古希腊数学哲学的起源

太初有道，道（ratio）与神同在，道就是神。

——约翰福音第一章第一节

 

古埃及人发明了几何学，却对数学深思甚少，于他们而言，数学只不过是一门用来记录年月更迭和测量地块分布的工具。古希腊人对数学的态度则大不相同，在他们看来，数学与哲学相生相伴，密不可分，对两者都极其重视。古希腊人对数学的追求异常狂热，甚至有些过了火。

来自米太旁登的希帕索斯站立在甲板上，准备受死。他的四周是一群忠于某个学派的狂热教徒，而他则被视为这个学派的背叛者。希帕索斯揭露了一个秘密，这个秘密将击碎这个学派建构的整个哲学世界，是对古希腊思想的致命一击。为此，伟大的毕达哥拉斯毫不犹豫地对希帕索斯判以极刑，将其溺死。为了捍卫信奉的数学哲学，即便是双手沾染鲜血，也在所不惜。希帕索斯发现的这个秘密连累他送了命，但与0带来的威胁相比，却又显得微不足道了。

这个学派的领导者是毕达哥拉斯，一个古代的激进分子。据大多数资料记载，他出生于公元前6世纪的古希腊萨摩斯岛，这个小岛位于土耳其沿岸，盛产美酒，岛上的赫拉神庙声名远播。即便是以古希腊带有迷信色彩的标准来看，毕达哥拉斯学派的信条都是异乎寻常的。毕达哥拉斯认为自己是特洛伊战争中的英雄欧福耳波斯的转世化身，这一点令他坚信，所有灵魂，包括动物的灵魂，在死后都会轮回转生，因此，他是一个严格的素食主义者。但豆子被列为禁忌之物，因为它会引起胃气胀，也因为它们长得很像外生殖器。

在当时，毕达哥拉斯或许称得上是一个新时代的思想家，他既是极富感染力的演说家，也是著名学者，同时还是一位魅力超凡的老师。据说，他还为居住在意大利的希腊人撰写了宪法章程。学生蜂拥而至，毕达哥拉斯的周围迅速聚集了一群想要聆听这位导师教诲的追随者。

毕达哥拉斯学派的成员严格按照其领袖的训诫生活做事，其中，他们笃信，最好是在冬季向女性示爱，而非夏季；所有的疾病都是由消化不良引起的；人应该吃生食、饮白水，不应穿羊毛。而毕达哥拉斯学派信奉的最为根本的哲学理念是：数是万物的本原。

古希腊人的数学继承自古埃及的几何学，因而，在古希腊数学中，图形与数字之间并没有明显的界线，并且，在古希腊人的眼中，哲学家与数学家几乎可视为一体。（这一影响甚至延续到了今日，正方形数与三角形数便是最好的佐证[见图表5]。）那时古希腊数学家常通过绘制精密图形来证明某些数学定理，他们手中的工具不是铅笔和纸张，而是直尺与圆规。毕达哥拉斯认为，图形与数字之间的联系高深而神秘，每一个形数背后都有其各自隐藏的含义，而最具美感的那个形数则堪称神圣。

毕达哥拉斯学派有一个神秘标志，这个标志自然是一个形数：一个五角星形。这个图案看似简单，却能窥见无穷。五角星形内部各顶点相连可得一个五边形，用直线将此五边形各顶点交叉相连又可得到一个倒置的小五角星，这个小五角星与原来的五角星形状相同，大小成一定比例；这个小五角星的内部又包含了一个更小的五边形，五边形中又能构画出一个更加小的五角星，终而复始，循环无端（见图表6）。这种自我复制甚为有趣，但它并不是毕达哥拉斯学派的信徒们关注的焦点，他们认为，这个图形最核心的特质潜藏在五角星的线条之中，这些线条里蕴藏着一个形数，这个形数是毕达哥拉斯学派宇宙观的终极象征，那就是——黄金比例（the golden ratio）。

黄金比例的重要性在毕达哥拉斯学派的一个发现中体现得淋漓尽致，但这一发现如今已鲜有人记得。现代课堂里，孩子们对毕达哥拉斯的了解大多来自他提出的一个著名定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。然而事实上，它只是一条过时的新闻，早在毕达哥拉斯时代之前的一千多年，它就已经为人所知晓。在古希腊，人们之所以记住毕达哥拉斯是因为他的另一项发明：音阶。

