2.1 高阶统计量的基本知识

高阶统计量（Higher Order Statistics，HOS）是指阶数大于二阶的统计量，是描述随机过程高阶统计特性的一种数学工具，包括高阶矩（Higher Order Moments，HOM）、高阶累积量（Higher Order Cumulants，HOC）、高阶矩谱（Higher Order Moment Spectra，HOMS）和高阶累积量谱（Higher Order Cumulant Spectra，HOCS）。

高阶谱可以有效地用于分析和处理非因果、非最小相位、非线性和非高斯信号。近年来在声呐［1］、雷达［2］、地震信号处理［3］、图像重建［4］，［5］、谐波恢复［6］，［7］、时延估计［8］，［9］、自适应滤波［10］，［11］、阵列信号处理［12］，［13］、调制信号识别［14］-［16］、生物医学工程［17］、盲均衡［18］-［21］等领域得到了广泛应用。

2.1.1 高阶矩和高阶累积量

1．单个实随机变量的高阶矩和高阶累积量

对于随机变量x，设其概率密度函数为f（x），则第一特征函数（即矩生成函数）为其概率密度函数的Fourier变换，即［22］，［23］

将第一特征函数按Taylon级数展开，为

mk定义为随机变量x的k阶原点矩。k≥3时，称为高阶矩。

定义

为随机变量x的k阶中心矩。

可见，在零均值条件下，k阶原点矩与k阶中心矩等价。且有，m0=1，m1=E［x］，μ0=1，μ1=0，μ2=σ2。

各阶原点矩和中心矩的物理意义不同，一阶原点矩为数学期望，二阶中心矩表征分布的离散特性（称为方差），三阶中心矩表征分布的非对称特性，四阶中心矩描述分布曲线的尖削或平坦程度，即分布的峰度。

