虚无的可怖特性

在伊米尔尚未离世的远古时期：

既无海洋，亦无陆地，更无略带咸涩的潮涌；

既无所谓地球，亦无极乐天堂；

只有撕裂的虚空，和不知延伸往何方的绿色事物。

——冰岛古代诗集《老爱达经》

 

难以想象，人类竟会惧怕一个数字。然而，0不一样，它冷酷无情，与虚空、与“无”紧密相连。人类对虚空与混沌天生怀有恐惧，0也无可避免地受到波及。

古人大多深信，在宇宙最终酝酿成型之前，唯有虚空与混沌共存于世间。古希腊人认为，起初，是黑暗孕育了万物，混沌也脱胎于它；此后，黑暗与混沌一同点燃了其他万物的起源之火。希伯来人的创世神话描述道，在上帝向地球撒下光辉，并为它塑造形貌之前，这片土地处于一片虚无与混沌之中。（希伯来语谓之为tobu v'bobu，罗伯特·格雷夫斯将希伯来语中的tobu与一种原始闪米特龙Tehomot联系在一起，这种龙存在于宇宙诞生之初，它的身体化为了天与地；bobu则与希伯来传说中的庞然巨兽Behemoth密切相关。）古印度传说叙讲了一个创世者将混沌搅浑融入土地的故事；挪威人的神话描绘了被冰雪倾覆的虚无旷地和孕育于冰火交相的混沌中的原始巨人。虚无与混乱被看作宇宙最初始的自然状态，所以，在人的心底总有一股难耐的畏惧，害怕在时间之河的尽头，虚无与混乱会再一次成为这片土地的主宰。而0恰恰是虚无的象征。

焦虑、不安都不足以形容人们对于0与虚无的恐惧。在古代，0的数学特性叫人费解，无法言明，和宇宙的诞生一样，都被裹卷在一团神秘的迷雾之中。这是因为0不同于其他数字，比如，在古巴比伦数字系统中，其他数字字符均可独立存在，只有0不可以，且理由充分——单独存在的0往往“行为不端”，至少不似其他数字一般循规蹈矩。

通常来说，一个数字加上它本身，该数将发生变化，比如，1加1不会仍旧是1，而变成了2，再比如，2加2等于4。但是，0加上0，依然是0，它违背了一条叫作“阿基米德公理”的数学基本原则，此条原则认为，任意给定两个数字a、b，必存在正整数n，使na＞b（阿基米德以几何语言对此公理进行描述，一个数字相当于两块面积不等的区域之差）。唯独0不会增大，同时，它也无法令其他数字增大。2和0相加，得到的仍然是2，仿佛这个相加运算从未发生过一般，杳无痕迹。减法亦如是，2减去0还是2。0不具备实质，然而，就是这个非实质性的数字正威胁并动摇着数学界最基本的运算，如乘法与除法。

在数字的领域中，乘法是一种延伸。把数轴想象成一根带有刻度线的橡皮筋（见图表4），乘以2相当于把橡皮筋拉长两倍，此时，原先位于刻度1的橡皮筋末端此刻延展至刻度2，原先位于刻度3的延展至刻度6。同样地，乘以0.5的运算则需将橡皮筋松弛下来，原本位于刻度2的橡皮筋末端回弹至刻度1，原先位于刻度3的回弹至刻度1.5。若乘以0，又会是怎样一番情形呢？

任意数字乘以0都等于0，因此，橡皮筋的两端都归于刻度0。

于是，橡皮筋绽裂，数轴崩塌。

不幸的是，我们无法绕开或回避这个令人不快的事实，任何数乘以0必须等于0，这是现代计数系统中的一个固定性质。数字要有意义，就必须满足一个称为分配律（distributive property）的性质。下面将通过一个实例对其进行阐述。比如，一个玩具商店售有2个一组的圆球和3个一组的积木，隔壁的玩具商店则是将2个一组的圆球和3个一组的积木打包一起售卖，那么，第一家商店里的1袋圆球加上1袋积木应该等于第二家商店里的1个套装。以此类推，若在第一家商店里购买7袋圆球和7袋积木，应该等同于向第二家商店购买7个套装。这就是乘法分配律，用数学符号可表示为：7×2+7×3=7×(2+3)。至此，一切进展顺利。

如果将分配律应用于0，便会出现一些奇怪的情况。我们都知道，0+0=0，所以一个数字乘以0与乘以(0+0)应无区别。以2为例，2×0=2×(0+0)，根据乘法分配律，2×(0+0)等同于2×0+2×0。这就意味着，2×0=2×0+2×0。不管2×0具有何等性质，若你将它与自身相加，结果都无任何改变。这与数字0似有些共通之处。其实，事实就是如此。分别从等式两边减去2×0，便可得到0=2×0。因此，任何数乘以0都会等于0。这个麻烦的数字把整条数轴碾压成了一个点。不过，这个恼人的乘法分配律还远不能体现0的威力，它的强大力量在除法运算中才真正显露。

乘以一个数相当于数轴的延伸，那么除以一个数便相当于数轴的收缩。乘以2时，将数轴伸展两倍；再除以2，便是将橡皮筋收缩一半，可抵消第一步的乘法运算。除以一个数可使原先的乘法运算无效，换句话说，可令原本已被拉伸至新位置的橡皮筋回归原位。

通过以上的剖析我们已经知道，一个数乘以0会摧毁这条数轴。那么，除以0正处于乘以0的对立面，按理它应该能够抵消乘以0这一运算对数轴造成的毁坏。然而，非常遗憾，事实并非如此。

在先前的举例中我们可看到，2×0等于0，因此，由于除法能够抵消乘法，我们顺理成章可得到以下假设，通过(2×0)/0的运算，将重新得到2，并以此类推，(3×0)/0将等于3, (4×0)/0将等于4。但是，2×0、3×0、4×0都等于0，因此，(2×0)/0相当于0/0, (3×0)/0、(4×0)/0亦是如此。这也就意味着，0/0既等于2，也同样等于3、等于4。这显然毫无道理。

当从另一个角度看待1/0，一样会出现奇怪的情况。乘以0反过来应该也能够抵消除以0的运算，那么，1/0×0就应与1相等，但是我们知道，任何数乘以0都必须等于0。可以说，没有任何一个数字乘以0会得到1——至少迄今为止我们仍未碰到过。

最糟糕的是，若你执意要做除以0的运算，整个数学与逻辑的根基都将被摧毁殆尽。除以0的运算能给予你一种魔力——但仅此一次——使你能够从数学的角度证明世间的任意一切：你可以证明1+1=42，并从此出发，证明约翰·埃德加·胡佛是个天外来客、威廉·莎士比亚来自乌兹别克斯坦，甚至证明天空带有圆点花纹。（证明温斯顿·丘吉尔是一根胡萝卜的过程详见附录A。）

乘以0粉碎了数轴，除以0却将推翻捣毁整个数学架构。

“0”这个看似简单的数字蕴涵着无上的力量，它是数学界最有力的工具。不过，由于它奇异的数学性质与哲学特征，它将与西方的基本哲学体系碰撞出无可避免的冲突之音。