渗透率；kωg为在残余水饱和度条件下地下水的渗透率；μg, μω分别表示浆液和地下水的黏度；qx为单位横截面上的流量。

外边界条件：x=0; Pg=P0; x=L; Pω=Pe；求解上述方程得到界面为平面的渗透理论公式：

式中：M为浆液运动特征系数。

这就是将分界面从x=0推到x=ξ所需要的时间，即浆液扩散距离与灌浆时间的关系。

从式（1-18）可以看出，当M＞1时，是加速运动；当M＜1时，是减速运动。一般情况下，水泥浆液的黏度都大于水的黏度，即M＜1。当浆液黏度过大，即M≪1时，浆液的减速使其运动速度在很短距离内就从初速度降低到零，浆液与地下水的分界面不再向前运动，这就是水泥浆液扩散范围的限制。

当浆液呈现球形扩散时，界面为球面的渗透理论公式：

需要指出的是，浆液呈柱形扩散和球状扩散时，浆液的渗透率与浆液的饱和度有关；在黏土灌浆时，需要考虑毛吸压力的影响。

截面为球面的非稳定双相流渗透理论公式：

式中：ne为浆液的饱和度与多孔介质孔隙率的乘积，即ne=nSg。

1.3.3 宾汉姆流体渗透公式

宾汉姆流体是典型的塑性流体，其流变曲线是不通过原点的直线。流体具有这种性质是由于流体含有一定的颗粒浓度，在静止状态下形成颗粒之间的内部结构。在外部施加剪切力很小时，浆液只会产生类似于固体的弹性。当剪切力达到破坏结构后（超过凝聚力），浆体才会发生类似于牛顿流体的流动。

根据渗流微分方程：

塑性流体随时间而变化的流动规律：

当r≫r0时，忽略不计，取r=R, t=T。已知时间T及注浆流量Q为常量时的灌浆扩散半径：

通过上述理论公式，可以解决如下灌浆工程中的一些问题：

（1）已知Q和T，可以计算出半径R。

（2）已知压力差（P0-PR）及灌浆时间时，可计算灌浆扩散半径R。

（3）已知灌浆量Q及扩散半径R时，可以计算孔底最大压力P0，及灌浆时间T。

（4）塑性流体的渗透系数、有效黏度都是半径的函数，在向孔隙介质灌入分散性浆液时，随着时间的变化（半径的增大），出现介质的渗透率下降。

1.3.4 黏性浆液渗透公式

黏性浆液是指灌浆过程中的浆液黏度随时间发生变化的流体。浆液的黏性除与温度、剪切速率v等有关外，还与切变运动时间（剪切持续时间）有关。一般情况下，黏性浆液的黏度随时间增长而增大。灌浆时，浆液的黏度随时间发生变化，从而引起渗透系数发生变化。当黏性浆液以柱面扩散时，随压力变化的灌浆量：

式中：P 0为管底压力，k Pa; PR为灌浆半径为R处的压力，k Pa; r0为灌浆孔半径，c m; a为灌浆层的厚度，cm。

已知灌浆时间及压力差（P0-PR）时，可计算T时的灌浆半径：

式中：T为灌浆时间，s; n-为平均体积孔隙率。

已知Rmax和Q，计算底孔压力：

以上可看出，浆液流变特性的变化，对灌浆参数都有影响，要达到一定的半径，就需要增加灌浆压力。同样，在保持一定的压力下，流量随时间降低，就要增加灌浆时间。