1.3　计算机中信息的编码

1.3.1　计算机中常用的数制及其转换

计算机是采用数制来存储或表示数据的。数制，即进位计数制，是人们利用数字符号按进位原则进行数据大小计算的方法。通常是以十进制来进行计算的。另外，还有二进制、八进制和十六进制等。

人类在日常生活中常用十进制来表述事物的量，即逢10进1，实际上这并非天经地义，只不过是人们的习惯而已，生活中也常常遇到其他进制，如六十进制：（每分钟为60秒，每小时60分钟，即逢60进1，十二进制，（计量单位“一打”）等。

在计算机领域，最常用到的是二进制，这是因为计算机是由千千万万个电子元件（如电容器、电感器、晶体管等）组成，这些电子元件一般都是只有两种稳定的工作状态（如晶体管的截止和导通），用高、低两个电位表示“1”和“0”在物理上是最容易实现。

二进制的书写一般比较长，而且容易出错。因此除了二进制外，为了便于书写，计算机中还常常用到八进制和十六进制。一般用户与计算机打交道并不直接使用二进制数，而是十进制数（或八进制、十六进制数），然后由计算机自动转换为二进制数。但对于使用计算机的人员来说，了解不同进制数的特点及它们之间的转换是必要的。

1.进位计数制

（1）计数符号

每一种进制都有固定数目的计数符号。

十进制：有10个记数符号，0、1、2、…、9，逢十进一。

二进制：有2个记数符号，0和1，逢二进一。

八进制：有8个记数符号，0、1、2、…、7，逢八进一。

十六进制：有16个记数符号，0～9，以及A～F，其中A～F分别对应十进制的10～15，逢十六进一。

（2）权值

在任何进制中，一个数的每个位置都有一个权值。比如十进制数34958的值为：

（34958）10=3×104+4×103+9×102+5×101+8×100。

从右向左，每一位对应的权值分别为100，101，102，103，104。

不同的进制由于其进位的基数不同，其权值也是不同的。比如二进制数100101，其值应为：

（100101）2=1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20。

从右向左，每个位对应的权值分别为20，21，22，23，24，25。

2.不同数制的相互转换

（1）二、八、十六进制数转换为十进制数

按权展开求和，即将每位数码乘以各自的权值并累加。

例1-1：（1001.1）2=1×23+0×22+0×21+1×20+1×2-1

=8+1+0.5

=（9.5）10

（345.73）8=3×82+4×81+5×80+7×8-1+3×8-2

=192+32+5+0.875+0.046875

=（229.921875）10

（A3B.E5）16=10×162+3×16'+11×160+14×16-1+5×16-2

=2560+48+11+0.875+0.01953125

=（2619.89453125）10

（2）十进制数转换为二、八、十六进制数

整数部分和小数部分须分别遵守不同的转换规则。假设将十进制数转换为R进制数：

整数部分：除以R取余法，即整数部分不断除以R取余数，直到商为0为止，最先得到的余数为最低位，最后得到的余数为最高位。

小数部分：乘R取整法，即小数部分不断乘以R取整数，直到积为0或达到有效精度为止，最先得到的整数为最高位（最靠近小数点），最后得到的整数为最低位。

例1-2：将（75.453）10转换成二进制数（取4位小数）。

得（75.453）10=（1001011.0111）2

例1-3：将（152.32）10转换成八进制数（取3位小数）。

得（152.32）10=（230.243）8

例1-4：将（237.45）10转换成十六进制数（取3位小数）。

得（237.45）10=（ED.733）16

（3）二进制数转换为八、十六进制数

因为23=8，24=16，所以3位二进制数对应1位八进制数，4位二进制数对应1位十六进制数。二进制数转换为八、十六进制数比转换为十进制数容易得多，因此常用八、十六进制数来表示二进制数。表1-1列出了它们之间的对应关系。

将二进制数以小数点为中心分别向两边分组，转换成八（或十六）进制数，每3（或4）位为一组，不够位数在两边加0补足，然后将每组二进制数化成八（或十六）进制数即可。

例1-5：将二进制数1001101101.11001分别转换为八、十六进制数。

（4）八、十六进制转换为二进制

将每位八（或十六）进制数展开为3（或4）位二进制数，不够位数在左边加0补足。

注意：整数前的高位零和小数后的低位零可以取消。