1．“借腹生子”除法与“克隆”除法

在小学二年级，我们就学会了除法.除法比较麻烦，它与加法、减法、乘法的列式计算完全不同.本节介绍几种怪异的除法.

一、“借腹生子”除法与“克隆”除法

1．化为小数的非正常方法

算术中有一道光芒四射、诡异万分的“借腹生子”的怪题.众所周知，分数（n是一个与10互素的自然数）是数学里的一个“怪胎”.例如最平常的，就可以产生一个六位循环小数，它们就像元宵节的“走马灯”，转来转去绕圈子.

怎样计算呢？毫无疑问，当然是用1除以7，得.能不能

通过“非正常途径”来算出呢？能！就像一位代女怀胎、“出租子宫”、同时兼外祖母与母亲两职于一身的老妇一样，借腹生子.

方法是：起先两步，仍执行普通除法，就是拿1除以7，得到部分商14之后，出现余数2；这个时候，就不用7而改用5去除14，把此步所得到的商数2写在14的正下方，使2与4对齐，余数4与14的十位数1对齐；再下去，用42做被除数，除数仍为5，如法炮制.显然，这样的除法要比常规除法1÷7快得多，直至“一曲告终”，出现循环为止.详细步骤如下：

14 “走马灯”数的产生

42 通过“借腹生子”除法

28

35 合法母亲（正式除数）：7

07 代理母亲（代理分母）：5

21 出现循环，算到此结束

……

2．其他数的代理分母

在中代理分母是5，我们可以找到其他数的代理分母.

的代理分母是2，验证如下：

先算的前两位小数0.05，接下来用代理分母2仿以上的操作，算出

在中代理分母是4，先算出0.15，接下来用代理分母4除15，仿以上的操作，算出.在中代理分母是4，只不过要先算出的前三位小数0.025，接下来用代理分母4除25，仿以上的操作，算出.在中代理分母是3，只不过要先算出的前五位小数0.03448，接下来用代理分母3除8.在中代理分母是7，只不过要先算出的前九位小数0.043478260，接下来用代理分母7除60.再仿以上的操作，算出

正常分母与代理分母之间有何关系?代理分母从哪一位开始执行?本质的规律到底是什么?

3．“克隆”除法

时代在发展，社会在进步，过去的“遗传”问题发展成当代的“借腹生子”，而今天已进入了“克隆”时代.我们的除法能否像绵羊自身“生出”克隆绵羊一样，由商来决定商呢?这种“技术”在数学上早已存在，我们就叫它“克隆”除法吧!

为了明晰这种新除法，我们以为例进行计算（表1中第三列）的“克隆”除法的操作步骤是：先用0.1除以2，商0.05，余0；这时，将最后的商数5复制到余数0之后为05，再用05除以2，商2余1；再将商数2复制到余数1后为12，继续用2除，直到出现循环为止.

“克隆”除法即带有时间延迟，把商数作为“遗传因子”，传给“下一代”的“革命性”的除法.它与“借腹生子”除法一样，其速度是传统除法所望尘莫及的，而且还不容易出错.“克隆”除法的本质是什么呢?这种除法有没有普遍性?

二、问题探幽

1．代理分母的求法

的代理分母是5，的代理分母是4，的代理分母是3.实际上，正常分母和代理分母之间的关系跟循环节的末位数有关（循环节的末位数乘以分母所得积的个位数必为9），的循环节末位数是7，的循环节末位数是1，的循环节末位数是1，那么我们可以发现：

（7×7+1）÷10=5

（39×1+1）÷10=4

（29×1+1）÷10=3

5即为7的代理分母，4即为39的代理分母……所以当正常分母为n时（这里先设n与2，5互质，否则为混循环小数），设的循环节末位数是m，那么的代理分母为，即10 s=mn+1.

2．代理分母何时上岗

在“借腹生子”除法中，正常除法除到哪一位开始用代理分母？其实我们可以从循环节末位数开始，如的循环节末位数是7，代理分母是5.7除以5商1余2，21除以5商4余1，…，一直下去直到循环（表2第一列）.在中循环节末位数是3，代理分母是7，3除以7商0余3，30除以7商4余2，…，一直下去直到循环（表2第二列）.