定义随机变量第一特征函数的自然对数为其第二特征函数，又称为累积量生成函数，即［22］，［23］

Ψ（ω）=lnΦ（ω） （2.5）

将第二特征函数也按Taylon级数展开，为

ck定义为随机变量x的k阶累积量。k≥3时，称为高阶累积量。

由于Ψ（ω）=lnΦ（ω），故Φ（ω）=eΨ（ω），所以有

Φ′（ω）=Ψ′（ω）eΨ（ω） （2.8）

Φ″（ω）={Ψ″（ω）+［Ψ′（ω）］2}eΨ（ω） （2.9）

Φ′″（ω）={Ψ′″（ω）+3Ψ′（ω）Ψ″（ω）+［Ψ′（ω）］3}eΨ（ω） （2.10）

Φ（4）（ω）={Ψ（4）（ω）+4Ψ′（ω）Ψ′″（ω）+6［Ψ′（ω）］2Ψ″（ω）+3［Ψ″（ω）］2+［Ψ′（ω）］4}eΨ（ω） （2.11）

在上式中，令ω=0，并根据原点矩及累积量的定义式得

对于零均值的随机变量而言，E［x］=0，即c1=m1=0，则有

这表明，当随机变量的均值为零时，其前三阶累积量与同阶原点矩相等，而大于等于四阶时，其原点矩与累积量不同。

在上述分析中，若令jω=s，则所有式子均转换为Φ（s）、Ψ（s）以及相应的以s为变量的形式。即

对Φ（s）求s的k阶导数得

2．单个复随机变量的高阶累积量［24］

复随机变量x={x1，x2，…，xn}T的高阶累积量中要同时考虑到变量x及其共轭x*，复变量的n阶累积量定义为

式中，{xi1，…，xip，xi（p+1），…，xin}为{x1，…，xp，xp+1，…，xn}一种排列。

可以看出，对于给定的n，其累积量可以有多种形式。

如果信号均值为零且在复数情况下［25］

c2=E［｜x｜2］ （2.30）

c3=E［｜x｜2x］ （2.31）

c4=E［｜x｜4］-2E［｜x｜2］-｜E［x2］｜2 （2.32）

c5=E［x｜x｜4］-6E［｜x｜］2E［x｜x｜2］-3E［x2］E［x*｜x｜2］-E［x3］E［（x*）2］ （2.33）

c6=E［｜x｜6］-6Re{E［x2］E［｜x｜22］}-9E［｜x｜2E［｜x｜4

-｜E［x3］｜2-9｜E［｜x｜2x］｜2+18｜E［x2］｜2E｜x｜2+12E3［｜x｜2］ （2.34）

考虑到六阶以上累积量形式过于复杂，而实际中也很少使用六阶以上累积量，所以这里只写出了上述几种形式的算法公式。

3．多个实随机变量的高阶矩和高阶谱

对于n维随机变量（x1，x2，…，xn），其第一联合特征函数为其联合概率密度函数f（x1，x2，…，xn）的n维Fourier变换，即

将第一联合特征函数展开为Taylon级数，则有

式中，k=k1+k2+…+kn；｜ω｜=｜ω1｜+…+｜ωn｜。

mk1，k2，…，kn定义为多维随机变量的k阶矩。k≥3时，称为高阶矩。

第二联合特征函数为

Ψ（ω1，ω2，…，ωn）=lnΨ（ω1，ω2，…，ωn） （2.38）

将第二联合特征函数也按Taylon级数展开，为

式中，k=k1+k2+…+kn；｜ω｜=｜ω1｜+…+｜ωn｜。

ck1，k2，…，kn定义为多维随机变量的k阶累积量，k≥3时，称为高阶累积量。

4．随机过程的高阶矩和高阶累积量

设{x（n）}为零均值的k阶平稳随机过程，其k阶矩mkx（τ1，τ2，…，τk-1）定义为随机变量{x（n），x（n+τ1），…，x（n+τk-1）}的k阶联合矩，即

mkx=mom{x（n），x（n+τ1），…，x（n+τk-1）} （2.41）

k阶累积量ckx（τ1，τ2，…，τk-1）定义为随机变量{x（n），x（n+τ1），…，x（n+τk-1）}的k阶联合累积量，即

ckx=cum{x（n），x（n+τ1），…，x（n+τk-1）} （2.42）

式中，mom（·）和cum（·）分别表示联合矩和联合累积量。

5．高阶矩和高阶累积量的关系

高阶矩和高阶累积量之间具有一定的对应关系。1959年，前苏联数学工作者LEONOV V P和SHIRYAEV A N［26］最先提出它们之间的相互关系。1977年BRILLINGER D B［27］首先建立了累积量——矩公式（C-M公式）和矩——累积量公式（M-C公式）

C-M公式

M-C公式

式中，I=（1，2，…，n）代表随机向量X=（x1，x2，…，xn）的指示符集合；Ip是由指示符集构成的某种类型的子集；q表示将I划分成的某种类型的子集的元素，，q的取值可以是1，2，…，n；mx（Ip）是Ip子集内各元素乘积的期望值；c（Ip）是Ip子集内各元素乘积的累积量。

例如，当n=1时，X={x1}，指示符I={1}，Ip只有一种{1}。

代入C-M公式得

c1（x1）=m1（x1）=E［x1］ （2.45）

当n=2时，X={x1，x2}，指示符I={1，2}，Ip有两种。q=1时，为{（1，2）}；q=2时，为{（1），（2）}。

代入C-M公式得

m2（x1，x2）=E［x1x2］=c2（x1x2）+c1（x1）c1（x2） （2.46）

代入M-C公式得

c2（x1，x2）=m2（x1，x2）-m1（x1）m1（x2）=E［x1x2］-E［x1］E［x2］ （2.47）

当n=3时，X={x1，x2，x3}，指示符I={1，2，3}，Ip有3种。q=1时，为{（1，2，3）}；q=2时，为{（1），（2，3）}、{（2），（1，3）}、{（3），（1，2）}；q=3时，为{（1），（2），（3）}。

代入C-M公式得

E［x1x2x3］=c3（x1x2x3）+c1（x1）c2（x2x3）+c1（x2）c2（x1x3）+c1（x3）c2（x1x2）+c1（x1）c1（x2）c1（x3） （2.48）

代入M-C公式得

c3（x1，x2，x3）=m3（x1，x2，x3）-m1（x1）m2（x2，x3）-m1（x2）m2（x1，x3）-m1（x3）m2（x1，x2）+2m1（x1）m1（x2）m1（x3）=E［x1x2x3］-E［x1］E［x2x3］-E［x2］E［x1x3］-E［x3］E［x1x2］+2E［x1］E［x2］E［x3］ （2.49）

当n=4时，X={x1，x2，x3，x4}，指示符I={1，2，3，4}，Ip有4种。q=1时，为{（1，2，3，4）}；q=2时，为{（1），（2，3，4）}、{（2），（1，3，4）}、{（3），（1，2，4）}、｛（4），（1，2，3）｝、{（1，2），（3，4）}、{（1，3），（2，4）}、{（1，4），（2，3）}；q=3时，为｛（1），（2），（3，4）｝、{（1），（3），（2，4）}、{（1），（4），（2，3）}、{（2），（3），（1，4）}、{（2），（4），（1，3）}、{（3），（4），（1，2）}；q=4时，为{（1），（2），（3），（4）}。

