2.4 离散数学与离散主义

2.4.1 离散数学

离散数学(discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，离散数学是数学几个分支的总称，研究基于离散空间而不是连续的数学结构。更一般地，离散数学被视为处理可数集合(与整数子集基数相同的集合，包括有理数集但不包括整数集)的数学分支。与光滑变化的实数不同，离散数学的研究对象——例如整数、图和数学逻辑中的命题——不是光滑变化的，而是拥有不等、分立的值。

离散数学中的对象集合可以是有限或者是无限的。特别地，有限数学一词通常指代离散数学处理有限集合的那些部分，特别是在与商业相关的领域。包括基本的概率论、线性规划、矩阵和行列式的理论。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学等必不可少的科研基础。

第二次世界大战时盟军破解纳粹德军密码的需要，带动了密码学和理论计算机科学的发展。英国的布莱切利园因而发明出第一部数字电子计算器——巨像计算机。与此同时，军事上的需求亦带动了运筹学的发展。直至冷战时期，密码学的地位依然重要，其后的几十年间更发展出如公开密钥加密等根本性的长进。随着20世纪50年代关键路径方法的创立，运筹学则于商业和项目管理上愈趋重要。电讯工业的出现亦助长了离散数学，特别是图论和信息论上的发展。数理逻辑上叙述的形式验证至今已经成为安全关键系统的软件开发中必不可少的一环，自动定理证明的技术也因此而提高。

离散数学在国外早已成为十分重要的学科，如IBM、AT&T都有全世界最强的离散数学研究中心。美国政府成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS(与普林斯顿大学、罗格斯大学、AT&T 联合创办的，设在罗格斯大学)，该中心已是离散数学及理论计算机科学的重要研究阵地。Thomson Science公司创刊的一份电子刊物《离散数学和理论计算机科学》即是一个很好的说明。它的内容涉及离散数学和计算机科学的众多方面。微软的比尔·盖茨近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，贝尔实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价值，显然是没有对外公开的。

总的来说，离散数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他学科中同样有着重要的应用。微积分和近代数学的发展为近代工业革命奠定了基础，离散数学的发展则奠定了计算机与信息科学革命的基础。离散数学在当代经济领域更是有着极其广泛的应用，在企业管理、交通规划、战争指挥、金融分析等方面都有重要应用。

计算机只能处理有限数和有限个数，无论什么问题都必须离散化后才能在计算机上进行数值计算，所以离散数学显得日益重要。离散数学包括传统的数理逻辑、集合论、信息论、数论、组合数学、图论、抽象代数、理论计算机科学、拓扑学、运筹学、博弈论、关系理论等。

2.4.2 离散主义思想

“离散”是“连续”的否定，即“不连续”；“连续”则是指事物、数量的一种属性，这种属性使它们容易被分割或结合，并且不会因此而丧失它们原有的本性。“离散”与“连续”是数量关系中一对极为深刻的矛盾，二者互相对立，也互相补充。它们之间的对立与统一是数学发展的重要动力之一。项链是连续的，珍珠则是离散的。同样，人的行动路线是连续的，但是跨出去的每一步却又是离散的。

离散主义思想，就是把连续性的生活分成有意义的独立个体。根据上面的比喻，生活的每一个方面都在追求一个又一个目标。每个人通过把出发点、过程中的关键节点、最终的目标联系在一起，形成不同的路线，达到最初的理想。路线，一般是连续的光滑的。而事实上，路径是要一步一步去完成的，每次迈出的步伐，都是单独的、独立的，是一个又一个有意义的个体。或者比喻为项链：穿过各个珍珠、把大家串联在一起的，是中间的绳子，绳子是连续的、光滑的；串在绳子上的珍珠，是个体的、独立的、不连续的、有限的，也是有意义的。

具体到商业模式，如果说传统的商业支付是要跑到银行网点、带上银联卡、填写单据等等手续，而今却是在个体化的手机客户端实现了转账支付的功能，这就是把银行的柜台离散化为手机终端。