的“克隆”除法中0.1的来源：循环节末位前加小数点，然后用代理分母2作“克隆”除法.当然，在中，应该是“0.3除以7”的“克隆”除法了（循环节末位数为3，代理分母为7）.

由此可知,“借腹生子”除法与“克隆”除法具有普遍性.

3．本质探究

在中，循环节末位数为3（循环节末位数和分母23的乘积的个位数必为9），代理分母为（23×3+1）÷10=7.假如代理分母的除法从循环节末位数3开始，那么按照正常分母的除法，此时余数为1，即从10开始除以23.下面比较一下用正常分母和代理分母的除法的异同：

依此类推，我们发现左右两边的商都对应相等，即对于从循环节末位数开始做代理分母的除法是可行的.此外，我们还能发现：（左边被除数×3）/10=右边的被除数，即左右两边的被除数之比为10∶3.

下面我们证明：对于任意与2，5互质的n，都能通过代理分母的除法得到.

设的循环节末位数是m，代理分母为，那么10 s=mn+1.代理分母的除法从循环节末位数m开始除以n，此时按照正常分母的除法，余数为1，即从10开始.两个被除数之比为10∶m，那么此时设：10 k=n×t1 +r1 ，mk=s×t2 +r2 ，0≤r1 ＜n，0≤r2 ＜s，k∈{1，2，3，…，n-1}.

首先证明t1=t2：

当为整数时，，又因为，所以；

当不为整数时，因为m，k，s都为自然数，所以，又因为，所以，故，即

综上所述，t1 =t2得证，即当两种除法的被除数之比是10∶m时，商相等.

现设t=t1=t2，则有10k=n×t+r1，mk=s×t+r2，下面我们观察一下两种除法下一步的被除数之间的关系：

第一种：按照正常分母的除法，余数为r1，所以下一步的被除数为10r1；

第二种：利用代理分母做除法，商为t，余数为r2，所以下一步的被除数为10r2+t.

∵10k=n×t+r1,mk=s×t+r2

∴(mn-10s)t+mr1-10r2=0

∴10r2+t=mr1

即在第二种除法中，下一步的被除数为mr1，此时两种除法的被除数的比仍然是10∶m，故商依然相等，且再下一步的被除数也会满足10∶m的关系，依此类推，两种除法中每一步的商都相等，且被除数都满足10∶m的关系，所以代理分母的除法是可行的！

（n为与2，5互质的正整数）的问题已经解决了，那么把分子换成p（1＜p＜n，p∈N）又如何解决呢？

的求法跟类似，设的循环节末位数为m，代理分母为，此时只要从mp开始做代理分母的运算即可.

最后我们来看（n含有质因子2或5）的情况：

首先设n=2α×5β×n1（α,β∈N,n1与2,5互质），则

（1）当α＞β时，，此时由于n1与2，5互质，可以用上述代理分母的除法算出来，然后小数点向左移动α位即可.

（2）当α＜β或α=β时，方法同(1).

随着（n含有质因子2或5）的情况的解决，对于任意m，n∈N，都能用代理分母的除法得出.

三、新的问题

除了上面介绍的两种除法外，还有一些更特殊的除法，请看下面的问题：

87是一个合数：87=3×29.怎样求出87的倒数的小数呢?用传统除法求出部分商0.01149425时，余数为25.25=52 ，将5换成2，得到22 =4.4便是的代理分母！

下面我们可以丢掉合法分母而随心所欲.先在纸上记下原先除得的前三位小数011，至于后面的五个数字，形成一个直角拐弯，如图1所示.

下一步是用11做被除数，4做除数，很明显，11÷4得到商数2，余数3.仍把商数记在5的下面，而把余数3记在第二排数字4的左边，这时，就演变成图2的模式.

将上述步骤反复执行下去：34÷4得到商数8，余数2，将8沿竖线写在2的下面，将2写在34下面的9的左边，第三排得到29；29÷4得到商数7，余数1，将7沿着竖线写在8的下面，将1写在29下面的4的左边，第四排得到14……这样，就可以把的循环节一股脑儿都求出来，，一共28位.你能说出其中的奥妙吗？

思考

你还有其他计算除法的方法吗?