2011年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.

1．当xO时，下列函数为无穷大量的是（）.

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】A项，；

D项，；

C项，.

2．设函数可导，，，则（）.

A．k＝2，

B．k＝3，

C．k＝3，

D．k＝4，

【答案】C

【解析】因为

所以，k＝3.

3．设，则（）.

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】当时，，故，所以有

即.

4．设函数，则＝（）.

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】.

5．将二阶矩阵A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第1行与第2行得单位矩阵，则A＝（）.

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由于，所以.

6．设A为4×3矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为（）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为是的线性无关解，所以是的两个线性无关解，而是的解，故是的通解.

7．设随机事件A，B满足且，则必有（）.

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为，，故，又，，所以.

8．设总体X服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对于统计量和，有（）.

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】因为是来自参数为的泊松分布的简单随机样本，则有

那么

所以

所以.

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在题目中的横线上.

9．设函数，则____.

【答案】

【解析】由于

所以.

10．曲线在其拐点处的切线方程是____.

【答案】y＝2

【解析】由于，所以点（1，2）为曲线的拐点，又，所以y＝2为拐点处的切线方程.

11．反常积分＝________.

【答案】

【解析】

12．设函数，则＝____.

【答案】

【解析】

所以.

13．设矩阵

且3阶矩阵B满足ABC＝D，则＝_____.

【答案】

【解析】因为，故，所以

.

14．设二维随机变量（X，Y）服从正态分布，则＝____.

【答案】

【解析】因为，故X与Y相互独立，即有，而，所以，即，故.

三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本题满分10分）

设函数在x＝0处连续，求

（I）的值；

（Ⅱ）.

解：（）因为，

而，故时，在x＝0处连续.

（Ⅱ）当x≠0时，

所以

16．（本题满分10分）

求不定积分.

解：

对，则

所以原式＝

17．（本题满分11分）

设函数是微分方程满足条件的解，求曲线与x轴所围图形的面积S.

解：已知，即，故

代入初始条件，得，故．

曲线与x轴交点为（－1，0），（0，0），所以

18．（本题满分10分）

证明：当时，

解：令,则

即在内单调递减，

又在x＝0处连续，故，

所以在内单调递减，

又因为在x＝0及处连续

故，即.

19．（本题满分11分）

计算二重积分，其中.

解：利用极坐标变换，令，，则

20．（本题满分10分）

已知，问为何值时，

（）不能由线性表示；

（Ⅱ）可由线性表示，并写出一般表达式.

解：能否由线性表示，也就是是否有解，而

（I）当a≠3时，，方程组无解，故此时不能由线性表示.

（Ⅱ）当a＝3时，，线性方程组有解，可由线性表示，且因

，则

于是

21．（本题满分11分）

已知1是矩阵的二重特征值

（I）求的值；

（11）求可逆矩阵P和对角矩阵Q，使．

解：（I）1是矩阵A的二重特征值，设是A的另一个特征值，则所以，即.

即，所以a＝0.

（Ⅱ）由（I）知：

，对于特征值，有

故对应于的两个线性无关的特征向量

对于，有

故对应于的特征向量

取，则有

22．（本题满分10分）

设随机变量X与Y的概率分布分别为

且.

（）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；

（）求EX，EY及X与Y的相关系数.

解：（）因为，所以，则

又，则

而

故的概率分布为

（Ⅱ）计算得

而，而，

故．

23．（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）服从区域G上的均匀分布，其中G是由与所围成的三角形区域.

（I）求X的边缘密度；

（1I）求.

解：积分区域G如图所示.

可知，故

（I）由积分区域可得

（Ⅱ）如下图所示，计算得