第一章 实数的概念与运算

一、实数的概念

1．实数的分类

（1）自然数与整数．

用来表示物体个数的数，即0,1,2, …称为自然数．…, -3, -2, -1,0,1,2, 3, …统称整数．

（2）分数与百分数．

①把1分为m等份，表示其中n份的数，称为分数，记为，其中m表示分母，n表示分子．读为m分之n.

当m＞n时，称为真分数，如,.

当m≤n时，称为假分数，如,.

由一个整数和一个真分数合成的数称为带分数，如,.

当m, n互为质数时，称为最简分数．

②分母为100的分数，称为百分数．百分数也叫做百分率或百分比，表示一个数是另一个数的百分之几．百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“%”（叫做百分号）来表示．

③分数的基本性质：

分数的分子、分母同乘或同除以一个非零数，其值不变．即

把一个分数化为与它等值，但分子、分母都较小的分数，称为约分．公约数为1的两个数称为互为质数，分子、分母互质的分数称为最简分数．根据基本性质，可把分数化为最简分数．

把几个异分母的分数分别化为与原分数等值的同分母分数，称为通分．通常，通分是将各分数化为分母同为各分数原分母的最小公倍数的分数．

（3）有理数与无理数．

任何可表为形如（其中m, n为整数，且m≠0）的数，称为有理数．正整数、负整数、正分数、负分数及零，统称有理数．有理数可表为有限小数或无限循环小数．

含有根式且不能用有理数表示的数，称为无理数．无理数可表为无限不循环小数．

（4）实数．

有理数和无理数统称实数，实数集通常用R表示．

2．实数的性质

实数与数轴上的点一一对应．实数x既可称数x，也可称为数轴的点x.

实数的有序性，即若a, b是任意两个实数，则必有a＞b，或a＜b，或a=b.

若x为实数，则有x2≥0.

例1 如果将整数看作小数点后面是0的小数，下面分类中，不正确的是

解 由实数的概念，D是正确的，按大小分类，B是正确的，由有理数和无理数的概念，C正确，又由整数的概念，E正确，综上分析仅A不正确，故本题应选A.

例2 下列说法中错误的是

A.m≥0时，一定是实数

B．无理数与有理数的和、差必为无理数

C．无理数与有理数的积必为无理数

D.a, b为实数，若a＞b，则必有＞

E.a, b为任意两个不等实数，则a, b之间存在无穷多个实数

解 由于0是有理数，任何无理数乘0都为0，因此，C不正确．故本题应选C.

例3 实数a, b, c在数轴上的位置如图1—1—1，下列各式成立的是

A.a+b＞b+c

B.a-b＞b-c

C.ac＞bc

D.

E．以上结论均不正确

解 由图知，a＞b＞0＞c，因此有a+b＞b+c成立．故本题应选A.

例4 某厂生产一批产品，共分一等品、二等品和三等品三个等级，其中一等品和二等品为合格品．现经检测，一等品与二等品的比例是7∶3，二等品与三等品的比例是4∶1．则该批产品的合格率为

A.90%

B.91.3%

C.92.6 %

D.93 %

E.95.2%

解 先求出各种等级产品的连比．由题设，一等品与二等品的比例是7∶3，二等品与三等品的比例是4∶1．于是可通过二等品建立连比关系．将7∶3变为28∶12,4∶1变为12∶3，从而有

一等品∶二等品∶三等品=28∶12∶3

因此，该批产品的合格率为

故本题应选D.

例5 某人二月份持有的股票市值比一月份增长了10%，但三月份其股票市值比二月份又减少10%，则三月份该股票市值与一月份相比

A．没有变化

B．减少1%

C．增加1%

D．减少2%

E．增加2%

解 若设一月份股票市值为a，则二月份市值为a（1+10%）．三月份市值为

a（1+10 %）（1-10 %）=a（1-1 %）

即三月份的股票市值比一月份减少了1%．故本题应选B.