据传说，有一天毕达哥拉斯正摆弄一台单弦琴（木盒上只装有单一根琴弦，见图表7），他把一个滑动的琴桥放在琴弦下来回移动，改变弹奏的声调。他敏锐地发现，琴弦奏出的乐声是有规律可循的。在没有放置琴桥的情况下拨动琴弦，可以得到称之为基础音调（fundamental）的清脆音调；在单弦琴上放置琴桥，琴桥与琴弦接触，则会改变弹奏的音调。若将琴桥置于单弦琴的中间，与琴弦的中心点相接触，那么琴弦两边奏出的调子别无二致，而且，这个音调与基础音调相比提高了一个8度。毕达哥拉斯注意到，若略微移动琴桥，将琴弦以3比2的比例划分，在此情况下弹拨琴弦，两部分琴弦弹出的音调将合奏出一个纯五度音（perfect fifth）。纯五度是音乐世界中最具感染力、最能唤起共鸣的音程关系。不同比例下产生的不同和声，或抚慰人心，或叫人心烦意乱（比如，三全音音程就极不和谐，被称为“地狱之音”，为中世纪音乐家所摈弃）。奇怪的是，如果琴桥所处的位置不能将琴弦分割成一个简单比例关系，两边弹奏的音调就无法和谐融合，往往刺耳难耐，甚至更糟，此时奏出的和声摇移不定，就像一个喝醉了在音阶上东倒西歪的酒鬼。

对于毕达哥拉斯来说，音乐是一项数学行为。与正方形、三角形一样，线条也是形数，所以，将一根琴弦分成两个部分与取两个数的比例实则是同样的道理。音律的和谐便是数学的和谐，甚至是世界的和谐。毕达哥拉斯得出结论，认为数与数之间的比例关系操纵的不仅仅是音乐世界，还有世上一切具有美感的事物。在毕达哥拉斯看来，比例与均衡控制着音乐的美、体格的美和数学的美。了解自然就是了解数学中的比例关系。

这样的哲学理念——音乐、数学与自然间的可互换性——也深刻地影响了早期毕达哥拉斯学派关于天体运行模型的构建。毕达哥拉斯提出，地球是宇宙的中心，太阳、月亮、行星、恒星皆为球形，沿着各自的轨道环绕地球运转（见图表8），轨道之间的大小比例整齐有序，和谐美好。天体运转，美妙乐声也随之渺渺而起。最外围的木星与土星移动最快，其产生的音调也最高；内层的天体，如月球，则鸣奏较低的音调。纵观来说，宇宙是一支具有数学性质的和谐管弦乐队，运行的众天体一齐奏响了一曲“天体音乐”（harmony of the spheres）。这就是毕达哥拉斯一贯坚持的理念：数是万物的本原。

由于数之间的比例关系是了解自然的关键所在，毕达哥拉斯学派及后来的古希腊数学家花费了许多精力挖掘数字比例的性质。最终，他们将数之间的比例关系划分为10类，如调和中项（harmonic mean）等，其中的一个类别里有世上最“美丽”的一个比例——黄金比例。

这个比例美妙如天赐，为了得出这个分数，可将直线按以下方式进行分割：将整体一分为二，使其较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值（见附录B）。从表面上看，它似乎没有什么独特之处，但事实上，在这一黄金比例统摄下形成的图形与物体都极具美感。到了今天，艺术家和建筑师们都已具备一种本能反应，知道长宽比为黄金比例的物体格外美观，因此，许多艺术作品和建筑都是在这一比例的支配下完成的。一些历史学家和数学家认为，帕台农神庙这座庄严宏伟的雅典庙宇，它的每一个角落都鲜活地展现着黄金比例的倩影。甚至大自然在挥洒设计灵感时，也难逃黄金比例这双操纵之手。鹦鹉螺任意两个相邻腔室的面积之比和菠萝上顺时针果眼与逆时针果眼的数量之比都是黄金比例在自然界留下的足迹（见图表9）。

