1-3 旋转

以上是一系列比较复杂的命题中的第一个命题，这些命题与物理定律的对称性有关。下一个命题说，无论我们将坐标轴指向何方都不会引起差异。换句话说，假如我们在某个地方建造了一台设备，并观察它运转，又在附近建造一台同类型的设备，但是摆放的方位转过一个角度，它会以相同的方式运转吗？显然不会，比如一个有摆的落地大座钟就是例子！如果把一个摆钟竖直放置，它就会走得很好，但是如果把它斜着放置，摆锤就会碰到钟罩的壁，钟就停下来了。于是，对于一个摆钟，上面的法则就不灵了，除非我们把吸引着钟摆的地球也算进去。因此，假如我们相信，对旋转来说物理定律是对称的，就能够对摆钟做出如下预言：除了摆钟的机械部件之外，在它的运转中还包含着一些别的因素，一些我们应该去寻找的外在的因素。我们还可以预言，相对于这个神秘的不对称之源（也许就是地球），当摆钟被放置在不同的地点时，它将不会以相同的方式运转。确实如此，比如说，我们知道，一个放在人造卫星上的摆钟根本就不走，原因就是没有对它起作用的力，而在火星上，摆钟将以不同的速率运转。除了单纯的机械部件之外，摆钟里边确实包含某些别的东西，一些外在的东西。一旦认识到这个因素，我们就会明白，必须让地球随同机件一起转动。当然，我们无须为此担心，这是很容易做到的；只要等上那么一会儿，地球就会转过去；于是，摆钟在新的位置上就会像先前那样重新运转起来。当我们在空间中旋转时，转角必定是在不断变化的；这种变化似乎并没有给我们带来太多的麻烦，因为，在新的位置上，我们似乎处于与老地方相同的条件下。这很可能会令人迷惑不解，原因在于，物理定律在转动后的新位置上与在未经转动的位置上确实是相同的，但是，当我们转动一个物体时，说它遵从的定律与不去转动这个物体时它遵从的定律相同，这就不对了。假如我们做足够精密的实验，就能够断定，地球正在转动，但却不能说出它转过多少。换句话说，我们不能确定它的方位，但是能够断定它的方位在改变。

现在，我们可以来讨论角取向对物理定律的影响。让我们再来看一看，乔和莫两人玩的把戏是否能够重演。这一次，为了避免不必要的麻烦，我们将假定乔和莫采用同一个原点（我们已经证明过，坐标轴可以通过平移被移至别的地方）。假设莫的轴相对于乔的轴转过了一个角度θ。这两个坐标系如图1-2所示，只限于两维的情况。考虑任意一点P，在乔的坐标系中，它的坐标是（x, y），而在莫的坐标系中，它的坐标是（x′, y′）。和前面的例子一样，我们将这样开始：用x, y和θ来表示坐标x′和y′。为了这样做，我们先从P点向四根坐标轴各画一条垂线，并画出垂直于PQ的线AB。看一看这张图就可以看出，x′可以写成沿着x′轴的两段长度之和，而y′则可以写成沿着AB线上的两段长度之差。所有这些长度都用x, y和θ表示出来，如方程（1.5）所示，其中已经加上了一个第三维的方程。

下一步是，使用与前述相同的一般方法分析两个观测者所看到的那些力之间的关系。假设有一个力，（在乔看来）具有分量Fx和Fy，它正作用在一个质量为m，位于图1-2中P点的粒子上。为了简单起见，我们将两套坐标轴的原点移到P点，如图1-3所示。莫看到F沿着他的坐标轴的分量是和。Fx具有沿着x′轴和y′轴的分量，而Fy也同样具有沿着这两根轴的分量。为了用Fx和Fy表示，我们把它们沿着x′轴的这些分量加起来，利用同样的方法我们能够用Fx和Fy表示。所得到的结果是

有趣的是看到一个出人意料的，然而却极其重要的情况：分别表示P的坐标和F的分量的公式（1.5）和（1.6）具有相同的形式。

和前面一样，假设牛顿定律在乔的坐标系中成立，并由方程（1.1）表示。问题仍然是，莫是否能够应用牛顿定律——对于他那个坐标轴已被转动过的坐标系，所得到的结果还对吗？换句话说，如果我们假定方程（1.5）和（1.6）给出测量结果之间的关系，以下方程

对还是不对呢？为了检验这些方程，我们分别推算方程的左边和右边，并将推算的结果进行比较。为了推算方程的左边，用m乘方程（1.5），并对时间求两次导数，在推算中假定角度θ是常数。这个运算给出

将方程（1.1）代入方程（1.6）就可以推算方程（1.7）的右边。这个运算给出

看到了吧！方程（1.8）和（1.9）的右边相等，我们因此推断，假如牛顿定律在一个坐标系中是对的，那么，它们在任何别的坐标系中也是对的。到目前为止，这个结果已经在坐标轴的平移和旋转操作下得以确立，由此得出一些推论：首先，没有人能够宣称他自己的坐标系是独一无二的，不过当然啦，它们对解决某些特定的问题会更加方便。比如说，把引力的方向选做某根轴的方向是方便的，但在物理上这并不是必需的。其次，这个结果意味着，任何一套设备，如果它是完整的，即所有产生力的装置全部安装在里面，那么，当转过一个角度时，它的运转方式不变。