2013年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解

一、选择题：l～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．曲线在x＝0对应处的切线方程为（　　）．

A．y＝（3e－1）x－lB．y＝（3e－1）x＋1

C．y＝（3e＋1）x－1   D．y＝（3e＋1）x＋1

【答案】D

【解析】由隐函数求导公式得，将x＝0代入得，又y（0）＝1,故x＝0处的切线方程为y＝（3e＋1）x＋1．

2．设函数可导，且，则（　　）．

Ａ．　　　　　　　　　　　　　Ｂ．

Ｃ．　　　　　　　　　　　　　Ｄ．

【答案】A

【解析】由洛必达法则可得

3．曲线如图所示，函数具有连续的2阶导数，且，则积分（）．

A．a－b  B．b－a　  　 C．a＋b　  D．ab

【答案】C

【解析】由上图可知，则

.

4．函数在点处的全微分为（）．

A． B．

C．　  D．

【答案】B

【解析】由全微分公式可得，将代入上式得．

5．设向量组I：，其秩为r；向量组II：，其秩为s，则r＝s是向量组I与向量组II等价的（）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件　 D．及非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】两向量组等价的充要条件是它们有相同的秩．

6．行列式（）．

A．48  B．24　 C．12　 D．0

【答案】D

【解析】

7．设A，B为随机事件，已知，则

（）．

A．　  B．　 C．  D．

【答案】D

【解析】由，得

而，则

所以．

8．设总体X服从参数为的泊松分布，为来自总体X的简单随机样本．记，则ET＝（）．

A．  B．　  C．　 D．

【答案】B

【解析】因来自总体X的简单随机样本，因此相互独立，且．

又，故．

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．

9．设函数在x＝0处连续，则常数k＝．

【答案】6

【解析】由题意可知，因在x＝0处连续，故，即k＝6．

10．设，且，则．

【答案】

【解析】令，则，两边同时积分得，又，故C＝0，即.

11．由曲线与直线所围成的平面图形的面积为．

【答案】

【解析】由题意知，平面图形的面积

12．设函数,则．

【答案】

【解析】由题意知，，将（1,1）代入得．

13．若矩阵与等价，则a＝．

【答案】1

【解析】由于两矩阵等价，因此这两个矩阵的秩相等．

因，故当a＝1时两矩阵等价．

14．连续掷1枚均匀骰子，在前4次没有出现偶数点的条件下，前l0次均未出现偶数点的概率为______．

【答案】

【解析】由题意知偶数点不出现的概率为，记前十次中均未出现偶数点的事件为A，前4次没有出现偶数点的事件为B,而，则

三、解答题：l5～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题满分l0分）

求极限．

解：由洛必达法则及等价无穷小，有

16．（本题满分l0分）

设函数．求曲线的凹凸区间，拐点和渐近线．

解：依题意可得

令，得

因为当x＜－1或x＞1时，；当－1＜x＜1时，

故和为的凹区间；为的凸区间．

则点和点为曲线的拐点．

又，所以y＝1为曲线的水平渐近线．

17．（本题满分l0分）

计算定积分．

解：利用分部积分法，有

18．（本题满分l0分）

计算二重积分，其中区域D由曲线和直线y＝1－x及y＝1围成．

解：计算得

19．（本题满分l0分）

设函数对任意的x，y恒有，且，求．

解：由得，则

于是

即　　　　　　　　　　　　　

则

因为f（0）＝0,所以C＝0

故．

20．（本题满分11分）

设线性方程组

（I）求方程组的通解；

（II）求方程组满足条件的全部解．

解：（I）对方程组的增广矩阵施以初等行变换

原方程组同解于

故方程组的通解为

其中为任意常数．

（II）当时，，即．

此时方程组的全部解为

其中k为任意常数．

21．（本题满分11分）

设矩阵

（I）求可逆矩阵P和对角矩阵,使得；

（Ⅱ）求A101．

解：（I）由题设

得A的特征值为

当时，解方程组，得对应的一个特征向量.

当时，解方程组，得对应的两个线性无关的特征向量．

令

则．

（Ⅱ）由（I）得，所以

22．（本题满分11分）

设箱中有5件产品，其中3件是优质品．从该箱中任取2件，以X表示所取的2件产品中的优质品件数，Y表示箱中3件剩余产品中的优质品件数．

（I）求（X，Y）的概率分布；

（Ⅱ）求Cov（X，Y）．

解：（I）因为X的所有可能取值为0,1,2；Y的所有可能取值为3,2,1，且X＋Y＝3，所以

由此得（X,Y）的概率分布为

（Ⅱ）因为，所以

易知X的概率分布为

故

所以

23．（本题满分11分）

设随机变量X的分布函数为

（I）求X的概率密度；

（II）求；

（III）求

解：（I）由分布函数与概率密度的关系得

（Ⅱ）由随机变量X的分布函数知

（Ⅲ）计算得