二、实数的运算

1．实数的四则运算

（1）实数的四则运算．

实数的加法、减法、乘法和除法运算统称实数的四则运算．

（2）四则运算的运算律．

①交换律a+b=b+a

a×b=b×a

②结合律a+b+c=a+（b+c）=（a+b）+c

a×b×c=（a×b）×c=a×（b×c）

③分配律a×（b+c）=a×b+a×c

（a+b）×c=a×c+b×c

（3）数的整除．

当整数m除以整数n，除得的商是整数而无余数时，称m能被n整除，当m能被n整除，则称m是n的倍数，n是m 的约数．几个数共有的倍数称为这几个数的公倍数．几个数共有的约数称为这几个数的公约数．

只能被1和它自身整除，且大于1的自然数，称为质数（素数）；除1和它自身之外，还能被其他自然数整除的正整数，称为合数．

例如，2,3,5,7, …都是质数；4,6,8,9, …都是合数．自然数1既不是质数，也不是合数．

2．比与比例

（1）比．

两实数a与b相除，称为a与b的比，记为a∶b, a∶b=,a称为比的前项，b称为比的后项，称为比值．

若c≠0，则.

（2）比例．

两比相等称为比例，记为a∶b=c∶d，或=.a, d称为比例外项，b, c称为比例内项．

（3）比例的性质．

如果a∶b=c∶d，则有：

①a·d=b·c（基本定理）.

②a∶c=b∶d或d∶b=c∶a（更比定理）.

③（合比定理）.

④（分比定理）.

⑤（合分比定理）.

⑥设a∶a1=b∶b1=c∶c1，即a∶b∶c=a1∶b1∶c1，则

（等比定理）

⑦若y与x成正比（记作y∝x），则y∶x=k或y=kx，其中k为比例常数．

⑧若y与x成反比（记作y∝），则y∶=k或xy=k，其中k为比例常数．

3．实数的乘方与开方运算

（1）乘方运算．

①当实数a≠0, n为正整数时，则a0=1, a-n=.

②负实数的奇次幂仍为负数，负实数的偶次幂为正数．

（2）开方运算．

①在实数范围内，负实数无偶次方根，零的偶次方根是零，正实数的偶次方根有两个，且互为相反数．其中正的偶次根称为算术根．

②在运算有意义的前提下，.

4．绝对值

（1）绝对值．

实数a的绝对值用|a|表示，并定义

实数a的绝对值在数轴上表示点a到原点的距离．

（2）实数的绝对值有以下性质：

①|a |≥0.

②|-a = a|.

③对任意实数a，总有-|a |≤a≤| a|.

④ |a| -|b| ≤ |a±b |≤ |a |+|b|.

⑤ |ab| = |a|·|b|.

5．平均值与方差

（1）平均值．

设x1, x2, …, xn为n个实数，则

称为这n个数的算术平均数．

设x1, x2, …, xn为n个正实数，则

xg=n

称为这n个数的几何平均数．

特别地，当n=2时，xg=称为x1, x2的比例中项．

可以证明n个正数的算术平均数与几何平均数有以下不等式关系

当且仅当x1=x2=…=xn时，等号成立．

特别地，当n=2时，有.

（2）方差与标准差．

在许多实际问题中，我们经常对所研究的对象进行观测或试验，以获取有关数据，并利用这些数据研究随机现象的统计规律．

一般地，我们把研究对象的全体称为总体，把构成总体的每一个成员（或元素）称为个体．

为了研究总体的某个数量指标，从总体中抽取若干个体观测，设第i次抽取所得到的观测值为xi（i=1,2, …, n），则称x1, x2, …, xn为样本值．记样本均值为

则样本方差

样本方差反映了样本值与样本平均值偏离的平均水平．

样本方差的算术根称为样本标准差．记为

在统计应用中，经常使用修正样本方差

例6 一辆出租车有段时间的运营全在东西走向的一条大道上，若规定向东为正，向西为负，且知该车行驶公里数依次为-10, +6, +5, -8, +9, -15,12，则将最后一名乘客送到目的地时，该车的位置

A．在首次出发地东面1公里处

B．在首次出发地西面1公里处

C．在首次出发地东面2公里处

D．在首次出发地西面2公里处

E．仍在首次出发地

解 依题设，所示里程数为正时，表示出租车向东行驶里程数，里程数为负时，表示出租车向西行驶里程数．于是由

-10+6+5-8+9-15+12=-1

表示该出租车将最后一名乘客送到目的地时，该车的位置在首次出发地西面1公里处．故本题应选B.

例7 已知0＜x＜1，那么在x,, ,, x2中，最大的数是

A.x

B.

C.

D.

E.x2

解 由题设，0＜x＜1，则有

故本题应选B.

例8 50能被25整除，25能被5整除，所以50是25和5的

A．公约数

B．最大公约数

C．公倍数

D．最小公倍数

E．以上结论均不正确

解 由50能被25和5整除，所以是25和5的公倍数，但非最小公倍数．50不能整除25和5，因此不是25和5的公约数．故本题应选C.