过去，需要到大型超市去集中购买商品，现在在淘宝网上就可以购买：一个年销售额达到1万亿元的巨大商业超市，它的表现形式不再是沃尔玛那样的大型的、整体的、统一的商场，而变为单体的、电子化、数字化的电脑显示终端，这就是离散化。

过去，我们需要到火车站买票订票，现在直接在网络实现、在终端机上自主打印，这也是离散化。即便在婚庆领域，过去需要去相亲或者参加集体活动，照片印刷好之后带在身上或者邮寄给意中人，现在则完全把相片变成数字组合，通过网络一次可以群发给无限多的人。这里的照片从无限分辨率的连续的胶片变为数字的、离散的、数码格式；邮寄形式从具体的、实在的邮局变成通过电子信箱以比特(byte)形式传播，就是生活离散化的典型表现。

因此，离散主义思想的本身，就是把生活合理地“分割”或“碎片化”，把对“整体”的连续性研究转化为对“个体”的离散化研究。离散主义就是对整体的解构，从而展示为独立的个体，然后通过汇总个体达到对整体的把握。

定义2.3 离散主义(discretism)就是基于离散的角度解构、表达与重构社会经济结构，在现实与虚拟的离散空间中，分析其社会经济要素相互关系的方法论。

随着信息科技的飞速发展，离散数学在日常经济生活中的重要性则日益彰显。我们行业和世界的数据量正在爆炸，不仅需要存储和管理庞大的数据量(“大数据”)，同时可以通过对离散的社会信息进行分析和价值提取。

现代经济下数据成本与数据处理手段已处于核心地位，而这是当今“大数据”时代的最大要素(McAfee and Brynjolfsson，2012)。随着大数据、全样本时代的到来，边际学派连续函数的基本要求与当前经济离散化的特点还需要进一步地统一；而且，当今时代“网络因素”已经成为非常重要的社会经济交往模式，给人类思想、行为和社会结构带来的巨大影响。

在这场具有革命性意义的大数据时代(Kirkpatrick，2013)，经济社会直接或间接表现为离散化了的数量关系，经济学面临着如何建立离散结构的经济模型的问题，又面临着如何将传统数学模型离散化的问题。工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位的经济学范式应该并正在发生变化，离散主义思想的重要性需要被充分认知。

2.4.3 离散经济与离散方法

在古典经济学之前，普遍以离散化的分析为基础，社会生活以离散化的方式呈现出来，与现实社会当中离散化的真实世界不断地逼近。而在后古典经济学下，现代经济社会则以离散化解构和全息化重构为目标，使实际观察到的大多连续性属性数据，在现代经济中最初的离散属性又一次显露出来。

在现代的信息处理技术中，对事物的描述，对交易活动和交易关系的表达既有一定的定性说明，也有一定数据性的表达，这种数据性贯穿着层次性。同时，伴随着一定程度的无序性。离散化解构和全息化重构所依托的数据，其属性以两种类型为主：一个是连续性属性，对应着的是定量性的分析，表达着对事物或行为活动的可测属性的描述，这种描述通过一定的连续区间数据来表述，犹如度量衡似的，表述事物的自然属性，同时，也有一定的社会属性；另一个是离散性属性，对应着的是定性的分析，这种描述是以语言和离散数值来表述的，好比人的性别，天气的阴晴。

传统的古典经济学分析以离散为主，从古典经济学开始到现代，在经济事务的分析过程中，经济表述中以连续性分析为主。从而，现在行业的数据分析，既有连续属性，又含有离散属性。

在处理技术上来说，经济学中常用的统计分析方法，主要是针对这些数据中占绝大多数的连续性数据。而大数据经济学从现实从发，利用离散化分析解构现实经济，发掘其中的数据关联，提取有价值的数据，从整体上进行重构。

定义2.4 离散经济(discrete economics)就是从离散化的“个体”出发，研究新经济下以大数据为中心、网络为渠道、平台为载体的产业间的数据模式、信息结构、价值关联的规律，产业内组织结构离散化、空间区域分布无界化的规律，以及研究这些规律的基本方法论。

