第1部分　历年真题及详解

2017年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）

1．当时，下列变量中与x等价的无穷小量是（）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为，所以当时，x的等价的无穷小量是．

 

  2．已知函数，则（）．

  A．x＝1，x＝－1都是f（x）的可去间断点

  B．x＝1，x＝－1都不是f（x）的可去间断点

  C．x＝1是可去间断点，x＝－1不是可去间断点

  D．x＝1不是可去间断点，x＝－1是可去间断点

【答案】D

　 【解析】因为，所以x＝1不是f（x）可去间断点：又

，所以

而函数f（x）在x＝－1无定义．所以x＝－1是f（x）可去间断点．

  3．，则（）．

  A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b＝0 C．a＝0，b＝1　  D．a＝2，b＝1

【答案】A

  【解析】由及知

得b＝1，于是，得a＝1．

4．设函数f（x）连续，，则（）．

  A．

B．

C．

D．

【答案】D

　 【解析】由导数公式即可解得

5．设A为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，且，则A的行列式（）．

A．0 B．2 C．4 D．8

【答案】B

【解析】，从而两边同时去行列式得：

6．设，．可以由，线性表示，则（）．

A． a＝1，b＝1 B．a＝1，b＝－1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1

【答案】C

【解析】令，由题意可知，即

7．设随机变量X的概率密度为，．则Y的概率密度（）．

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

8．设为来自总体的简单随机样本，分别为样本均值和样本标准差，则（）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分）

9．

【答案】

【解析】

10．曲线在点（0，1）处的切线方程为

【答案】

【解析】，所以切线方程为．

11．函数的单调递减且其图形为凹的区间为

【答案】

【解析】令得；

令，得．所以单调递减且其图形为凹的区间为．

12．曲线与直线及围成的有界区域的面积为

【答案】

【解析】令，得到，所以面积

13．行列式

【答案】－15

【解析】利用行列式的性质及相关定理知

14．设随机事件A与B相互独立，且P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，则

【答案】

【解析】

三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分10分）

求．

解：利用等价无穷小和洛必达法则有

16．（本题满分10分）

求函数的极值．

解：当时，．

（1）当时，；

（2）当时，；

（3）当时，；

综上，知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间

上单调递减，因此

  当x＝0时，有极小值；

  当x＝1时，有极大值．

17．（本题满分10分）

求微分方程满足初始条件的特解．

解：由初始条件知当时，方程可化为．

计算得

又，得

从而微分方程满足初始条件的特解为

18．（本题满分10分）

设函数具有二阶连续偏导数，，求

解：由题意计算得

19．（本题满分10分）

计算二重积分，其中区域D由曲线及直线围成．

解：积分区域D如下图黑色部分所示，令，易得

所以

因为的定积分公式

所以

20．（本题满分11分）

设矩阵，矩阵满足等式，求矩阵．

解：因为，易证得可逆，则

21．（本题满分11分）

设向量是矩阵的特征向量．

（I）求a，b的值；

（II）求方程组的通解．

解：（I）设所对应的特征值为，则，得

（II）从而

即得，取为自由未知量，得基础解系为

特解为，故的通解为

22．（本题满分11分）

设离散型随机变量的分布函数为

（I）求；

（II）求的方差；

（III）求

解：（I）计算得

所以

（II）计算得

（III）

23．（本题满分11分）

设随机变量与分别服从参数为1和参数为2的指数分布，且与相互独立

（I）求二维随机变量的概率密度；

（II）求；

（III）求的分布函数．

解：（I）计算得

（II）计算得

（III）计算得