代入C-M公式得

m4（x1，x2，x3，x4）=E{x1x2x3x4}=c4（x1，x2，x3，x4）+c1（x1）c3（x2，x3，x4）+c1（x2）c3（x1，x3，x4）+c1（x3）c3（x1，x2，x4）+c1（x4）c3（x1，x2，x3）+c2（x1，x2）c2（x3，x4）+c2（x1，x3）c2（x2，x4）+c2（x1，x4）c2（x2，x3）+c1（x1）c1（x2）c2（x3，x4）+c1（x1）c1（x3）c2（x2，x4）+c1（x1）c1（x4）c2（x2，x3）+c1（x2）c1（x3）c2（x1，x4）+c1（x2）c1（x4）c2（x1，x3）+c1（x3）c1（x4）c2（x1，x2）+c1（x1）c1（x2）c1（x3）c1（x4） （2.50）

代入M-C公式得

c4（x1，x2，x3，x4）=m4（x1，x2，x3，x4）-m1（x1）m3（x2，x3，x4）-m1（x2）m3（x1，x3，x4）-m1（x3）m3（x1，x2，x4）-m1（x4）m3（x1，x2，x3）-m2（x1，x2）m2（x3，x4）-m2（x1，x3）m2（x2，x4）-m2（x1，x4）m2（x2，x3）+2m1（x1）m1（x2）m2（x3，x4）+2m1（x1）m1（x3）m2（x2，x4）+2m1（x1）m1（x4）m2（x2，x3）+2m1（x2）m1（x3）m2（x1，x4）+2m1（x2）m1（x4）m2（x1，x3）+2m1（x3）m1（x4）m2（x1，x2）-6m1（x1）m1（x2）m1（x3）m1（x4）=E［x1x2x3x4］-E［x1］E［x2x3x4］-E［x2］E［x1x3x4］-E［x3］E［x1x2x4］-E［x4］E［x1x2x3］-E［x1x2］E［x3x4］-E［x1x3］E［x2x4］-E［x1x4］E［x2x3］+2E［x1］E［x2］E［x3x4］+2E［x1］E［x3］E［x2x4］+2E［x1］E［x4］E［x2x3］+2E［x2］E［x3］E［x1x4］+2E［x2］E［x4］E［x1x3］+2E［x3］E［x4］E［x1x2］-6E［x1］E［x2］E［x3］E［x4］ （2.51）

在实际应用中，常用的是零均值实平稳随机过程，则式（2.45）～式（2.51）可简化为

c1=m1=0 （2.52）c2x（τ）=E［x（n）x（n+τ）］=Rx（τ） （2.53）c3x（τ1，τ2）=E［x（n）x（n+τ1）x（n+τ2）］ （2.54）c4x（τ1，τ2，τ3）=E{x（n）x（n+τ1）x（n+τ2）x（n+τ3）}-E［x（n）x（n+τ1）］E［x（n+τ2）x（n+τ3）］-E［x（n）x（n+τ2）］E［x（n+τ1）x（n+τ3）］-E［x（n）x（n+τ3）］E［x（n+τ1）x（n+τ2）］=E［x（n）x（n+τ1）x（n+τ2）x（n+τ3）］-Rx（τ1）Rx（τ3-τ2）-Rx（τ2）Rx（τ3-τ1）-Rx（τ3）Rx（τ2-τ1） （2.55）