离散主义方法论主要表现在以下几个方面：

(1)经济社会的解构：基于离散的视角，表达或解释客观世界，即物质世界或客观世界的性质与形态离散式表达；

(2)对经济社会解构之后的基本要素信息的获取与传递，包括对客观世界映射的手段网络化、数字化；

(3)基于价值关联的要素解读与要素重组，包括数字化处理与大数据重构；

(4)研究对象、手段、方法具有离散性，同时结合连续性思维模式或连续性函数建模方式。

这种数字化、离散化解构包含四种：一是对供求关系以及商品的数字化表达；二是对社会或商业空间的数字化表达；三是对信息不对称的数字化表达；四是对社会关系的网格化表达。

信息到数据的解构，数据到信息的重组。从依托信息和数据进行经济和社会的推理决策，使得信息不对称的成本降低，商业交易活动的内容丰富，交易的频率不断上升。整体的生产力借助信息渠道的通畅不断提高，社会生产关系形成网络化的形态。

生产力和生产关系超越了理性范畴，也超出了人们以往的经验范畴，进一步导致底层、浅层次欲望的泛滥和人格释放，带来了社会异化的新动向。在数据化的社会异化过程中，数据被应用于系统，运用于决策过程中。

因此，后古典经济学中注重的连续属性的数据被不断离散化，是一种多维度全方位的全息化离散表述过程。而且连续属性离散化使得连续属性取值范围或取值区间划分为若干个数目不太多的小区间，其中每个小区间对应着一个离散的符号。

离散化步骤反映了我们看待客观世界的精确程度。实践证明适当的属性离散化随着属性数目的增长而呈指数增长，这种指数增长的数据为现代经济的全息化重构提供着源泉。

更重要的是，对事物、行为等定性概念般的描述，也可以通过一定的标识逐渐地使模糊性不断地显化出来，这样定性描述在一定的路径上不断向精确的数据表达靠近并收敛。而所谓的精确数据定量表达，由于信息噪声的存在，其精确性中的正确性也需要一定的判断。从而，定性分析和定量分析在大数据时代都向数字化解析，向精确和准确靠近。

伴随学术研究的进行，针对连续属性的数据进行离散化的方法得以不断的实践和完善，现有的这些研究领域的总结认为，连续属性离散化主要有三种不同的方式：第一种是以有无监督为标准，划分为有监督的离散化和无监督的离散化；第二种是以是否以全局为标准，划分为全局离散化与局部离散化；第三种是以静态和动态为标准，划分为静态离散化与动态离散化。

其中，无监督离散化过程划分一个连续变量时，仅考虑这个属性数据的分布特性，而有监督的离散化过程，除此之外还需要考虑每一个对象的分类信息。常用的无监督的离散化过程包括：(1)等宽区间法；(2)等频区间法；(3)串分析方法。有监督的离散化是为了使被离散化属性与分类属性之间的某种关系测度最大化；无监督的离散化算法运行速度快。有监督的离散化算法由于考虑了分类标识，因而可产生精度较高的离散树。

全局离散化是指在同一时刻对决策表中全部连续条件属性的属性值进行划分的方法，而局部离散化则是指在同一时刻仅对一个连续属性的属性值进行划分的方法。全局离散化在全部连续属性的离散化过程中只能产生一组离散划分值，而局部离散化针对同一个连续属性都可产生不同种划分。对于全局离散方法主要有以下几种策略：归并方法和划分方法，其中划分法又分为动态型和静态型。

动态划分主要与决策树有关，它是一边生成决策树，一边进行连续值区间的划分；静态划分方法又称为预处理型，即在数据集合、信息化重构之前就把连续属性预先都离散化了，从而在重构中，利用数据解决信息不对称，从根本上改变着产业链上的各个节点以及全局的交易成本，从商业的空间整体上大大提高交易效率。