例9 如果正整数n的13倍除以10的余数为9，那么n的最末一位数字是

A.2

B.3

C.5

D.6

E.9

解 依题意13×n的最末一位数应是9，可以验证，仅13×3=39符合要求．故本题应选B.

例10 某数的平方根为2a+3与a-15，这个数是

A.121

B.11

C.±11

D.4

E.169

解 根据平方根的概念，2a+3与a-15互为相反数，应有2a+3+a-15=0，解得a=4，因此这个数应为（4-15）2=121，故本题应选A.

例11 某人下午3点出门赴约，若他每分钟走60米，会迟到5分钟，若他每分钟走75米，会提前4分钟到达．他原定的下午约会时间是

A.3点50分

B.3点45分

C.3点40分

D.3点35分

E.3点30分

解 设出门到赴约地点距离为x米，从而有

解得x=2700（米）．因此，他需行走时间为+4=40（分钟），即约会时间为下午3点40分．故本题应选C.

例12 已知y=y1-y2，且y1与成反比，y2与成正比，当x=1时，y=-；又当x=-1时，y=-，那么y可以用x表示的式子是

A.y=-

B.y=-

C.y=-

D.y=-

E.y=

解 依题设，y1与成反比，设比例数为k1，则有y1==k1x2, y2与成正比，设比例系数为k2，则有y2=k2x，从而有

y=y1-y2=k1x2-k2x

分别将x=1和x=-1代入有

k1-k2=-，k1-k2=-

解得k1=,k2=3，因此y=-3 x+2 .故本题应选E.

例13 某商店将每套服装按原价提高50%后，再做7折“优惠”，这样每售出一套服装可获利625元，已知每套服装的销售成本是2000元，该店按“优惠价”售出一套服装比原价售出

A．多赚100元

B．少赚100元

C．多赚115元

D．少赚125元

E．多赚125元

解 依题意，优惠价为2000+625=2625元．若设原价为x元，则有方程

（1+50%）×0.7×x=2625，即1.05x=2625

解得x=2500（元），于是“优惠”后每售出一套服装，可多赚2625-2500=125（元）.

故本题应选E.

例14 已知=1，则=1的值为

A.±

B.

C.±

D.或1

E．不能确定

解 由已知，，即，故有，故本题应选B.

例15 在数轴上表示x的点在原点左侧，则化简的结果是

A.2x

B.-2x

C.4x

D.-4x

E．以上结果均不正确

解 依题设x＜0，因此．故本题应选D.

例16 已知=2，则等于

A.

B.3

C.或3

D.或

E.或3

解 由已知=2（x-y），于是

当x+y≥0时，x+y=2（x-y），解得=3

当x+y＜0时，x+y=-2（x-y），解得=13

故本题应选C.

例17 若实数a, b, c是满足a＞b＞c＞1的3个正整数，如果它们的算术平均值为，几何平均值为4，则b的值为

A.2

B.4

C.8

D.10

E．不能确定

解 由已知，，即a+b+c=14,=4，即abc=64，

从而知a, b, c均能整除64，又由a＞b＞c＞1，知能整除64的值为2,4,8,16,32，由于a+b+c=14, a, b, c的取值按从大到小只能是8,4,2．因此b=4．故本题应选B.

例18 设a, b, c是小于12的三个不同的质数（素数），且|a|-|b|+|b|-|c|+|c|-|a|=8，则a+b+c=

A.10

B.12

C.14

D.15

E.19

解 不妨设0＜a＜b＜c，则

|a-b|+|b-c|+|c-a|=b-a+c-b+c-a

=2（c-a）=8

可得c-a=4，又小于12的质数有2,3,5,7,11．满足c-a=4且a＜b＜c的质数，只有c=7, b=5, a=3．所以a+b+c=15.

本题应选D.

例19（条件充分性判断）a, b为两个负实数．

（1）a+b＜0（2）＞0

解 仅由条件（1）和（2）均不能确保a, b为负数，若将两条件合并，由＞0知a, b同号，又由a+b＜0可确定a, b为负实数．故本题应选C.

例20（条件充分性判断）某班学生中，的女生和的男生是团员，则女生团员人数是男生团员人数的.

（1）女生人数与男生人数比为4∶5（2）女生人数与男生人数比为5∶6

解 由条件（1），可设女生和男生人数分别为4a,5a，则女生团员人数与男生团员人数之比为4a×∶5a×=3∶4，条件充分．

由条件（2），可设女生和男生人数分别为5a,6a，则女生团员人数与男生团员人数之比为5a×∶6a×=25∶32，条件不充分．

综上讨论，本题应选A.