式中，Rx（τ）为其自相关函数。

由以上分析可知，对于零均值的实平稳随机过程，其二、三阶累积量与二、三阶矩相等，但高阶累积量与矩不同。

6．高阶矩和高阶累积量的特性［28］

（1）数乘特性。设αi（i=1，2，…，n）为常数，xi（i=1，2，…，n）为随机变量，则有

（2）对称性。高阶矩和高阶累积量关于其变量对称。即

m（x1，x2，…，xn）=m（xi1，xi2，…，xin） （2.58）

c（x1，x2，…，xn）=c（xi1，xi2，…，xin） （2.59）

式中，（i1，i2，…，in）是关于（1，2，…，n）的任意一种排列。

（3）可加性。高阶矩和高阶累积量关于其变量具有可加性。即

m（y+z，x1，x2，…，xn）=m（y，x1，x2，…，xn）+m（z，x1，x2，…，xn） （2.60）

c（y+z，x1，x2，…，xn）=c（y，x1，x2，…，xn）+c（z，x1，x2，…，xn） （2.61）

即和的高阶矩（或累积量）等于高阶矩（或累积量）的和。

（4）独立性。若随机变量xi（i=1，2，…，n）和随机变量yi（i=1，2，…，n）相互独立，则有

c（x1+y1，x2+y2，…，xn+yn）=c（x1+y1）+c（x2+y2）+…+（xn+yn） （2.62）

而在一般情况下

m（x1+y1，x2+y2，…，xn+yn）≠m（x1+y1）+m（x2+y2）+…+（xn+yn） （2.63）

（5）互补性。若n个随机变量xi（i=1，2，…，n）的一个子集与其他部分（即其补集）相互独立，则有

c（x1，x2，…，xn）=0 （2.64）

而在一般情况下

m（x1，x2，…，xn）≠0 （2.65）

（6）常数相加。设α为常数，则

c（x1+α，x2，…，xn）=c（x1，x2，…，xn） （2.66）

7. Gauss随机变量的高阶矩和高阶累积量

（1）对于单个高斯随机变量。设随机变量x服从高斯分布N（0，σ2），则其概率密度函数为

根据式（2.1）定义，其第一特征函数为

由上式和式（2.3）得

m1=0； m2=σ2； m3=0， m4=3σ4 （2.75）

推广到任意整数k，可得到Gauss随机变量的矩为

对式（2.70）求各阶导数得［23］

Ψ′（ω）=-σ2ω （2.77）

Ψ″（ω）=-σ2 （2.78）

Ψ（k）（ω）=0， k=3，4，… （2.79）

由上式和式（2.7）得

c1=0； c2=σ2； ck=0，k≥3 （2.80）

由以上分析可知：服从Gauss分布的随机变量，其一阶和二阶累积量恰好是其均值和方差，高阶累积量（三阶以上各阶）均为零。高阶矩仅取决于二阶矩，即高阶矩的信息是冗余的，在这一意义上也就是高阶累积量对高斯随机过程是“盲的”。

（2）对于多个Gauss随机变量。对于n维Gauss随机变量X=［x1，x2，…，xn］T，设其均值和协方差矩阵分别为

式中，cik=E［（xi-ai）（xk-ak）］，（i，k=1，2，…，n）。

n维Gauss随机变量的联合概率密度函数为

第一、第二联合特征函数分别为

式中，ω=［ω1，ω2，…，ωn］T。

根据式（2.40）可知［22］

当k=1时，即k1，k2，…，kn只有一个为1，其余为零。设ki=1，得

当k=2时，有两种可能，一种是k1，k2，…，kn中有两个为1，其余为零。设ki=kj=1，得

另一种是k1，k2，…，kn中有一个为2，其余为零。设ki=2，得

当k≥3时，由于Ψ（ω）是关于ω的二次多项式，故其三阶和三阶以上导数均为零。即

ck1k2…kn=0 （k1+k2+…+kn≥3） （2.89）

由以上分析可知，高阶累积量对Gauss过程不敏感（高阶累积量均为零），当加性噪声为高斯有色噪声时，高阶累积量从理论上可完全消除其影响，但高阶矩不具备这一性质。因此，在信号分析与处理中，常使用高阶累积量，而不使用高阶矩。

