第五章 函数

一、集合

1．集合的概念

具有某种特定性质的事物的全体称为集合．构成集合的事物称为该集合的元素．

一般地，我们用大写字母A, B, …, X, Y, Z等表示集合，用小写字母a, b, …表示集合的元素．若元素a是集合A 的元素，则记为a∈A；若元素a不是集合A 的元素，则记作a∉A.

2．集合的表示

（1）列举法．按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号“{ }”括起来．

例1 由不超过4的正整数组成的集合A可表示为A={1,2,3,4}.

例2 方程x2+2x-3=0的根的集合M 可表示为M={-3,1}.

（2）描述法．设M 是具有某种特征的元素x的全体所组成的集合，则可记为

M={x|x所具有的特征}

例3 全体奇数的集合，可记为

B={x|x=2n+1, n为整数}

二、函数

1．函数的概念

设D为一个非空实数集，x, y为两个变量，如果存在一个法则，使得对于每一个x∈D, y都能由法则唯一确定一个实数值与之对应，则称y是x的函数，记做y=f（x）．其中x称为自变量，其取值范围D称为函数的定义域，y称为因变量，其取值范围为函数的值域．常用函数的表示法有：图示法、公式法和表格法．

2．函数的主要性质

（1）有界性．

设函数f（x）在集合D上有定义，如果存在一个正常数M，使得对于x在D 上的任意取值，均有|f（x）|＜M，则称函数f（x）在D上有界，否则称f（x）在D上无界．

（2）单调性．

设函数f（x）在某区间D上有定义，如果对于D上任意两点x1和x2，且x1＜x2，均有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），则称函数f（x）在D上单调增加（或单调减少）.单调增加与单调减少函数统称为单调函数．

（3）奇偶性．

设函数f（x）在关于原点对称的区间D 上有定义，如果对D 上任意点x，均有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），则称函数f（x）为偶函数（或称奇函数）.

（4）周期性．

设函数f（x）在集合D上有定义，如果存在正常数T，使得对于D上任意x，均有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数，使上式成立的最小正数为周期函数的周期．

例4 函数f（x）=的定义域为

A.（-2, -1）

B.（-1,3）

C.[-2, -1）∪[-1,3]

D.（-2, -1）∪（-1,3]

E.（-2, -1]∪[-1,3）

解 由已知函数，自变量x应满足

解得

在数轴上表示（如图1—5—1）

由此可得，定义域

D（f）=（-2, -1）∪（-1,3]

故本题应选D.

例5（条件充分性判断）F（x）=·f（x）是偶函数．

（1）f（x）是偶函数

（2）f（x）是奇函数

解 设g（x）=，因为

故g（x）为奇函数．而F（x）=f（x）·g（x），可见，当f（x）为奇函数时，F（x）为偶函数．即

F（-x）=f（-x）·g（-x）=f（x）·g（x）=F（x）

显然，条件（1）不充分，条件（2）充分，本题应选B.

三、几个重要函数

1．一元二次函数及其图象

f（x）=ax2+bx+c（a≠0）称为一元二次函数，其主要性质及图象如表1—5—1（表中Δ=b2-4ac）.

由此可知，f（x）=ax2+bx+c的图象关于直线x=-成轴对称．并且，当a＞0时，f（x）有最小值-；当a＜0时，f（x）有最大值-.

例6 二次函数y=mx2+2mx-（3-m）的图象如图1—5—2.则m的取值范围是

A.m＞0

B.m＞3

C.0＜m＜3

D.m＜3

E.m=3

解 由图1—5—2可知，该二次函数图象开口向上，必有m＞0.又函数图象与x轴有两个交点位于原点两侧，故方程mx2+2mx-（3-m）=0的两根x1, x2异号．所以

x1x2=＜0

解得m＜3．即0＜m＜3．故本题应选C.

例7（条件充分性判断）已知f（x）=x 2+ax+b，则必有a=-8, b=11.

（1）当x=4时，f（x）=x2+ax+b有最小值-5

（2）当x=2时，f（2）=5

解 由条件（1），当x=-=4时，f（x）有最小值，可得a=-8．而最小值f（4）=4 2-8 × 4+b=-5，解得b=11，故条件（1）充分．

由条件（2），有5=22+2a+b，即2a+b=1．不能确定a, b的值．条件（2）充分．

故本题应选A.

