第1章　极限与连续

1.1　考点归纳

一、数列极限

1．定义

设{a_n}是一个数列，，对∀ε＞0，∃正整数N，当时，有，则称{a_n}收敛于a，则a称为数列的极限，记作．

（1）无穷小数列：；

（2）无穷大数列：；

（3）发散数列：若极限不存在，则称为发散数列；

（4）收敛⇔的任何子列都收敛．

2．性质

（1）唯一性

收敛数列{a_n}只有一个极限．

（2）有界性

若{a_n}收敛，则∃正数M，对∀n∈N*有．

（3）保号性

若（或＜0）则对或（），∃正数N，当n＞N时有a_n＞a′（或a_n＜a′）．

（4）保不等式性

收敛数列{a_n}与{b_n}．若∃正数N₀，当n＞N₀时有a_n≤b_n，则

（5）夹逼性

设{a_n}，{b_n}都收敛于a，{c_n}满足：∃正数N₀，当n＞N₀时有

则{c_n}收敛，且

3．四则运算

{a_n}，{b_n}都收敛，则

（1）；

（2）；

（3）；

（4）（b_n≠0及）．

4．单调有界定理

单调且有界的数列一定存在极限．

5．柯西收敛准则

{a_n}收敛⇔对∀ε＞0，∃正整数N，当n，m＞N时有

二、函数

1．函数三要素

定义域 值域 对应法则

2．性质

（1）有界性

若∃正数M，对∀x∈D有

则称f在D上有界．

（2）单调性

①单调递增  对∀x₁，x₂∈D．当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂）；

②单调递减  对∀x₁，x₂∈D．当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．

（3）奇偶性

D关于原点对称

①奇函数  f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称；

②偶函数  f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称．

（4）周期性

若∃T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期．

3．分类

（1）复合函数

形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域．

（2）反函数

设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数．

注：互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．

三、函数极限

1．概念

（1）函数f在点x₀的极限

f定义在U°（x₀；δ'）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数δ（＜δ'），当0＜|x－x₀|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f在点x₀的极限为A，记作

（2）函数f在x趋于∞时的极限

f定义在[a，＋∞）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数N（≥a），使得当x＞N时有

则称函数f在x趋于∞时的极限为A，记作

（3）左极限

f定义在[x₀，x₀＋η）上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有

则称A为f在点x₀的左极限，记为

（4）右极限

f定义在（x₀－η，x₀]上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有

就称A为f在点x₀的右极限，记为

（5）．

2．性质

（1）唯一性；

（2）有界性；

（3）保号性；

（4）保不等式性；

（5）夹逼性．

注：函数极限性质同数列极限性质类似．

3．归结原则

f定义在上，存在⇔对任何含于且以x₀为极限的数列，都存在且相等．

4．单调有界定理

f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．

5．柯西准则

f定义在上，存在⇔∀ε＞0，∃正数，使得对，有

6．两个重要极限

7．无穷小量与无穷大量

（1）无穷小

①时的无穷小，得；

②时的无穷小，得．

（2）无穷小的性质

若f（x）为无穷小量，g（x）为有界量，则它们的积f（x）g（x）也为无穷小量．

（3）无穷大

f（x）定义在U0（x₀）上．对∀给定的正数M，总∃正数（或正数X），只要（或|x|＞X），总有|f（x）|＞M，则称f为当或（）时的无穷大．

8．相关无穷小的定义

（1）高、低阶无穷小

若，则称x→x₀时f为g的高阶无穷小量（或称g为f的低阶无穷小量），记作

（2）同阶无穷小

f和g定义U0（x₀）上，若∃正数K和L，满足

则称f与g为当x→x₀时的同阶无穷小量．

（3）等价无穷小

若，则称f与g是当x→x₀时的等价无穷小量,记作

注：常用的等价无穷小

9．渐近线

设曲线y＝f（x）

（1）斜渐近线y＝kx＋b

（2）垂直渐近线

若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．

（3）水平渐近线

若（或者），则水平渐近线为ｙ＝ｂ．

四、函数的连续性

1．概念

（1）连续的定义

f（x）定义在U（x₀）上，若

则f在点x₀连续．

2．性质

（1）有界性；

（2）保号性；

（3）四则运算．

3．间断点

（1）定义

函数f（x）在点x₀处不连续，则称点x₀为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x₀是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，则x₀称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．

（2）类型

①第一类间断点

a．可去间断点  在间断点处函数左右极限相等．

b．跳跃间断点  在间断点处函数左右极限不相等．

②第二类间断点

a．无穷间断点  在间断点处函数极限为无穷大（无穷小）．

b．振荡间断点  在间断点处函数值在一个区间变化．

4．定理

（1）最值定理

f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有最大值与最小值．

（2）有界性定理

f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有界．

（3）介值性定理

f为闭区间[a，b]上的连续函数，f（x）可以取介于最大值和最小值之间的任何值．

（4）根的存在定理

f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少有一点ξ，使得．

5．一致连续

（1）定义

f定义在区间I上，如果对于∀给定的正数ε，总∃正数δ，使得对于区间I上的任意两点x₁、x₂，当时，有

则称f在I上一致连续．

（2）一致连续与连续的关系

如果f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在I上一定连续；当f（x）在区间I上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．

（3）一致连续性定理

f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上一致连续．