2.1.2 高阶谱

1．高阶谱的定义

设高阶矩mkx（τ1，τ2，…，τk-1）是绝对可和的，即

则k阶矩谱定义为k阶矩的k-1维离散Fourier变换，即

设高阶累积量ckx（τ1，τ2，…，τk-1）是绝对可和的，即

则k阶累积量谱定义为k阶累积量的k-1维离散Fourier变换

习惯上，高阶累积量谱简称为高阶谱或多谱，意即多个频率的谱。最常用的是三阶谱和四阶谱。在一般情况下，三阶谱又称为双谱，四阶谱由称为三谱。

当k=2时

称为二阶谱或功率谱（Power Spectrum）。

当k=3时

称为三阶谱或双谱（Bispectrum）。

当k=4时

称为四阶谱或三谱（Trispectrum）。

2．离散信号的双谱及三谱

设x（k）（k=0，±1，±2，…）为确知信号，其Fourier变换为

其功率谱定义为

P（ω）=X（ω）X*（ω） （2.98）

其双谱定义为

B（ω1，ω2）=X（ω1）X（ω2）X*（ω1+ω2） （2.99）

其三谱定义为

T（ω1，ω2，ω3）=X（ω1）X（ω2）X（ω3）X（ω1+ω2+ω3） （2.100）

3．双谱的性质

设{x（n）}为零均值的三阶平稳随机过程，得其三阶累积量和双谱分别为

从上面两式可以看出，双谱具有以下主要特性：

（1）双谱含有幅度信息和相位信息，一般为复数，即

B（ω1，ω2）=｜B（ω1，ω2）｜ejøB（ω1，ω2） （2.103）

（2）双谱是以2π为周期的双周期信号，即

B（ω1，ω2）=B（ω1+2π，ω2+2π） （2.104）

（3）双谱具有广泛的对称性，即［29］

B（ω1，ω2）=B（ω2，ω1）=B*（-ω1，-ω2）=B*（-ω2，-ω1）=B（-ω1-ω2，ω2）=B（-ω1-ω2，ω1）=B（ω1，-ω1-ω2）=B（ω2，-ω1-ω2） （2.105）

4．随机信号通过线性时不变系统的高阶分析

设x（n）为均值为零的平稳离散随机序列，h（n）为线性时不变系统的冲激响应，则输出为

输出信号的自相关函数为

其Fourier变换即功率谱为

Py（ω）=H（ω）H*（ω）Px（ω）=｜H（ω）｜2Px（ω） （2.108）

若x（n）为非Gauss序列，则输出信号的三阶累积量为三次相关函数，即

对上式进行Fourier变换，并利用下式

e-j（τ1ω1+τ2ω2）=e-jmω1e-jnω2ejl（ω1+ω2）e-j［（τ1+l-m）ω1+（τ2+l-n）ω2］ （2.110）

得输入输出的双谱关系为

By（ω1，ω2）=H（ω1）H（ω2）H*（ω1+ω2）Bx（ω1，ω2） （2.111）

当x（n）为零均值、非Gauss、独立同分布（independently identically distributed，IID）的随机序列时，根据式（2.20），有下列关系

r2x（n）=E［x2］=， c3x（τ1，τ2）=E［x3］=r3x（τ1，τ2）δ（τ1，τ2） （2.112）

这表示在式（2.109）中，只有τ1+l-m=τ2+l-n=0，即m=τ1+l，n=τ2+l的项不为零。

代入式（2.109）得

由于歪斜度r3x是表征分布的对称特性，故对于一些概率密度函数是对称或接近对称的分布，其三阶累积量为零或很小。因此，在有些情况下要使用四阶累积量。

式（2.114）中，r4x=c4x（τ1，τ2，τ3）=E［x4］-3σ4称为峰度（或峰态）。

将上式推广到N阶累积量，得

式（2.115）和式（2.116）是BARTLETT M S［30］和BRILLINGER D B等［31］分别于1955年和1967年推导证明的，称为Bartlett-Brillinger-Rosenblatt公式，简称BBR公式。

