第2章　统计概论

一、单项选择题

1．区间估计的原理是（　　）。

A．概率论

B．样本分布理论

C．小概率原理

D．假设检验

【答案】B

【解析】区间估计是根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围，用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围，能指出未知总体参数落入某一区间的概率有多大。区间估计的原理是样本分布理论。

2．总体分布正态，总体方差未知，从总体中随即抽取容量为25的小样本，此样本的标准差为s。用样本平均数估计总体平均数的置信区间为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】总体方差未知时，用样本的无偏方差（）作为总体方差的估计值，实现对总体平均数的估计。因为在总体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查t值表。有两种情况：①总体的分布为正态时，可不考虑n的大小；②总体分布为非正态时，只有n＞30，才能用概率对其样本分布进行解释，否则不能推论。

3．总体分布正态，总体方差已知，从总体中随即抽取容量为25的小样本。用样本平均数估计总体平均数的置信区间为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】总体正态分布，总体方差已知。此时不论样本n的大小，其标准误都是，因为样本小于30，其分布为t分布，故应查t值表。此时，可用估计总体平均数的置信区间。

4．用从总体抽取的一个样本统计量作为总体参数的估计值称为（　　）。

A．样本估计

B．点估计

C．区间估计

D．总体估计

【答案】B

【解析】点估计是用样本统计量来估计总体参数。因为样本统计量为数轴上某一点值，估计的结果也是以一个点的数值表示，所以称为点估计。

5．在正态总体中随机抽取样本，若总体方差未知，则样本平均数的分布为（　　）。

A．正态分布

B．x2分布

C．t分布

D．F分布

【答案】C

【解析】总体方差未知时，用样本的无偏方差（）作为总体方差的估计值实现对总体平均数“的估计。因为在总体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查t值表。

6．下列关于假设检验的命题，正确的是（　　）。

A．如果H₀在α＝0.05的单侧检验中被拒绝，那么H₀在α＝0.05的双侧检验中一定不会被拒绝

B．如果t的观测值大于t的临界值，一定可以拒绝H。

C．如果H₀在α＝0.05的水平上被拒绝，那么H₀在α＝0.01的水平上一定会被拒绝

D．在某一次实验中，如果实验者甲用α＝0.05的标准，实验者乙用α＝0.01的标准，那么实验者甲犯Ⅱ类错误的概率一定会小于实验者乙犯Ⅱ类错误的概率

【答案】C

【解析】第一类错误和第二类错误的关系：在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大；两个总体的关系若是确定的，则α增大，β就减小；α减小，β就增大。

7．理论预期实验处理能提高某种实验的成绩。一位研究者对某一研究样本进行了该实验处理，结果未发现处理显著的改变实验成绩，则下列说法正确的是（　　）。

A．本次实验中发生了I类错误

B．本次实验中发生了Ⅱ类错误

C．需要多次重复实验，严格设定统计决策的标准，以减少I类错误发生的机会

D．需要改进实验设计，提高统计效力，以减少Ⅱ类错误发生的机会

【答案】D

【解析】I类错误是指在否定虚无假设H₀接受对立假设H₀时所犯的错误，又常称为α错误。I类错误的症结可能在于样本中包含的某些极端数据与总体有很大的差异，也可能是由于研究者所采用的决策标准过于宽松。犯I类错误的结果是十分严重的。Ⅱ类错误是指在接受H₀为真时所犯的错误，也称为β错误。Ⅱ型错误是由于实验设计不够灵敏，样本数据的变异性较大或是处理效应本身较小造成的。与I类错误不同的是，Ⅱ类错误无法由一个准确的概率值来衡量，它的概率依赖许多因素，需要用函数表示。

8．当α＝0.05时，发生Ⅱ类错误的概率为（　　）。

A．0.05

B．0.025

C．0.95

D．以上信息不足，无法判断

【答案】D

【解析】因为α＋β不一定等于1，α错误和β错误是在两个前提下的概率。α是拒绝H₀时犯错误的概率（这时前提是“H₀为真”）；β是接受H₀时犯错误的概率（这时前提是“H₀为假”）。所以只知道α，无法计算Ⅱ类错误的概率β。

9．I类错误的概率α和Ⅱ类错误的概率β的关系有（　　）。

A．α＋β＝1

B．随着α的增加，β也会增加

C．α/β＝常数

D．如果α非零，那么β也非零

【答案】D

【解析】两类错误的关系主要有：①α＋β不一定等于1，α错误和β错误是在两个前提下的概率。α是拒绝H₀时犯错误的概率（这时前提是“H₀为真”）；β是接受H₀时犯错误的概率（这时前提是“H₀为假”）。②在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大，两个总体的关系若是确定的。α增大，β就减小；α减小，β就增大。

10．在癌症检查中，虚无假设H₀为“该病人没有患癌症”。下列情况最为危险的是（　　）。

A．H₀是虚假的，但是被接受了

B．H₀是虚假的，但是被拒绝了

C．H₀是真实的，但是被接受了

D．H₀是真实的，但是被拒绝了

【答案】A

【解析】I类错误是指在否定虚无假设H₀接受对立假设H₀时所犯的错误，即将属于没有差异的总体推论为有差异的总体时所犯的错误。由于这类错误的概率以α表示，故常称为α错误。出现α错误造成的危害十分大，因此应该将α概率定得越小越好，确定为1%还是0.1%要依实际情况而定。