静态离散化方法如捆绑法和基于熵的方法都是针对不同的属性可产生不同个数的离散化间隔数，而动态离散化方法则是在所有属性上仅可产生同一个离散间隔数。目前文献记载的离散化方法均属于静态离散化方法，动态离散化是学者正在研究的目标。

2.4.4 基于离散主义的应用经济学

1.网络经济学

现代经济的物质基础是信息与网络技术的高速发展，包括互联网、物联网、物流网、社交网、信息网、规则网络。这种新的经济形态被称为网络经济，它的出现是现代经济离散化解构的重要前提。

网络经济学就是研究网络本身的经济效应与经济价值，并研究网络如何影响传统经济运行规律与规则的学科。网络经济学是现代经济学的理论前沿，也是本书提出的后古典经济学的重要组成部分。通过网络的纵横交错组织，将整个人类社会经济切割为各个网格，并依据网格节点的信息采集与交换功能，汇总大量数据。

对网络可以从狭义和广义两个方面来理解。从狭义的角度看来，专门指信息网络，包括互联网、电视网、物联网等等，是以信息和计算机网络为核心、以通信技术为基础的产业。从广义方面来看，网络指各种具有物质与信息通道特点的所有网状经济现象，比如铁路网(人与物质的通道)、电力网(能量通道)、关系网(人际交流通道)。

网络往往跨越国界，超出国家的范围，比如互联网，或者航空运输网。网络经济学涉及对网络外部性和锁定效应的分析，而这也正好是平台经济学的基本理论之一。因为网络外部性允许在同质的网络或平台上，以更低的成本去访问网络中或平台上的其他成员。所谓锁定效应，是指由于网络或平台参与主体的有限理性和未来不确定性，网络或平台参与主体局限或锁定在原来技术网络中或平台上。

2.大数据经济学

大数据经济学是研究社会离散化之后的数据化表达方式、表达手段，以及离散化之后的数据关联，并研究数据对传统经济影响的新经济学科。

数据可以突破传统市场经济下的信息壁垒，市场架构(或新的信息不对称)将建立在数据架构基础上。结果导致成本的核心变成获取与处理数据，包括硬件以及数据服务(数据存储、传输、安全等)。数据处理成本将成为企业成本主要部分，具有重要的调节功能。

离散主义思想强调经济社会从过去的形象化的模拟表达方式，转变为当今数字时代的离散表达方式；经济与社会空间进行离散化表达后，形成可以重构的离散空间；在离散空间中，经济社会的信息壁垒以大数据的形式转换为数据壁垒与数据不对称；大数据之间的价值关联，形成了新经济的主要增长点。

3.平台经济学

现实生活中有很多平台产业化的例子，典型的是操作系统平台，如Windows视窗操作系统、安卓手机操作系统、Mackintosh苹果操作系统、Unix服务器系统等。平台作为离散化世界中的重要的经济与产业发展形态，表现为类似苹果公司、Facebook(脸谱)、腾讯科技、百度搜索，乃至最新涌现的菜鸟网络和国家新近推出的智慧城市与上海自贸区经济平台等形态。

平台的出现，对传统机械社会经济商业模式分析理论的解释能力带来巨大挑战。在这种创新型经济形态发展中，产生了一大批原有自发市场经济形态难以解释的经济现象，这些有趣的经济现象，以及对其形成原因和背后规律的不断追问，构成了我们将平台经济作为一门独立的产业经济学科产生的基本动因。

平台是经济离散化解构之后的重构方式。马登(Madden，2012)分析了大数据发展趋势的缘起，并重点强调大数据和平台之间的关系。平台是离散化的社会经济数据，根据共同的关联价值，连接在一起而形成的现实或虚拟空间，该空间可以导致或促成双方或多方交易。

平台经济学，就是研究平台之间的竞争或垄断情况，强调市场结构的作用，通过交易成本和合约理论，分析不同类型平台的发展模式和竞争机制，并提出相应政策的新经济学科。