第四章　正态分布和极限定理

第一节　什么是正态分布

第二章谈到，为了全面了解变量，必须研究它的分布。分布的图形是多种多样的，有单峰、双峰、对称、非对称、偏态、U形、J形等等。但在自然、经济、社会等领域内，如人的身高、体重、一片森林的高度、学生成绩、人的智商、测量的误差、甚至公共入口门槛的磨损、海浪的高度等等随机变量，都服从一类确定的分布规律，这类分布规律叫做正态分布。这种分布除了在自然界、社会经济生活中大量存在外，还由于任何变量，不管其原有分布如何，如果把它们n个加在一起，当n大于一定数之后，例如大于30（n＞30），那么，其和的分布必然接近正态分布。这就是有名的中心极限定理。它在抽样、统计推论中都占有很重要的位置。因此，可以说，在各种分布中，正态分布居于首要的地位。

正态分布（又称常态分布或高斯分布），是最初由德国数学家高斯在研究误差理论时发现的。现在通过实例来阐述导出正态分布的思想和方法，这是很有启发性的。

[例]1.以下是100人初婚年龄的统计。根据统计分为七个区间，如表4-1所示。

表　4-1

根据表中数据，它的频率直方图，如图4-1所示。

图中横轴为变量x，纵轴为频率密度=频率/组距。由于年龄是连续型的变量，我们可以把区间越分越细，不是用两岁作为一个区间，而是用一岁，半岁……甚至更小到无穷小，作为一个区间，于是直方图宽度越变越细，最终只剩下了中心值形成的线段，现在把这些紧挨着的中心值连接起来，就成了一条平滑的曲线，它称作为正态分布的密度曲线，可见，分布密度曲线φ（x）实际上就是频率直方图的极限分布或理论分布。

分布密度曲线也可称作概率密度曲线，因为分布密度下任意两点x1-x2之间的面积，从直方图来说，就是变量x在取值区间x1-x2的频率，区间的频率越高，人们从总体中抽取到该区间的可能性越大，而可能性大小是用概率来度量的，因此，对于平滑了的分布密度曲线，我们把频率引申为概率P，纵轴的单位把频率密度引申为概率密度。（频率和概率的关系，在本章后面的大数定理中，还会进一步说明。）把分布密度曲线称为概率密度曲线。而概率的概念对抽样调查更为重要。

从图（4-1）上可以看到，这条分布密度曲线φ（x）具有对称起伏的形状，形成“钟形”曲线。它具有如下三个特征。

1.一个高峰：曲线是单峰，有一个最高点。

当x向左或向右远离时，曲线不断地降低。“中间高，两边低”与一个尖塔或古钟相似。

2.一个对称轴。曲线在高峰处有一个对称轴，在轴的左右两边是对称的。对称轴是直线x=μ。

3.一个渐近线。曲线无论向左或向右延伸，都愈来愈接近横轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐近线。

由于正态分布曲线是单峰、对称的。因此具有这种分布的变量，它的众值、中位值和均值三者必然是重叠的。

根据实践的经验和理论的分析，正态分布的分布密度（概率密度）表达式（4-1）为：

其中π=3.14，e=2.72。

从正态分布的数学表达式，可以看出，当μ和σ确定后，正态曲线的图形也就唯一地被确定了。μ和σ称作正态分布曲线的两个参数。

下面分别讨论这两个参数对曲线形状的影响。

1.φ（x）在x=μ处达到峰值，在x=μ±σ处有拐点，且以直线x=μ为对称轴（图4-2）。

因此，在σ2一定的情况下，若μ增大，则图形右移，反之μ减小，则图形左移，但整个图形形状不变（图4-3）。

其中μ3＞μ2＞μ1｡

2.改变σ2值：当μ不变的情况下，σ越小，则对应的图形越尖瘦。图4-4给出了σ=2，σ=1，σ=0.5三种正态分布密度曲线。

综合图4-3和图4-4，说明正态分布曲线的位置，是由μ决定的。而正态分布曲线的形状“高、矮、胖、瘦”的特点，则是由σ所决定。

那么，参数μ和σ代表的意义是什么呢？实际上，通过积分，可以发现，μ和σ不是别的，μ正是正态分布曲线的均值，σ正是正态分布曲线的标准差。由于分布对应的是变量的总体描述，所以正态分布的μ和σ，是正态分布的总体均值和总体标准差。

以上μ和σ对图形影响的讨论，也正好反映了均值和标准差对分布影响的一般特征。

三、正态曲线下的面积

为了形象地理解正态曲线下面积所代表的含义，我们把正态曲线看做是一种极限的直方图。它的组距甚小，以至于中心值顶点的连线已是一条平滑的曲线。而正态曲线下的面积，实际就是由这无数个小直方形拼接而成的（图4-5）。

每一小块面积根据直方图的定义，代表的是随机变量ξ在该小块取值Δxi所出现的概率，或者说代表了总体中随机变量ξ在该小块取值Δxi的概率｡

因此任意两点x1-x2曲线下的概率，就是把从x1到x2点所有这些小块面积加起来：

当然Δxi要非常之小，小到Δxi￫0，只有这样才能正确算出正态曲线下任意两点x1-x2间的面积，一般它要通过积分才能算出，这里给出正态分布几个典型取值间的面积或概率值：

1.变量取值在区间[μ-σ，μ+σ]之间的概率（图4-6）：

P（μ-σ≤ξ≤μ+σ）=0.6827

图4-6表明，变量取值在范围[μ-σ，μ+σ]之间的概率为0.6827，其中μ、σ正如正态曲线的数学式（4-1）所表达的：μ代表总体的均值；σ代表总体的标准差。

2.变量取值在区间[μ-2σ，μ+2σ]之间的概率（图4-7）：

P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）=0.9545

图4-7表明，变量取值在[μ-2σ，μ+2σ]之间的概率为0.9545。

3.变量取值在区间[μ-3σ，μ+3σ]之间的概率（图4-8）：

P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）=0.9973

图4-8表明，变量取值在[μ-3σ，μ+3σ]之间的概率为0.9973。

根据正态分布图形的对称性，如果用σ作为取值的组距，那么，围绕着μ，各σ所代表的概率将如图4-9所示[6]。