11．假设检验的Ⅱ类错误是（　　）。

A．原假设为真而被接受

B．原假设为真而被拒绝

C．原假设为假而被接受

D．原假设为假而被拒绝

【答案】C

【解析】Ⅱ类错误是指在接受H₀为真时所犯的错，这类错误也称为β错误，即接受H₀时并不等于说二者100%的没有差异，同样有犯错误的可能性。

12．在统计假设检验中，同时减少α和β错误的最好办法是（　　）。

A．控制α水平，使其尽量小

B．控制β水平，使其尽量小

C．适当增加样本容量

D．完全随机取样

【答案】C

【解析】统计假设检验中，同时减少a和β错误的做好办法是加大样本容量。

13．统计学中称（　　）为统计检验效力。

A．α

B．β

C．1－α

D．1－β

【答案】D

【解析】1－β反映着正确辨认真实差异的能力，统计学中称（1－β）为统计检验力。

14．某地区六年级小学生计算能力测试的平均成绩为85分，从某校随机抽取的28名学生的测验成绩为87.5，s＝10。该校学生计算能力成绩与全地区相比（　　）。

A．差异显著

B．该校学生计算能力高于全区

C．差异不显著

D．该校学生计算能力低于全区

【答案】C

【解析】总体正态分布、总体方差未知时进行样本平均数与总体平均数差异的检验，其基本原理与总体正态分布、总体方差已知时相同，所不同的是在计算标准误时，由于总体方差未知，要用其无偏估计量（）来代替，。这时其样本平均数的分布为t分布，因而总体方差未知时所进行的检验称作t检验。公式为。

15．在统计假设检验中，对α和β错误的描述正确的有（　　）。

A．要控制α水平，使其尽量小，控制β值，使统计效力尽量大

B．如果显著性水平α值减小时，则会减少Ⅱ型错误

C．同时减少I型错误和Ⅱ型错误的最好办法是适当加大样本容量

D．如果双尾检验改为单尾检验，显著性水平会α减小

【答案】C

【解析】两类错误的关系：①α＋β不一定等于1，α错误和β错误是在两个前提下的概率，α是拒绝H₀时犯错误的概率（这时前提是“H₀为真”）；β是接受H₀时犯错误的概率（这时前提是“H₀为假”）。②在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大，两个总体的关系若是确定的。α增大，β就减小；α减小，β就增大。

二、多项选择题

1．假设未知，总体正态分布，有一样本n＝10，＝78，S2＝64。那么下列数据属于其总体参数“的0.95的置信区间之内的有（　　）。

A．71

B．82

C．84

D．85

【答案】BC

【解析】总体方差未知时，用样本的无偏方差（）作为总体方差的估计值，实现对总体平均数的估计。因为在总体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查t值表。而且，总体分布为正态分布。则总体均值的区间为。将题目中的各值代入此公式得，即71.97＜＜84.03。

2．下列表述中正确的是（　　）。

A．如果H₀在α＝0.05的单侧检验中被拒绝，那么H₀在α＝0.05的双侧检验中一定被拒绝

B．如果H₀在α＝0.05的双侧检验中被拒绝，那么H₀在α＝0.05的单侧检验中一定被拒绝

C．如果H₀在α＝0.05的单侧检验中被接受，那么H₀在α＝0.05的双侧检验中一定被接受

D．如果H₀在α＝0.05的双侧检验中被接受，那么H₀在α＝0.05的单侧检验中一定被接受

【答案】BC

【解析】A项可将其具体化为，假设题中α＝0.05的单侧检验是标准正态分布中α＝0.05的单侧检验，对应的Z值即1.64。因为题目中在α＝0.05的单侧检验中未被拒绝，我们可以将其假设为1.7或者2.00。这时我们来看看当进行α＝0.05的双侧检验时的结果，即Z＝1.96，这时1.7＜1.96，故接受假设。所以A项错误。同理推知可得到正确选项。

三、简答题

1．简述区间估计的置信区间和显著性水平。

答：置信区间，又称置信间距，是指在某一置信度时总体参数所在的区域距离或区域长度。置信区间的上下二端点值称为置信界限。

显著性水平是指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符号α表示。1－α称为置信度或置信水平。

2．简述两类错误的关系。

答：（1）I类错误和Ⅱ类错误的定义

I类错误，又称α错误，是指在否定虚无假设H₀接受对立假设H₁时所犯的错误，即将属于没有差异的总体推论为有差异的总体时所犯的错误。

Ⅱ类错误，又称β错误，是指在接受H₀为真时所犯的错，即接受H₀时并不等于说二者100%的没有差异，同样有犯错误的可能性。

（2）两类错误的关系

①α＋β不一定等于1。α错误和β错误是在两个前提下的概率，α是拒绝H₀时犯错误的概率（这时前提是“H₀为真”）；β是接受H₀时犯错误的概率（这时前提是“H₀为假”）。

②在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大。两个总体的关系若是确定的，α增大，β就减小；α减小，β就增大。

③要使第I类错误的概率保持在需要的水平上，而控制第Ⅱ类错误的概率，有以下方法：利用已知的实际总体参数与假设参数值之间的大小关系合理安排拒绝领域的位置，确定选择双侧检验还是单侧检验，如果是单侧检验，确定是左侧检验还是右侧检验；加大样本容量。

3．简述假设检验的步骤。

答：一个完整的假设检验过程和具体分析步骤，其内容主要有：

（1）根据问题要求，提出虚无假设和备择假设。

（2）选择适当的检验统计量。

（3）规定显著性水平α。

（4）计算检验统计量的值。

（5）做出决策。