1-5 矢量代数

我们必须说一下用各种方法将矢量组合起来所要遵循的法则或者规则。第一个这样的组合是两个矢量之和：设a是一个矢量，它在某个特定的坐标系中具有三个分量（ax, ay, az），而b则是另一个矢量，它具有三个分量（bx, by, bz）。我们来造三个新的数（ax+bx, ay+by, az+bz）。这些数构成一个矢量吗？“唔，”人们也许会说，“它们是三个数，而每三个数就构成一个矢量。”错啦，并不是每三个数都构成一个矢量！为了使它成为一个矢量，不仅需要有三个数，而且这三个数还必须以这样一种方式与坐标系相关联，即当我们转动坐标系时，这三个数会按照我们已经叙述过的确切的规律相互之间“循环出现”，变成彼此“混合在一起”。这样，问题就是，如果我们转动坐标系使（ax, ay, az）变成，而（bx, by, bz）则变成，那么，（ax+bx, ay+by, az+bz）会变成什么呢？它们会不会变成呢？答案当然是肯定的，因为原型变换式（1.5）构成一个所谓的线性变换。假如我们把这些变换用到ax和bx上得到，就会发现，变换后的ax+bx确实与相同。当a和b在这种意义下被“加起来”时，它们将构成一个矢量，可以用c表示它。我们把这个矢量写成

c=a+b

这个c具有以下颇有意思的性质

c=b+a

这一点我们从它的分量中马上就能够看出。还有

a+(b+c)=(a+b)+c

我们可以按照任意次序把矢量加起来。

a+b的几何意义是什么呢？如果在一张纸上用直线把a和b表示出来，那么，c是什么样子的呢？结果在图1-4中给出。我们看到，如果将表示b的分量的长方形按图中所示的方式紧挨着表示a的分量的长方形放置，就能够很方便地将b的分量加到a的分量上。由于b正好与它自己的长方形吻合，a也同样与它自己的长方形吻合，因此，这就好像把b的“尾部”放到a的“头部”一样，从a的“尾部”引向b的“头部”的箭头记号就是c矢量。当然，如果我们用另一种方法倒过来把a加到b上，就应该把a的“尾部”放到b的“头部”，利用平行四边形的几何性质就会得到相同的c。请注意，矢量可以按照这种方法加起来而不涉及任何坐标系。

假如我们用一个数α乘一个矢量，这意味着什么呢？我们定义它代表一个分量是αax, αay和αaz的新矢量。它的确是一个矢量，我们把它作为一个问题留给学生证明。

下面，我们来考虑矢量的减法。我们可以像定义加法那样定义减法，只是用分量相减代替分量相加。我们也可以这样来定义减法：定义一个负矢量，-b=-1b，然后把分量相加。用这个方法得到的结果是一样的。结果如图1-5所示。这个图说明d=a-b=a+（-b）；我们还注意到，利用等价的关系a=b+d很容易从a和b得到差值a-b。因此，差值甚至比求和更容易得到：只要从b到a画出矢量，就得到a-b了！

接下来我们讨论速度。速度怎么会是一个矢量呢？如果位置用三个坐标（x, y, z）表示，那么速度用什么表示呢？速度是用dx/dt, dy/dt和dz/dt来表示的，这是不是一个矢量呢？我们可以通过对方程（1.5）中的表达式求导数来判断dx′/dt是否按照恰当的方式变换。我们看到，分量dx/dt和dy/dt确实按照与x和y相同的规律变换，因此，这个时间的导数是一个矢量。由此得出速度是一个矢量。我们可以用一种颇有意思的方式把速度写成

v=dr/dt

速度是什么，它怎么会是一个矢量，这些问题还可以更形象地去理解：一个粒子在一段短的时间Δt内移动了多远呢？答案是：Δr，因此，如果一个粒子在某一瞬间处于“这里”，而在另一瞬间处于“那里”，那么，位置的矢量差Δr=r2-r1（如图1-6所示指向运动的方向）被时间间隔Δt=t2-t1除，就得到“平均速度”矢量。

换句话说，速度矢量表示这样一种极限，当Δt趋于0时，t+Δt时刻和t时刻径向矢量的差值除以Δt：

由于速度是两个矢量之差，所以它是一个矢量。上述式子也是速度的正确的定义式，因为它的分量就是dx/dt, dy/dt和dz/dt。事实上，我们从这个论证中看到，如果我们将任意矢量对时间求导，就会造出一个新的矢量。由此看来，我们有几个造出新矢量的办法：（1）用一个常数去乘；（2）对时间求导；（3）把两个矢量相加或者相减。