§1 作图工具与几何作图

1.1 中国古代的几何画图工具“规”与“矩”

《尸子》卷下说：“古者倕为规、矩、准、绳，使天下仿焉。”相传大禹治水时，“左准绳，右规矩”，即一手拿画方圆的工具，一手拿定平直的工具来进行测量和设计工作。汉武梁祠石室造像中绘有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”的图像。但伏羲、女娲、大禹治水是神话传说中的人物和事件，未必可信，只能说明这些画图工具出现较早。近人朱芳圃《甲骨学文字编》说甲骨文中规字，像手持圆规画圆，可以想象中国古代是用半径固定的圆规画圆。甲骨文中也有矩字，是指两端为直角的曲尺，后来在边上加刻度，除了用来画直角外，还可以用来测量。这种用矩为工具测量高度的操作，可能是造“矩”这个字的象形依据。中国先秦著作中有许多关于规与矩的记载，如《荀子》:“圆者中规，方者中矩”，说明殷商甲骨时代规矩已经产生，至迟春秋战国时期已成为广泛应用于几何的画图工具。中国古代的矩比直尺多了一个直角，还有刻度，可以解决更多的作图问题，但由于中国传统几何学重在计算，很少论及作图问题。

1.2 欧几里得作图工具及其作图范围

在古希腊数学中正确地理解直尺和圆规的用处很重要。使用直尺，我们能通过任何给定的不同两点作一条直线；使用圆规，我们能以给定点为圆心通过任何第二点作一个圆。由于欧几里得《几何原本》的前三个公设为：

（1）从任一点到任一点作直线（是可能的）。

（2）把有限直线不断沿直线延长（是可能的）。

（3）以任一点为中心和任一距离（为半径）作一圆（是可能的）。

限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成的那些作图，所以被这样限制下的直尺和圆规称为欧几里得工具。应该注意：直尺是没有标记的；欧几里得圆规与我们现代圆规不同。用现代的圆规，我们能够以任何点C为圆心，以任何线段AB为半径作圆。换句话说，我们能够用圆规作两脚规，把距离AB移到圆心C。而欧几里得圆规不管哪条脚离开纸便散了。有人可能认为，与欧几里得圆规（即易散的圆规）相比，现代圆规是较为得力的工具。其实，这两种圆规在有直尺的先决条件下是等价的。

《几何原本》卷一前三个命题为：

命题1，在一个给定的线段上作一个等边三角形。

命题2，由一个已知点（作为端点）作一线段等于已知线段。

命题3，已知两条不相等的线段，试由大的上面截取一条线段，使它等于另外一条。

这些命题用直尺和现代圆规来作，是轻而易举的，但用直尺和欧几里得圆规来作，则需要点技巧。如命题2：

设A是已知点，BC是已知线段，由点A （作为端点）作一线段等于已知线段BC。

由点A、B连成线段AB，在AB上作等边三角形DAB，延长DA、DB成直线AE、BF，以B为心，BC为距离画圆CGH，以D为圆心，以DG为半径画圆LKG。因为点B是圆CGH的心，故BC等于BG。且点D是圆LKG的圆心，故DL等于DG。

所以AL=DL-DA=DG-DB=BG=BC。AL即为所求。

该命题证明了欧几里得圆规与现代圆规是等价的。

希腊人为什么强调作图只能用尺规呢？可能有下列原因：

（1）和柏拉图的哲学思想有关。柏拉图非常重视数学，但只重视数学在训练智力方面的作用，完全忽略其实用价值。既然通过几何的学习能达到训练逻辑思维的目的，那么对作图工具就不能不有所限制了。正如体育竞赛要有种种器械的限制一样。在这里，我们又一次看到了哲学思想对数学的影响。

（2）欧几里得几何的基本精神是要从最少的基本假设（定义、公理、公设）出发，推导出尽可能多的命题，所以对作图工具也相应作了少到不能再少的要求。

（3）欧几里得平面几何的研究对象只限于直线和圆，有了这两种工具，图形已能作出，无需增加别的工具。

其实，最先明确地提出作图只能使用直尺和圆规的，当首推恩皮门德斯。以后经柏拉图的大力提倡，欧几里得又把它总结在《几何原本》之中，才成为古希腊几何学的金科玉律。

1.3 几何作图三大难题

由于尺规的限制，在古希腊数学史上产生了有名的几何作图三大难题：

（1）三等分任意角：将任意给定的角三等分。

（2）倍立方：作一个正方体，使其体积等于给定正方体体积的2倍。

（3）化圆为方：作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积。

今天我们知道：凡是能用尺规作出的图形，其对应的数都是可构成的数（即通过对已知数施行有限次的加、减、乘、除和开平方运算而得到的数）。三大难题所对应的数都不是可构成的数。经过二千多年的努力，至1637年，笛卡儿首先提出倍立方问题不可能用尺规作出。1837年，法国数学家万齐尔给出三等分任意角及倍立方尺规作图的不可能性证明。1882年，德国数学家林德曼最后证明了化圆为方也是不能用尺规作图解决的。1895年，德国数学家克莱因总结过去的研究，终于给出三大难题都不可能用尺规来作图的简单而明晰的证法。

请读者注意，如果允许直尺有其他用途，则作图的范围将有很大的扩展，阿基米德下述三等分角的作法，是一个很好的例证。

设给定一个任意角x，将角的底边向左延伸，以角x的顶点O为中心画一任意半径为r的半圆，在直尺的边缘上标出两点A及B，使得AB=r，将B点保持在半圆上，滑动直尺到这样的位置：A点位于角x的底边延长线上，同时直尺的边缘通过角x的终边与半圆的交点。沿这个位置的直尺画一直线，它与原来角x的底边延长线形成一角y，则。

1.4 正多边形的尺规作图

古希腊的几何学家在处理作图问题时，试图作出正多边形。他们很容易作出正三边形、正四边形和正六边形。但是作正五边形情况则大不相同了，这需要作出一个36°的角。因为这个角的2倍（即72°的角）是圆内接正五边形一边所对的圆心角，如果在一个等腰三角形中，底角等于一个顶角的2倍，那么它的底角是72°，顶角是36°，于是问题就转化为作一个这样的等腰三角形。

设AC平分底角OAB，这时OC=AC=AB, △ABC与△AOB是相似的，取OA=1，设AB=x，于是我们有

即，整理得x2+x-1=0

由此得，不难作出x。

如果一个线段OB被一点C分为两个线段，使，那么，古希腊人就说线段OB被黄金分割，并且称为黄金比。这个比在自然界及科学、艺术中处处会出现。

从正n边形我们可以得到正2n边形（n≥2），从正三角形可以得到正3×2n边形，从正五边形可以得到正5×2n边形。但是，希腊学者企图用直尺和圆规完成正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十四边形和正十七边形等的作图，却长期得不到解决。对于一个圆周，作如七等分或十七等分那样的分割，难道用尺规就不能作出来吗？

18世纪末，年仅18岁的德国人高斯第一个给出了用圆规和直尺作正十七边形的作法，即十七等分圆周的分割方法。而且他还指出了用尺规作正七边形是不可能的。高斯给出了古典割圆问题的全部解答：凡形如的素数P（n为非负整数）则用尺规可作P等分圆周，而且反过来也对，即若P为素数，且能够用尺规作P等分的话，则P必具有上述形式。

正十七边形正是n=2时，P=17的情形。但当P=7时，不存在非负整数n，使得恰为7，故7等分圆周不可能由尺规作出。到底形如的数何时为素数，这是数论中饶有趣味的问题，至今尚未解决。