五角星之所以被毕达哥拉斯学派奉为神圣无上的标志，就是因为五角星形的各线条都是以黄金比例进行分割的，它的身上缀满了黄金比例留下的痕迹。在毕达哥拉斯看来，黄金比例就是数字中的王者。不仅艺术家对黄金比例情有独钟，就连大自然也对它青睐有加，这似乎从旁佐证了毕达哥拉斯的推断，即音乐、美的事物、建筑、自然与宇宙之间的关系是相互交织、不容割裂的。毕达哥拉斯学派的指导思想认为，万物皆按照一定的数量比例构成和谐的秩序。这套被毕达哥拉斯学派成员奉为真理的思想很快风靡了整个西方大陆，美的事物、数的比例与宇宙之间的绝妙联系成为西方文明长期崇奉的基本原则之一。甚至到了莎士比亚时期，各天体运行轨道之间的比例关系依旧是科学家们津津乐道的话题，他们的耳边似乎仍悠悠回荡着鸣响于宇宙间的天体乐声。

在毕达哥拉斯学派的思想框架里，0无处栖身。古希腊人将数字与图形等同起来，这一点令他们成为了几何学家，但其中包藏着一个严重的缺陷，阻碍人们把0视为一个数字。毕竟，0可以是什么图形呢？

人们可以轻而易举地画出一个长宽各为2的正方形，但是，长宽各为0的正方形又该是什么模样的呢？一个既无宽度也无长度——一个毫无实质形态的正方形？实在是难以想象。乘以0的运算也同样毫无意义可言，两个数字相乘相当于划取一个相应长宽的矩形区域，可是如果这个矩形区域的宽为0或者长为0，那么它还能称得上是一个矩形吗？

今天，数学界中悬而未解的问题大多称为数学家尚未证明的猜想。在古希腊，形数概念的提出也启发了另一种思维模式。当时有一个著名的几何学问题亟待解决：若只给你一把直尺、一个圆规，你能否画出一个与给定圆形面积相等的正方形？你又能否利用这些工具将一个给定角三等分？几何作图与几何图形实则是一样的概念。从几何学的角度看，0这个数字毫无意义，因此，若想将0纳入数字的范畴，古希腊人就必须将他们亲手建立的整个数学体系推倒重建。他们选择了拒绝。

即便古希腊人接受了0这个数字，在取数字之比时，0的存在也似乎有悖自然规律。如此一来，人们就再也无法将比例视为两个物体之间关系的表征。0与任何数之比，即0除以任何数，结果永远等于0,0可将任何数消耗殆尽。反之，任何数与0之比，即其他数除以0，结果则是逻辑的灰飞烟灭。毕达哥拉斯学派精心构建了一个和谐运转的宇宙框架，0却在上头钻出了一个漏洞，因此，他们怎么可能容忍0大摇大摆地现身呢？

毕达哥拉斯学派还企图阻止另一个必会惹来许多麻烦的数学概念走进人们的视野，那就是——无理数（irrational）。这一概念的出现是毕达哥拉斯学派面临的第一个强有力的挑战，他们费尽心思，只为掩盖无理数的存在，疯狂的教徒甚至不惜采取暴力措施防止秘密泄露。

无理数是潜隐在古希腊数学体系中的一颗定时炸弹。由于形数的二象性，古希腊的数字运算与线条测量可视同一律，因此，两个数字之间的比例等价于两条不同长度的直线之间的比较。不过，无论采用何种测量手段，都需要一个统一的评判标准方能比较线条的尺寸。打个比方，假设一线条有1英尺（约305毫米）长，在离一端5.5英寸（约140毫米）处做一记号，将此线条划分为长短不等的两个部分，此时，古希腊人可能会使用0.5英寸（约13毫米）长的标尺将线条分割为许多小段，其中一条线段含有11个小段，另一条线段含有13个小段，于是，这两条线段之比便为11比13。

