1.1 费率厘定的基础公式

1.1.1 补偿产量和费率的定义

这里先给出投保农户可以获得的补偿产量和费率的定义。

定义1.1 购买了产量保险的农户在作物收割时所能获得的补偿产量表示为

其中，随机变量Y为作物单位面积的产量，即单产；λ为单产的保障水平参数。如果约定的单位价格为p，则相应的赔付金额为M=p·I。如果将赔付金额的期望与保额[最大的赔付金额，即p·λ·E(Y)]之比称为费率，则费率表示为(分子和分母对农作物单价进行了约分处理)

特别的，当随机变量Y服从某些特殊分布时，补偿产量的期望E(I)有解析式，本书将其列于表1.1以方便查找和应用，这些结果是根据Klugman等(2008)附录A简单计算后得到的。

早期的研究中使用正态分布来拟合随机波动产量数据，但后来的研究表明，正态分布假设在多数情况下是不成立的。之后使用较多的分布有Gamma分布、Lognormal分布、Weibull分布、Logistic分布和Beta分布等，各种分布都有其优势和缺陷。另外，Goodwin和Ker(1998)与Tolhurst和Ker(2015)也采用混合正态分布来刻画单产常带有的双峰特征。

需要注意的是定义1.1只是一个最简化的赔付形式，而实务中的合约通常还可能会包含绝对免赔率、相对免赔率或分阶段赔付系数。例如，王克等(2018)根据我国农产品成本保险的实践操作办法，给出了一个不同于定义1.1的保险赔付函数：

其中，X为作物实际损失率；λ为单产的保障水平参数，0＜λ≤1; α为绝对免赔率,0≤α＜1; β为相对免赔率，0≤β＜1; m为灾害发生时作物所处的生长期，m=1,2,3; γ为分阶段赔付系数函数，即根据自然灾害发生时间对单位保额而进行调整的函数(表1.2)。此外，为一个取值为0和1的示性函数。关于实务中如何设置这些参数可以参考王克等(2018)和王俊等(2012)。

1.1.2 补偿产量期望的计算

补偿产量是截断型的随机变量，它的期望除了通过模拟方法计算外，还可以有几种不同的表示方式，这些表达式可以用来简化推导。为此，这里给出它们的相互关系。

定义1.2 设d为一个常数，则随机变量X的限额期望值定义为E[min(X, d)], X的尾部条件期望定义为E(X|X＞d)。

定理1.1 设d为一个常数，则随机变量X满足如下等式：

证明：式(1.4)～式(1.6)是显然的，式(1.7)为全期望公式的直接结果，式(1.8)是式(1.7)的特例。

下面给出式(1.9)的证明：由式(1.8)、式(1.6)和式(1.5)知

E(X|X＞d)P(X＞d)=E[XI(X＞d)]

=E[max(X, d)]-dE[I(X≤d)]

=E[max(X-d,0)]+d-dP(X≤d)

=E[max(X-d,0)]+dP(X＞d)

下面给出式(1.10)的证明：由式(1.5)、式(1.9)和式(1.7)知

E[max(d-X,0)]

=E[max(X-d,0)]+d-E(X)

=[E(X|X＞d)P(X＞d)-dP(X＞d)]+d-E(X)

=[E(X)-E(X|X≤d)P(X≤d)]-dP(X＞d)+d-E(X)

=dP(X≤d)-E(X|X≤d)P(X≤d)

证毕。

式(1.10)经常被文献采用。实际上由定理1.1可知，若已知X的期望和概率P(X≤d)，则E[max(d-X,0)]与E[min(X, d)]、E[max(X-d,0)]和E(X|X＞d)可以相互表达，而Klugman等(2008)附录A又给出了常见分布的限额期望值E[min(X, d)]，因此如果已知产量分布的参数形式，我们可以得到对应的解析表达。

例1.1 假设已知随机变量X的限额期望值E[min(X, d)]，计算E[max(d-X,0)]、E[max(X-d,0)]和E[X|X＞d]。

解：由式(1.4)知

E[max(d-X,0)]=d-E[min(X, d)]

由式(1.5)知

E[max(X-d,0)]=E[max(d-X,0)]+E(X)-d

由式(1.9)知