三、计算题

1．给定规模收益不变的生产函数，根据边际生产力分配理论，证明：为生产要素的收入在总产值中所占的份额，为生产要素的收入在总产值中所占的份额。（华南理工大学2011研）

解：在生产函数式中，对函数两边求导，由微分学的知识以及微观经济学中边际产量的概念可知：

　　　　　　　　　　　　　　　（1）

　　　　　　　　　　　　　　　 （2）

在竞争性的市场上，厂商使用生产要素的原则是，将要素需求量固定在使要素的边际产品价值等于要素实际价格的水平上。设产品的价格为P，劳动者的工资为，资本的价格为，则：

，

所以劳动在总产值中所占的份额为：

即：生产要素的收入在总产值中所占的份额为。

同理，资本在总产值中所占的份额为：

即：生产要素K的收入在总产值中所占的份额为。

2．一国国民经济增长率为5％，其中资本增长率为4.2％，劳动增长率为1.7％，土地增长率为2.2％。资本收入占国民总收入的比例为30％，劳动收入占国民总收入的比例为60％，土地收入占国民总收入的比例为10％，那么技术对国民经济增长率的贡献是多少？（清华大学2011研）

解：由题意可知，劳动份额，资本份额，土地份额，国民经济增长率，劳动增长率，资本存量增长率，土地增长率。

将相关数值代入到经济增长核算方程，可得：

所以，技术对国民经济增长率的贡献是2.5％。

3．假定一个经济体的总量生产函数是，市场是完全竞争的，生产要素按照边际贡献参与分配，请问资本所得和劳动所得占GDP的比重是多少？劳动所得所占比重在什么情况下可能下降？（中山大学2011研）

解：根据总量生产函数，可得劳动和资本的边际产量，即：

，

在竞争性的市场上，厂商使用生产要素的原则是，将要素需求量固定在使要素的边际产量等于要素实际价格的水平上。因此，表达和分别为劳动和资本的收益，从而表达式就是劳动收益在产出中所占的份额，表达式是资本收益在产出中所占的份额。

，

即资本所得占GDP的比重为参数，劳动所得占GDP的比重为参数。

当劳动的边际产量下降或劳动使用量下降时，劳动所得占GDP的比重有可能下降。

4．某生产函数为古典增长模型：，代表总产出，代表总资本存量，代表劳动数量。假设劳动数量以速度增长，以速度折旧，求：

（1）资本与劳动的收入份额各是多少？

（2）如果储蓄率，求稳定状态下人均资本和人均产出的值？

（3）稳定状态下的人均产出的增长率是多少？总产出的增长率又是多少？（浙江大学2012研）

解：（1）由生产函数以及柯布-道格拉斯生产函数的性质可知，资本与劳动的收入份额分别为0.5。

（2）由生产函数可得，，根据新古典增长模型稳定状态条件，可得：

解得：人均资本。

人均产出。

（3）根据新古典增长理论的结论，稳定状态下，人均产出的增长率为0，总产出增长率等于劳动力增长率，为7%。

5．给定一国的宏观总生产函数为，其中为总产出，为资本总量，为劳动力数量，假定劳动力数量按人口每年1％的增长速度增长，资本存量的折旧率为5%，技术水平为1。请根据具体的计算结果回答：

（1）该经济的人均产出将随时间如何变化？

（2）劳动报酬和资本报酬的比例随时间如何变化？（对外经济贸易大学2010研）

解：（1）已知

可知即

由于，所以，亦可记为

所以，期后

因为，所以为单调递减函数，即随着时间的增加，人均产出逐渐减少。

（2）设劳动报酬和资本报酬的比例为，所以，

可知是单调增函数，且。

所以，随着时间的增长，劳动报酬和资本报酬的比例逐渐增大。

6．假设一个经济的人均生产函数为，其中为人均资本。求：

（1）经济的总量生产函数；

（2）在没有人口增长和技术进步的情况下，假定年折旧率为，储蓄率为。那么稳态下的人均资本、人均产出和人均消费分别为多少？（中国人民大学2008研）

解：（1）经济中的总量生产函数为：

（2）在索洛模型中，在没有人口增长和技术进步的情况下，经济的稳定条件为：

所以，稳态下的人均资本为：；

稳态人均产出为：；

稳态人均消费为：。