§6 复数的发现与代数基本定理

早在12世纪，印度的婆什伽罗就明确提出：“正数的平方以及负数的平方都是正的。正数的平方根为二重，一正一负；负数没有平方根，因为负数不是平方数。”就是说要解答代数的一切方程，实数是不够用的，要证明这一点不必做出什么十分复杂的高次方程，只需考虑方程x2+1=0即可。正是如此，印度数学家放弃了。虽然印度十分擅长代数，但是复数却最终没有在印度扎根。阿拉伯也克制了的诱惑，将它拒之于数学大门之外。中国数学独成一体，以计算为中心的实用特色，使他们热衷于求开平方、开立方以及高次方程的数值解正根，而不是方程的一般求解公式及全部解。故中算家也没有认识到复数。最后，复数只有在欧洲开花结果了。

1545年，意大利数学家卡尔达诺在《大术》中解这样的问题：两个数的和是10，积是40，求这两个数。用现代符号表示，相当于解方程x（10-x）=40，即x2-10x+40=0，卡尔达诺发现，如果把10分成和5，那么不管这两个数学式子代表的是什么，结果却是对的，负数的平方根究竟是不是“数”，卡尔达诺对此显得十分为难。说它是数，其意义是什么？说它不是数，但按数的法则计算时，得出的结果却是正确的，于是卡尔达诺称之为“虚构的”、“诡辩的”量。后来，笛卡儿处理这样的数时，造出了“虚数”这个词。

有趣的是，不是二次方程而是三次方程，才使人们把这种神秘的东西当作名正言顺的数来使用。16世纪，最壮观的数学成就是意大利数学家发现的三次方程和四次方程的求根公式。1572年，也就是卡尔达诺去世前几年，邦别里（1526—1573）出版了一本代数学著作，对三次方程的解法做出了重大贡献，他认识到三次方程要么有一个实根，要么有三个实根。当有一个实根时，可用卡尔达诺公式解，但有三个实根时，这一公式就失效了，因为此时进入公式的方根代表虚数。邦别里以三次方程x3=15x+4为例，该方程的三个实根为4, , ，然而若用卡尔达诺公式，就会得出一个纯粹虚幻的结果：，邦别里猜测，也许这两个方根表示的是。如果真是这样，而且这些实体可以按普通的规则进行运算，则这两个“虚”量的和，也许可以得出一个实数，甚至也许就是这个方程的真实的根之一（邦别里知道这个根是4），我们且看邦别里自己的话：“在许多人看来，这是一个怪想法，我自己好久以来也作如是想。整个事情都像是基于诡辩而不是基于真理。然而，我经过长期的研究，最后确实证明它是真的。”

这些“虚”量，作为实体似乎是不可能的，然而并不是全无用处，因为它们可以用来作为解决实数问题的工具。于是，邦别里为他的成功而鼓舞，进而着手建立关于这种复杂实体的运算规律。邦别里实际上已得出了我们今日所学的一切演算规则，只是形式不同而已。用现代人的眼光来看，邦别里已创造出了复数域，它代替了实数域，正如实数域代替了有理数域一样。经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的努力，复数逐步揭开了它神秘的面纱，显示出其真实的面目，最终成为数系中的一员，被数学家所接受。

人们自然会问：添上复数之后是否足以解决代数的基本问题，即求出最一般的方程的一个根呢？

在17世纪，人们知道四次以下的方程的求解方法，并且知道实系数的代数方程的虚根是成对出现的。英国的哈里奥特（1560—1621）提出一个巧妙的主意，将方程化作一个多项式，使它等于零。由此得出因式定理：若a是代数方程的一个根，则x-a必为其相应多项式的一个因式。进而可得出结论：若能证明每个方程有一个根，或是实的或是虚的，那么，方程的根的个数就恰等于它的次数（重根按重数计算）。

17世纪初，数学家猜想，凡对于前四次方程为真的东西对于一般方程也必为真；到了18世纪中叶，法国数学家达朗贝尔（1717—1983）把它整理成一个命题（代数基本定理）：每一个代数方程至少有一个根，实数的或虚数的。但他还不能够把这个命题加以严格的证明。1799年，高斯在他的博士论文中给出了这一定理的完整证明，不过，他所用的是分析学的原理，而不是纯粹代数的方法。同时，高斯创立了复平面，并给出了复数的几何解释。

复数的发现是人类思想认识上的又一次大的突破和转折，也是人类包容性的体现。复数的数学表示是a+bi，事实上a是加不到bi上的，这只是历史的巧合，它们是完全不同的系列，就像一头牛与一只羊无法相加一样。它只是一种形式，与我们过去经常使用的实数完全不同。

复数的地位确立之后，复数逐步显示其威力，反常积分、应用数学、系统分析、信号分析、电路分析、量子力学、相对论、流体力学等数学学科和自然科学都广泛应用复数，并得到了飞速发展。复数在科学发展和实际应用中发挥了极其重要的作用。我们熟知的飞机机翼上升问题、堤坝渗水问题等都有复数的身影。