因为世间万物的性质皆由数量比例所决定，所以毕达哥拉斯学派笃信，宇宙间所有有意义的事物都能表征为具有美感的齐整比例关系，换句话说，它们必须是有理数（rational），或者可更确切地表述为，这些比例关系必须能够写成a/b的形式，且a和b必须是整数，如1、2、47等。（数学家会谨慎注明，b绝不能是0，因为众所周知，除以0的运算会引发灾难性的后果。）显而易见的是，宇宙万物不可能只遵循如此简明有序的规律。有一些数字无法以简单的a/b形式表示，而这些无理数就是古希腊数学前进道路上避无可避的一道屏障。

正方形是几何学中最简单的图形之一，受到毕达哥拉斯学派教徒的尊崇。（它有4条边，分别对应四大元素，象征着数字的完美和谐。）然而，正方形的纯粹中却掺杂着无理数的魅影。若在正方形里画上一条对角线，无理数旋即浮出水面。举一个具体例子，假设一个正方形，其边为1英尺（约305毫米）长，再连接两个对角画出对角线，痴迷于数量关系的古希腊人看看正方形的边长，再瞅瞅对角线，心底必然陡生一个疑问：这两条线段的比例该是多少呢？

第一步，依然是确立一个统一标杆，且暂定为13毫米长的直尺。第二步，用此标尺将两条线段分割为若干相等线段，标尺13毫米长，可将305毫米长的正方形边划分为24段，再用标尺划分对角线，此时又会发生什么状况呢？我们会观察到，对角线可大致分为34段，但结果并不完全齐整，第34段略微短了一些，13毫米长的标尺稍稍突出顶角外。既然如此，那就再精细些，把标尺换成1/6英寸（约4毫米）长，正方形的边被分割成72段，对角线划分的线段比101段稍微多一些，又比102段少一点儿。可见，这一测量方法仍旧不够精细。若使用一个真正精密的标尺，以一百万分之一英寸为单位尺寸呢？正方形边可被分割为12,000,000段，对角线划分的线段则比16,970,563段短了一些。我们选择的标尺依然无法同时满足两条线段的精确划分，仿佛无论标尺的尺寸多么精细，都无法产生一个令人合意的结果。

事实上，人们确实无法找出一个长度适合的标尺，能够同时满足正方形边和对角线的测量，因为对角线与边是不可通约的（incommensurable）。然而，没有统一的评断依据，就无法以比例的形式表示两条线段之间的长度关系。这意味着，我们无法找出整数a和整数b、以a/b的形式表示这个边长为1的正方形的对角线，即是说，此正方形的对角线是一个无理数——今天，我们将这个数字表示为根号2。

这是对毕达哥拉斯学派的一大冲击。倘若简单如正方形都能够使比例关系这一神圣语言手忙脚乱，它又怎么可能有能力掌控自然万物呢？毕达哥拉斯学派难以接受这一点，但它又是那样不容置疑，因为这是在他们奉行的数学规则下推导得出的结果。这就是由正方形对角线的不可通约性（或无理性）引发的史上第一次数学危机。

对于毕达哥拉斯来说，无理性是一个极其危险的概念，他一手创建了一个以数量比例关系为核心的宇宙观，但无理数的出现直接动摇了它的根基。毕达哥拉斯学派很快又发现，被他们奉为美与理性的终极象征的黄金比例，竟然也是一个无理数！真可谓雪上加霜。为了不让这些可怖的数字将毕达哥拉斯学派的教义信条毁灭殆尽，他们严守无理数的秘密，每一个人都守口如瓶，甚至连记录笔记也不被允许。不可通约的根号2由此成为毕达哥拉斯学派中埋藏最深也最为沉重的秘密。

然而，与0不同，古希腊人不会轻易忽视无理数的存在。它在几何作图中反复出现，对于这样一个痴迷几何学与数量比例的民族而言，无理数的秘密很难不被察觉。总有一天，会有一个人走上前来，将它宣之于众。这个人便是希帕索斯，他是一名数学家，也是毕达哥拉斯的门生。无理数的秘密给他惹来了一场灭顶之灾。