例21（条件充分性判断）设a, b, c为实数，则≥9.

（1）a, b, c为正数（2）a+b+c=1

解 仅由条件（1）和（2）均不能确保结论成立．即条件（1）和（2）单独都不充分，若两条件合并，在a, b, c为正数的前提下，a, b, c的算术平均数大于几何平均数，即有

于是3，即≥9.

故本题应选C.

练习题

（A）

1．实数a, b, c在数轴上的位置如图1—1—2所示．

图中原点为O，则代数式|a+b |-|b-a|+|a-c|+c=

A.-3a+2c

B.-a-ab-2c

C.a-2b

D.3a

E.2c

2．一条长为1200m的道路的一边每隔30m立一根电线杆，另一边每隔25m栽一棵树，如果在道路入口与出口处刚好同时有电线杆与树相对而立，那么整条道路两边同时有电线杆与树相对而立的地方共有

A.7处

B.8处

C.9处

D.10处

E.11处

3．有一批零件，如果2个装一盒，余1个，如果3个装一盒，也余1个，如果4个装一盒，也余1个，如果5个装一盒，也余1个，如果6个装一盒，也余1个，那么该批零件至少有

A.121个

B.81个

C.71个

D.61个

E.51个

4.a, b是均小于10的自然数，且a与b之比是一个既约分数，而b的倒数等于，则是

A.

B.

C.

D

E.

5．已知x-y与x+y成正比，比例系数为k, y与成反比，比例系数为k+1，则k的值为

A.3

B.-3

C.1

D.-2

E.2

6．设=3∶4∶5，则使x+y+z=235成立的y取值为

A.55

B.60

C.65

D.70

E.75

7．甲、乙两种茶叶以x∶y（质量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种茶每斤40元，现甲种茶价格上涨10%，乙种茶价格下降10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x∶y等于

A.1∶1

B.2∶3

C.5∶4

D.4∶5

E.5∶6

8．要从含盐16%（质量分数）的40千克盐水中蒸去水分，制出含盐20%（质量分数）的盐水，应蒸去水分

A.8千克

B.10千克

C.11千克

D.12千克

E.14千克

9．某公司今年5月份的纯利润是a万元，如果每个月纯利润的增长率是x，那么预计7月份的纯利润将达到

A.a（1+x）2万元

B.a（1+x）万元

C.1+x万元

D.ax万元

E.a（1+x）7万元

10．若实数a, b, c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，则有

A.ab＞ac

B.ac＞bc

C.a|b |＞c|b|

D.a2＞b2＞c2

E.b3＞b2c

11．若ab≠0，则的数值不可能是

A.0

B.1

C.2

D.-2

E.±2

12．已知|x|≤1, |y|≤1，且z= |x+y|+|y+1|+|x-2y+4|最大值为M，最小值为m，则

A.M=6, m=3

B.M=7, m=3

C.M=7, m=2

D.M=6, m=2

E.M=7, m=0

13．实数x, y, z满足条件=-2y-1，则（4x-10y）z=

A.

B.-

C.

D.-

E.

14．已知x, y为正实数，x与y的算术平均值为, 与的几何平均值为，则

A.x=8, y=5

B.x=8, y=4

C.x=9, y=4

D.x=9, y=5

E.x=6, y=7

15．设a, b, c都是正数，则必有（a+b+c)

A．小于9

B．等于9

C．大于等于9

D．大于9

E．小于等于9

16．某班同学在一次测试中，平均成绩为75分，其中男同学人数比女同学多80%，而女同学平均成绩比男同学高20%，那么女同学的平均成绩为

A.90分

B.88分

C.92分

D.84分

E.80分

（B）

1．设a, b为实数，n为大于1的整数是否成立？

（1）a, b均为正数（2）a＞b

2．若x为整数，则可确定x的值．

（1）（2）（x-3）（x-4）=0

3．某车间3月份增产的数量与2月份增产的数量之比为11∶10.

（1）该车间从2月份起，每月比前一个月增产11%

（2）该车间3月份产量与2月份产量之比为11∶10

4. |3+|2-|1+x|||=-x成立．

（1）x＜-4.5（2）-4.5≤x≤-3

参考答案

（A）

1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.E 7.D 8.A 9.A 10.A 11.B 12.B 13.C 14.C 15.C 16.D

（B）

1.C 2.C 3.E 4.D