对式（2.116）进行Z变换，则得到

BN-1y（z1，z2，…，zN-1）=rNxH（z1）H（z2）…H（zN-1） （2.117）

式（2.117）是BBR公式的另一种表示形式。

5．双谱用于相位系统的识别

（1）最小相位系统。传输函数

H1（z）=（1-az-1）（1-bz-1）， 0<a<1，0<b<1 （2.118）

系统输出

Y（z）=H1（z）X（z）=［1-（a+b）z-1+abz-2］X（z） （2.119）

y（n）=x（n）-（a+b）x（n-1）+abx（n-2） （2.120）

（2）混合相位系统。传输函数

H2（z）=（1-az）（1-bz-1）， 0<a<1，0<b<1 （2.121）

系统输出

Y（z）=H1（z）X（z）=［1-az-bz-1+ab］X（z） （2.122）

y（n）=-ax（n+1）+（1+ab）x（n）-bx（n-1） （2.123）

（3）最大相位系统。传输函数

H1（z）=（1-az）（1-bz）， 0<a<1，0<b<1 （2.124）

系统输出

Y（z）=H1（z）X（z）=［1-（a+b）z+abz2］X（z） （2.125）

y（n）=x（n）-（a+b）x（n+1）+abx（n+2） （2.126）

上述各式中，y（n）为输出；x（n）为输入。

3个相位系统输出信号的自相关函数及三阶累积量如表2.1所示。

由表2.1可以看出，3个系统的输出具有相同的自相关函数和功率谱，但双谱不同，故可用双谱对上述3个系统进行区分。

2.1.3 倒谱

倒谱的概念最早由Bogert等人提出，属于非参数处理方法。目前在信号处理、生物医学工程、图像处理等领域应用广泛。

1．倒谱的概念

离散信号x（n）的倒谱定义为

式（2.127）中，X（z）为x（n）的z变换；Z-1［·］表示z的逆变换。

对于高阶谱，可采用同样的方法给予定义。

倒双谱定义为信号x（n）的三阶累积量（即双谱）的z的二维逆变换，即

式（2.128）中，［·］表示z的二维逆变换。

倒三谱定义为信号x（n）的四阶累积量（即三谱）的z的三维逆变换，即

式（2.129）中，［·］表示Z的三维逆变换。

2．倒谱的性质［28］

考虑一个非因果、非最小相位信号x（n），其z变换可表示为

式（2.130）中，A为一常数；r为一整数；｜ai｜<1，｜bj｜<1，｜cm｜<1，｜dn｜<1。

（1）倒谱的衰减很快，至少是1/n的速度，即

式（2.131）中，C为一常数；α=max{｜ai｜，｜bj｜，｜cm｜，｜dn｜}。

（2）若x（n）是最小相位型的（单位元外无零极点），则

=0， n<0 （2.132）

（3）若x（n）是最大相位型的（单位元内无零极点），则

=0， n>0 （2.133）

3．随机信号通过线性系统的倒谱分析

设传输函数H（z）可分解为

H（z）=αI（z-1）O（z） （2.134）

式（2.134）中，α为比例因子；I（z）为最小相位多项式，其所有的零点均位于z平面的单位圆内，表达式为

O（z）为最大相位多项式，其所有的零点均位于z平面的单位圆外，表达式为

根据BBR公式（见式（2.116））可知，系统输出的三阶累积量（双谱）为

将式（2.134）代入式（2.137）得

对上式取自然对数得

再对上式进行二维逆Z变换得

式（2.140）中，称为最小相位差分倒谱系数，它包含了信道的最小相位信息；称为最大相位差分倒谱系数，它包含了信道的最大相位信息。

同理，根据BBR公式（见式（2.116））可知，系统输出的四阶累积量（三谱）为

T3y（ω1，ω2，ω3）=r4xH（ω1）H（ω2）H（ω3）H*（ω1+ω2+ω3） （2.141）

即

T3y（ω1，ω2，ω3）=r4xH（ejω1）H（ejω2）H（ejω3）H（e-j（ω1+ω2+ω3）） （2.142）

对上式两边取自然对数得

lnT3y=lnr4x+lnH（ejω1）+lnH（ejω2）+lnH（ejω3）+lnH（e-j（ω1+ω2+ω3）） （2.143）

由式（2.134）可知

将式（2.144）、式（2.145）代入式（2.143）得

可求得倒三谱具有以下的形式［32］

式（2.147）中，称为最小相位差分倒谱系数，包含了信道的最小相位信息；称为最大相位差分倒谱系数，它包含了信道的最大相位信息。

在以上倒双谱和倒三谱的推导中，前者采用z的逆变换，后者采用Fourier逆变换。通过分析可知，系统的倒双谱和倒三谱为无限长，且对于最小相位系统，B（τ）=0，对于最大相位系统，A（τ）=0。

2.1.4 过采样

过采样（Over Sampling，OS）也称分数间隔采样（Fractional Sample，FS），是指对接收信号以高于波特率（baud rate）的速率进行采样。设采样系数β是采样速率高于Nyquist采样速率的倍数，则采样速率为

fs=2βfH （2.148）

式（2.148）中，fs是采样速率；fH是信号带宽或信号最高频率。

在数字通信系统中，若发送信号的码元间隔为T，则一般采样间隔为1/T。若采用T/P（P>1且为正整数）进行采样，则为过采样。过采样可以有两种物理解释［32］：

（1）接收信号的采样间隔T/P为码元间隔T的1/P倍，故这样的采样称为分数间隔采样，简称分数采样（Fractionally Sampling）；

（2）若用波特率1/T采样的接收信号的样本个数为N，则使用速率T/P对接收信号采样得到的样本数为NP，属“过多”采样的结果，故也可将这种采样理解为一种过采样。

由此可知，分数采样和过采样只是同一采样方式的两种不同叫法而已。