第二节　数与代数

一、考点精讲

（一）数的整除

1．奇偶性与质合性

（1）奇数与偶数

能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数为奇数，0是偶数。关于偶数和奇数有下面的性质：

①两个连续整数中必是一个奇数一个偶数。

②奇数与奇数的和或差是偶数；偶数与奇数的和或差是奇数；任意多个偶数的和都是偶数；单数个奇数的和是奇数；双数个奇数的和是偶数。即“同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇”。

③奇数与奇数的积是奇数；偶数与偶数的积是偶数；奇数与偶数的积是偶数。即“乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇”。

④若干个整数的连乘积，如果其中有一个偶数，乘积必然是偶数。

⑤相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。

⑥除2外所有的正偶数均为合数。

⑦偶数的平方被4整除，奇数的平方被8除余1。

【例】若x，y，z是三个连续的负整数，并且x＞y＞z，则下列表达式中属于正奇数的是（　　）。

A．yz－x

B．（x－y）（y－z）

C．x－yz

D．x（y＋z）

【答案】B

【解析】x、y、z为三个连续的负整数，且x＞y＞z，则x－y＝1，y－z＝1，所以（x－y）（y－z）＝1。

（2）质数与合数

①质数

如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数），如2、3、5、7、11、13……一个数。

②合数

一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数，如4、6、8、9、10……

③1既不是质数也不是合数。

④质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘，这几个质数都叫这个合数的质因数。

2．约数与倍数

（1）定义

如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。

（2）公约数与公倍数

①几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

②几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫这几个数的最小公倍数。

【例】某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分，多一个人；按每五个人一组分，也多一个人；按每六个人一组分，还是多一个，该车间至少有多少名工人？（　　）

A．31

B．41

C．61

D．122

【答案】C

【解析】由题意可知，该车间工人数减去1以后是4、5、6的公倍数，而4、5、6的最小公倍数为60，因此该车间至少有60＋1＝61人。

3．余数

余数相关问题主要有：

（1）基本余数问题

①余数基本关系式

被除数÷除数＝商…余数（0≤余数＜除数）

②余数基本恒等式

被除数＝除数×商＋余数

③核心公式

被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）；被除数－余数＝除数×商

也可以看作具有整除性质，在余数计算中常有使用。

【例】有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，求这个整数。（　　）

A．44

B．43

C．42

D．41

【答案】D

【解析】设这个整数为x，商分别为a、b、c，则有x（a＋b＋c）＋100＝157＋324＋234，即x（a＋b＋c）＝615，即所求数应能将615整除，只有41符合。

（2）同余问题

同余指两个整数，他们除以同一个整数所得的余数相同。

①余同取余

如果一个被除数的除数不同，余数相同，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数共同的余数。

②和同加和

如果一个被除数的除数不同，除数与余数的和相等，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数与余数的和。

③差同减差

如果一个被除数的除数不同，除数与余数的差相等，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数减去除数与余数的差。

【例1】一个整数除以5余3，用所得的商除以6余2，再用所得的商除以7余1，用这个整数除以35，则余数为（　　）。

A．8

B．19

C．24

D．34

【答案】A

【解析】由题意可知，题中除数与余数相加均为8，由同余问题的口诀“差同减差，和同加和，余同取余，公倍数作周期”可知，这个数为210n＋8。又因为210能被35整除，则这个数除以35的余数为8。因此答案选A。

【例2】有一个两位数，除以3的余数为2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是（　　）。

A．0

B．5

C．1

D．6

【答案】B

【解析】由“和同加和，公倍数做周期”可知，满足条件的整数为5＋12n（n≥1），故该整数除以12的余数为5。