目前，具有动态超声弹性成像功能的仪器大多使用了一个固体力学领域熟知的有关剪切波在无限大线弹性固体中传播的公式：

该公式描述了软组织的初始剪切模量 μ ₀、剪切波速 c与组织密度 ρ之间的简洁关系。这个在力学领域具有100多年历史的经典公式，因为超声弹性成像技术的出现和发展也被临床医生们广泛接受并使用。当假设软组织为不可压缩材料时， E=3 μ ₀，从公式（1）可得：

这里 E是上面提及的弹性模量。考虑到软组织的多样性和结构复杂性，公式（1）和（2）在临床应用方面的局限性值得关注。

首先，这两个公式仅适用于各向同性软组织，严格意义上说，软组织具有不同程度各向异性特征，但是有些软组织，如脂肪和肝脏等可近似认为是各向同性的。而骨骼肌，心脏和肾脏等软组织各向异性特征很明显。其次，公式（1）和（2）推导过程中假设弹性体为无限大，即要求软组织的尺寸要远大于剪切波的波长。因此，当这两个公式用于表征肿瘤、动脉斑块等软组织时往往不满足上面这个假设，而导致计算得到的组织弹性模量具有很大误差。另外，公式（1）和（2）在推导过程中假设弹性体中没有初应力和初始变形，但是一些软组织在体情况下是有残余应力的，如血管和心脏，另一方面，在一些浅表组织检测过程中，由于探头和软组织的接触会导致变形，也会导致推导公式（1）和（2）所需要的无初应力和初始变形假设得不到满足，而出现较大的测量误差。考虑到公式（1）和（2）在具体临床应用中面临的诸多挑战，近年来基于连续介质力学框架，相继发展了一些新的动态弹性成像分析方法。

图2-4显示了由声辐射力诱发形成的剪切波在有变形的不可压软组织中传播的情况。其中图2-4A表明，在检测过程中，探头与生物软组织的接触会导致组织产生有限变形。而图2-4B说明在声辐射力的激发下，组织内部可形成拟平面波。

在声科影像（SuperSonic）的SSI技术中 ^［30］，剪切波源以超声速沿深度方向移动，激励的移动速度远大于所引发的剪切波的传播速度。理论上，被激发形成的剪切波将相互干涉并在深度方向形成类似“马赫锥”的向左右两边传播的剪切波阵面。这里马赫角大小由剪切波速和激励源传播速度之间的比值决定，由于激励源传播速度远大于剪切波速度，因此马赫锥角非常小，从而会形成如图2-4B所示的分别向左右两边传播的拟平面波。利用超快成像技术，可以测量得到该剪切波在不同区域的波速云图（图2-4C）。本章将根据剪切波在有变形的超弹性固体材料中传播的相关理论，给出剪切波速与软组织力学特性和变形之间的关系。由于篇幅所限，详细的推导细节将略去，有兴趣的读者可以参阅相关文献 ^［44］。这里只给出关键结果。

Jiang等 ^［44］的理论分析给出如下剪切波波速和软组织密度，初始剪切模量，软组织的超弹性参数 b和软组织变形之间的关系：

b是Demiray-Fung本构模型中描述软组织硬化的超弹性参数，该本构的应变能密度函数为：

公式（3）中 λ和 ξ是表征组织形变的参数。可以看出，对于剪切波在无变形的固体中传播，即 λ=1时，公式（3）退化为经典弹性力学解，即公式（1）。根据目标组织中四个参考点的位移情况可确定参数 λ和 ξ（图2-4D）。在实际测量中，首先选择目标检测区域内的四个参考点（图2-4D），分别记为 A、 B、 C和 D。在利用探头对目标软组织进行压缩加载之后，参考点的位置将发生变化，并分别记为 A′、 B′、 C′和 D′。利用超声检测得到的图像，可以分别测量出参考点 A、 B和参考点 C、 D间的距离，表示为 l _AB和 l _CD。也可以在变形后的超声图像中分别测量出 A′、 B′和 C′、 D′之间的距离，表示为 l _{A ′ B ′}和 l _{C ′ D ′}。根据 λ= l _{A ′ B ′}/ l _AB，计算出 λ的值；进一步利用 λ ₂= l _{C ′ D ′}/ l _CD以及上述 λ，基于定义 λ ₂= λ ^{- ξ}，计算出 ξ的值。

分析表明，在0.1≤ ξ≤0.8范围内， ξ对波速的影响不显著。因此，在变形不大的情况下，计算过程中可以将 ξ取为固定常数，如取 ξ=0.6，以方便实际测量。从正问题的角度看，公式（3）可用于定量分析变形对剪切波波速的影响，从而可以指导临床操作；从反问题角度出发，基于公式（3）可以反演软组织的超弹性参数 b。例如，利用公式（3），可以在体表征乳腺腺体的非线性弹性参数 b（图2-5，图2-6）。

利用弹性成像技术区分乳腺良性肿瘤和恶性肿瘤时，乳腺组织的非线性弹性参数 b的变化可作为参考标准。在准静态弹性成像中，选择适当的压缩量对于乳腺肿瘤性质的检测至关重要。一方面，压缩量要足够大，以使其引起乳腺组织的变形可检测；另一方面，过大的压缩量可能会导致肿瘤周围组织的硬化，从而降低肿瘤在良性组织中的分辨度。因此，对于组织非线性弹性参数的定量研究可以在临床测量中帮助选择合适的压缩量。

目前，初始剪切模量 μ ₀或弹性模量已经成为了一些疾病（如乳腺肿瘤和甲状腺癌）的临床诊断指标之一。利用公式（3），可以表征软组织非线性弹性参数，如参数 b。由于一些疾病的发生不仅会改变病变组织的初始剪切模量，同时也会改变其非线性弹性特征，因此软组织的非线性弹性参数有望成为临床医学检测的新指标。

从生物组织自身的组织结构和成分构成来看，生物组织总是表现出不同程度的各向异性性质。在这些各向异性的生物组织当中，其中一类组织中存在取向一致的纤维束，例如：骨骼肌、肌腱、韧带等，这种纤维束结构的存在表明可采用横观各向同性本构模型描述这类生物组织的变形。另外，生物组织成分构成的典型特点为水含量较高，因此很多研究假定软组织是不可压缩的。对不可压横观各向同性软组织在小变形情况下，需要三个本构参数描述其变形特征。即如图2-7所示的沿纤维方向的拉伸模量和剪切模量，以及垂直纤维方向的剪切模量。已有学者 ^［32］尝试用超声弹性成像方法表征两个剪切模量，但是沿纤维方向的拉伸模量的在体表征一直是颇具挑战性的问题。最近，Li等 ^［45］基于理论分析和数值模拟建立了用剪切波弹性成像技术表征这三个独立参数的新方法（图2-8）。表2-1给出了用该方法测量得到的健康志愿者的骨骼肌弹性参数。各向异性生物软组织的弹性成像是近几年的一个热点研究问题，除了表征方法的发展，理解各向异性软组织弹性性质改变与其病理上的联系也是非常重要和关键的问题。这方面，需要相关科研人员和临床专家开展合作，在仿体和离体实验的基础上，开展系统的在体实验，建立组织力学性质和其生理、病理状态的关联，进而确定对相关组织病变敏感的特异性力学参数。例如，肌肉和肌腱的拉伤，理论上会明显改变沿纤维方向的拉伸模量，但是这一问题还缺乏充分的临床证据。