1.1.3　集合的特征函数

现在给出集合的特征函数的定义，它在把经典集合推广为模糊集合的过程中起到重要作用，是定义模糊集合的关键。

定义1.5　设A∈P（U），具有如下性质的映射

χ_A：U→{0，1}，；称为集合A的特征函数。

由定义可知，集合A与其特征函数χ_A（x）互相唯一确定。

下面是特征函数与集合之间的几个基本关系：U为论域，x为U中任意元素。

（1）A=U⇔χ_A（x）≡1，A=ϕ⇔χ_A（x）≡0；

（2）A⊆B∈P（U）⇔χ_A（x）≤χ_B（x）；

（3）A=B∈P（U）⇔χ_A（x）=χ_B（x）。

这个性质表明U的任一子集A完全由它的特征函数确定。

特征函数还满足：

χ_A∪B（x）=χ_A（x）∨χ_B（x）；

χ_A∩B（x）=χ_A（x）∧χ_B（x）；

χ_Ac（x）=1-χ_A（x）。

此处“∨”是上确界“sup”或理解为“取大”，“∧”是下确界“inf”或理解为“取小”。