2．指数函数与对数函数

（1）指数与对数的定义．

（ⅰ）各种有理指数幂的定义．

正整数指数幂：an=（n∈N）

零指数幂：a0=1（a≠0）

负整数指数幂：a-n=（n∈N, a≠0）

正分数指数幂：（a≥0, m、n∈N, n＞1）

负分数指数幂：（a＞0, m、n∈N, n＞1）

（ⅱ）对数的定义．

若ab=N（a＞1, a≠1），那么b叫做以a为底的N 的对数．记作b=.

（ⅲ）对数的换底公式．

b（a＞0, b＞0）.

由换底公式得到如下推论：

b（a＞0, b＞0）.

（2）指数与对数的关系与比较（见表1—5—2）.

（3）指数函数、对数函数的图象和性质．

指数函数y=ax（a＞0, a≠1）的定义域为（-∞, +∞），值域为（0, +∞），都通过（0,1）点．

对数函数y=（a＞0, a≠1）的定义域为（0, +∞），都通过（1,0）点．

指数函数y=ax（a＞0, a≠1）与对数y=（a＞0, a≠1）互为反函数，其图象关于直线y=x对称．其图象及性质可参见表1—5—3.

例8（条件充分性判断）a=1.

（1）a=（lg5）3+（lg2）3+3lg5·lg2

（2）a=lg2·lg50+lg5·lg20-lg100·lg5·lg2

解 由条件（1），有

故条件（1）充分．

由条件（2），有

故条件（2）也充分．本题应选D.

例9 函数y=的定义域是

A.x＜-3

B.x＞10

C.-2＜x＜10

D.x＞7

E.x＞10且x≠11

解 由已知条件，有

化简得

解得x＞10且x≠11．故本题应选E.

例10 已知2x=3y=5z，且x, y, z都是正数，则

A.3y＜2x＜5z

B.2x＜3y＜5z

C.2x＜5z＜3y

D.5z＜2x＜3y

E.5z＜3y＜2x

解 由题设2x=3y=5z，有xlg2=ylg3=zlg5=k，因为x, y, z均为正数，可知k＞0．由此可得

于是，2x-3y=＞0，即2x＞3y

2x-5z=＜0，即2x＜5z

故有3y＜2x＜5z．本题应选A.

练习题

（A）

1．已知二次函数y=x2-2（m+1）x+m2-1的图象与x轴无交点，则

A.m＞1

B.m＞-1

C.m＜1

D.m＜-1

E.-1＜m＜1

2．若函数y=-x2+px+q的图象与x轴交于点（a,0）,（b,0），且a＞1＞b，则

A.p+q＞1

B.p+q＜1

C.p+q=1

D.p+q＜-1

E.p·q＞0

3．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的图象是

4．当x=时，二次函数f（x）有极大值25，函数图象与x轴交于两点，这两点横坐标的平方和等于13，则f（x）=

A.4x2+4x+24

B.-4x2+4x+24

C.4x2-4x-24

D.-4x2-4x+24

E.-4x2-4x-24

5．设a, b是不等于1的正数，且=，则=

A.-1

B.0

C.1

D.2

E.3

6．若=3，则=

A.

B.

C.3

D.2

E.1

7.2lg+lg-lg的值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

E.3

8．方程29x+5=的解是

A.-1或1

B.-1或

C.1或

D.

E.0或-1

9．函数y=22x-5×2x-1+1的最小值是

A.-1

B.0

C.

D.-

E.1

（B）

1.f（x）=x2-2x-3.

（1）二次函数f（x）当x=-1时有最小值-4, f（x）的图象与x轴交点的横坐标的平方和等于10

（2）二次函数f（x）的图象过点（2, -3），且以x=1为对称轴，图象与x轴两个交点的距离是4

2.f（3）=lg3.

（1）若f（3x）=x

（2）若f（10x）=x

3.+=1.

（1）3a=7b=21

（2）3a=5b=15

4.m=8.

（1）log7[log3（log2m）]=0

（2）log23·log34·log45·log56·log67·log7m=log39

5.x=4.

（1）lg（x2-x-5）=lg（2x-1）

（2）lg（8+2x+1）=2x（1-lg5）

参考答案

（A）

1.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D

（B）

1.B 2.B 3.D 4.A 5.A