4.1　多项式

多项式在代数中占有重要的地位，广泛用于数据插值、数据拟合和信号与系统等应用领域。MATLAB提供了多项式的创建和各种多项式的运算方法，处理起来非常简单方便。

4.1.1　多项式的创建

一个多项式按降幂排列为

在MATLAB中多项式的各项系数用一个行向量表示，使用长度为n＋1的行向量按降幂排列，多项式中某次幂的缺项用0表示，则表示为

例如，多项式p₁（x）=x³﹣2x²＋4x＋6，在MATLAB中可以表示为p₁=[1，﹣2，4，6]；p₂（x）=x³＋3x＋6可表示为p₂=[1，0，3，6]。

在MATLAB中，创建一个多项式，可以用poly2str和poly2sym函数实现，其调用格式如下：

其中，f=poly2str（p，'x'）表示创建一个系数为p，变量为x的字符串型多项式；f=poly2sym（p）表示创建一个系数为p，默认变量为x的符号型多项式。两者在命令窗口的显示形式类似，但数据类型是不一样的，一个是字符串型，另一个是符号型。

【例4-1】　已知多项式系数为p=[1，﹣2，4，6]，分别用poly2str（p，'x'）和poly2sym（p）创建多项式，比较它们有什么不同。

程序代码如下：

显然，两种函数创建的多项式f1和f2显示形式类似，但数据类型和大小都不一样，如图4-1所示。

4.1.2　多项式的值和根

1．多项式的值

在MATLAB里，求多项式的值可以用polyval和polyvalm函数。它们的输入参数都是多项式系数和自变量，两者区别是前者是代数多项式求值，后者是矩阵多项式求值。

1）代数多项式求值

polyval函数可以求代数多项式的值，其调用格式为

其中，p为多项式的系数，x为自变量，当x为一个数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵的每个元素求多项式的值。

【例4-2】　已知多项式为f（x）=x³﹣2x²＋4x＋6，分别求x₁=2和x=[0，2，4，6，8，10]向量的多项式的值。

程序代码如下：

程序运行结果：

2）矩阵多项式求值

polyvalm函数以矩阵为自变量求多项式的值，其调用格式为

其中，p为多项式系数，X为自变量，要求为方阵。

MATLAB用polyvalm和polyval函数求多项式的值是不一样的，因为运算规则不一样。例如，假设A为方阵，p为多项式x²﹣5x＋6的系数，则polyvalm（p，A）表示A∗A﹣5∗A＋6∗eye（size（A）），而polyval（p，A）表示A∗A﹣5∗A＋6∗ones（size（A））。

【例4-3】　已知多项式为f（x）=x²﹣3x＋2，分别用polyvalm和polyval函数，求的多项式的值。

程序代码如下：

程序运行结果：

2．多项式的根

一个n次多项式有n个根，这些根有实根，也有可能包含若干对共轭复根。MATLAB提供了roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为

其中，p为多项式的系数向量，r为多项式的根向量，r（1），r（2），…，r（n）分别表示多项式的n个根。

MATLAB还提供了一个由多项式的根，求多项式的系数的函数poly，其调用格式为

其中，r为多项式的根向量，p为由根r构造的多项式系数向量。

【例4-4】　已知多项式为f（x）=x⁴＋4x³﹣3x＋2。

（1）用roots函数求该多项式的根r。

（2）用poly函数求根为r的多项式系数。

程序代码如下：

程序运行结果：

显然，roots和poly函数的功能正好相反。

4.1.3　多项式的四则运算

多项式之间可以进行四则运算，其结果仍为多项式。在MATLAB中，用多项式系数向量进行四则运算，得到的结果仍为多项式系数向量。

1．多项式的加减运算

MATLAB没有提供多项式加减运算的函数。事实上多项式的加减运算，是合并同类型，可以用多项式系数向量相加减运算。如果多项式阶次不同，则把低次多项式系数不足的高次项用0补足，使得多项式系数矩阵具有相同维度，以便进行加减运算。

2．多项式乘法运算

在MATLAB中，两个多项式的乘积可以用函数conv实现。其调用格式为

其中，p1和p2是两个多项式的系数向量；p是两个多项式乘积的系数向量。

3．多项式除法运算

MATLAB可以用函数deconv实现两个多项式的除法运算。其调用格式为

其中，q为多项式p1除以p2的商式；r为多项式p1除以p2的余式。q和r都是多项式系数向量。

deconv是conv的逆函数，即满足p1=conv（p2，q）＋r。

【例4-5】　已知两个多项式为f（x）=x⁴＋4x³﹣3x＋2，g（x）=x³﹣2x²＋x。

（1）求两个多项式相加f（x）＋g（x）和两个多项式相减f（x）﹣g（x）的结果。

（2）求两个多项式相乘f（x）×g（x）和两个多项式相除f（x）/g（x）的结果。

程序代码如下：

程序运行结果：

4.1.4　多项式的微积分运算

1．多项式的微分

对于n阶多项式p（x）=a_nxⁿ＋a_n﹣1x^n﹣1＋…＋a₁x¹＋a₀的求导，其导数为n﹣1阶多项式dp（x）=na_nx^n﹣1＋（n﹣1）a_n﹣1x^n﹣2＋…＋a₁。原多项式及其导数多项式的系数分别为p=[a_n，a_n﹣1，…，a₁，a₀]，d=[na_n，（n﹣1）a_n﹣1，…，a₁]。

在MATLAB中，可以用polyder函数来求多项式的微分运算，polyder函数可以对单个多项式求导，也可以对两个多项式乘积和商求导，其调用格式如下：

【例4-6】　已知两个多项式为f（x）=x⁴＋4x³﹣3x＋2，g（x）=x³﹣2x²＋x。

（1）求多项式f（x）的导数。

（2）求两个多项式乘积f（x）∗g（x）的导数。

（3）求两个多项式相除g（x）/f（x）的导数。

程序代码如下：

程序运行结果：

2．多项式的积分

对于n阶多项式p（x）=a_nxⁿ＋a_n﹣1x^n﹣1＋…＋a₁x¹＋a₀，其不定积分为n＋1阶多项式，其中k为常数项。原多项式和积分多项式分别可以表示为系数向量p=[a_n，a_n﹣1，…，a₁，a₀]，I=。

在MATLAB中，提供了polyint函数用于多项式的积分。其调用格式为

显然polyint是polyer的逆函数，即有p=polyder（I）。

【例4-7】　求多项式的积分I=∫（x⁴＋4x³﹣3x＋2）dx。

程序代码如下：

程序运行结果：

4.1.5　多项式的部分分式展开

由分子多项式B（s）和分母多项式A（s）构成的分式表达式进行多项式的部分分式展开，表达式如下：

MATLAB可以用residue函数实现多项式的部分分式展开，residue函数的调用格式如下：

其中，B为分子多项式系数行向量；A为分母多项式系数行向量；[p₁；p₂；…；p_n]为极点列向量；[r₁；r₂；…；r_n]为零点列向量；k为余式多项式行向量。

residue函数还可以将部分分式展开式转换为两个多项式的除的分式，其调用格式为

【例4-8】　已知分式表达式为。

（1）求f（s）的部分分式展开式。

（2）将部分分式展开式转换为分式表达式。

程序代码如下：

程序运行结果：