第4章　导热问题的数值解法

一、选择题

已知如图4-1所示中，，，，且，则采用数值法可以估算出下图中t处的温度为（　　）。[湖南大学2006研]

A．t＝26.5℃

B．t＝23.25℃

C．t＝22.5℃

D．t＝22℃

图4-1

【答案】D

【解析】采用热平衡法，分析1、2、3、4节点通过各自界面传导到中间节点的热流量，可得如下平衡方程式

代入已知条件，计算可得：t＝22℃。

二、简答题

如图4-2所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源，管外壁与温度为t_∞的流体对流换热，表面传热系数为h，管壁内温度分布只是半径r的函数。若用数值解法求解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点N的离散方程式。设管壁材料的导热系数λ为常数，径向步长为Δr。（不需化简）[重庆大学2012研]

图4-2

答：根据热平衡法写出外节点N的离散方程式如下

稳态时管壁内的温度分布为

三、计算题

1．如图4-3所示出了常物性、有均匀内热源Φ的二维稳态导热问题局部边界区域的网格配置，试用热平衡法建立节点0的离散方程（有限差分方程，）。[西安交通大学2005研]

图4-3

解：这是一个二维、稳态、有均匀内热源的常物性导热问题。

利用热平衡法建立节点0的离散方程为

2．二维无内热源稳态导热问题，网格划分如图所示，试导出图4-4中节点2的节点方程。已知顶部环境温度为t_f，对流换热系数h，材料A的导热系数为λ_A，材料B的导热系数为λ_B。[上海交通大学2001研]

图4-4

解：分析如图4-5所示节点2周围单元的热平衡，该单元存在热传导和对流传热，根据热平衡关系可得

整理后可得节点2的节点方程为

图4-5

3．试导出二维稳态导热时右上拐角点(i，j)的能量守恒表达式，即有限差分方程式（不需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为，换热系数为h的冷流体环境，同时受到外界热辐射q_r[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格；材料热导系数为λ。[上海交通大学2000研]

解：本问题的简化模型如图4-6所示。

图4-6

分析如图4-6所示灰色单元，有热传导、对流传热和热辐射，并且考虑内热源，那么得到的热平衡方程式为

该单元的内热量为

根据热传导的基本方程式，可知

根据对流换热的基本方程式，可知

根据已知条件，可知该单元受到的外界热辐射为

综上推导可知，二维稳态导热右上拐角节点的能量守恒表达式为

4．图4-7为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度t_f和边界面与流体之间的表面传热系数h，取步长为。针对边界节点1，应用热平衡法推导出数值计算的显示差分格式，并给出数值求解的稳定性条件。[重庆大学2008研]

图4-7

解：边界节点1所代表的控制容积在时刻的热平衡方程为

节点1对时间的变化率采用向前差分，则热平衡方程可写成

令，。

经整理得到显示差分格式为

稳定性条件为，即。