关于希帕索斯的背叛与最终命运，传说繁多，模糊不清，其中还有一些相互矛盾的地方。数学界至今仍流传着这位向世界宣告无理数秘密的勇者的不幸故事，一些人描述说，毕达哥拉斯学派的信徒们把希帕索斯抛入大海，任由其溺死，因为他用严酷的事实摧毁了一个美丽的理论，所以这是对他的公正惩戒；有的古代史料则记载，他是由于背叛信仰才在海上丧了命；有的消息源则记述，学派将他驱逐出了人类世界，并为他建了一座墓冢。不过，无论希帕索斯的命运最终走向何方，毋庸置疑的是，他肯定受尽了原先学派同门的唾骂。他泄露的秘密动摇了毕达哥拉斯学派的核心宗旨，但是，若将无理数视为规则之外的反常现象，就可以阻止它玷污毕达哥拉斯学派的宇宙观。一段时间之后，古希腊人无奈地承认，无理数确实归属于数字的范畴。毁灭性的无理数没有杀死毕达哥拉斯，杀死他的是豆子。

与希帕索斯的谋杀传说一样，关于毕达哥拉斯的最终命运同样众说纷纭，但所有的说法皆暗指，这位大师的离世方式有些离奇。虽然有传他是绝食而死的，但大多数传说都认为，豆子才是他殒命的原因。据其中一个版本，有一天，毕达哥拉斯的仇人们（毕达哥拉斯认为他们不够富有而拒绝了他们的求见，因此愤恨不已）点火烧了他的房子，当时正在屋内的弟子们四散而逃，紧随其后的暴徒毫不留情地将他们一一屠杀，毕达哥拉斯孤身躲窜逃命，却猛然跑到了一片豆田前。他停下了脚步，因为在他看来，与其穿过这片豆田，还不如就死在这里。尾追者当然十分高兴，欣然抬手割破了毕达哥拉斯的喉咙。

尽管学派分崩离析，领袖也已经与世长辞，但毕达哥拉斯学派的教义却仍未陨灭，其精华仍旧留存于世，并为亚里士多德所吸纳。后者的思想理念传世两千多年，成为西方历史上最具影响力的哲学体系，而这个体系与0依然不相兼容。但0与无理数不同，它可以被无视，讲求数字—图形二象性的古希腊人要做到这一点简直易如反掌，毕竟，0不具有与之对应的几何图形，人们自然可以不把它当作数字看待。

事实上，既不是古希腊的计数系统，也不是古希腊人知识的缺乏拦阻了0的融入。由于对夜晚星空的着迷，古希腊人早就知晓了0的存在。与大多数古代文明一样，古希腊也有占星家，而在古巴比伦则诞生了人类史上的首批天文学大师，他们业已具备预测日食和月食的能力。泰利斯是古希腊第一位天文学家，他从古巴比伦人那里（或许是通过古埃及人）学会了这项技能，并于公元前585年成功预测了一次日食。

古巴比伦天文学流入古希腊，其计数系统也随之而来。出于发展天文的需要，古希腊人采纳了古巴比伦的六十进制计数系统，并将一小时划分为60分钟，1分钟划分为60秒。早在公元前500年，0就已经作为占位符出现在古巴比伦的数字书写中，在古希腊的天文学界自然也能找寻到它的踪迹。古代天文学发展的巅峰时期，古希腊天文表上经常出现0的身影，其代表符号为小写的古希腊第15个字母o，它与我们现在使用的数字0十分相似，不过，这也许仅是一个巧合。（之所以采用第15个字母o来象征0，可能是因为古希腊语中表示“无”之意的单词ouden其首字母为o。）但古希腊人并不喜欢0，因此他们竭尽所能地避免使用它。在使用古巴比伦记数法完成运算后，古希腊天文学家通常会把最终结果转写回笨拙的古希腊记数形式，而古希腊记数法中是没有0的。0从未成功渗透古代西方使用的计数系统，因此，古希腊第15个字母o不太可能是0的前身。古希腊人领略了0在运算中的作用，却依旧不肯对它敞开胸怀。

所以，古希腊人对0的抗拒姿态既不是缘于无知，也不是因为他们通用的数形结合的数学体系。其根源其实在于哲学。0与西方秉承的基本哲学思想互有冲突，0蕴含的两个概念对于西方哲学而言是致命的打击，正是这些概念最终动摇了亚里士多德哲学思想的长期统治地位。这两个危险的概念便是，虚无与无限。