2.2 相对误差度量

在2.1节提到的误差度量都是绝对误差度量，即没有参考量。这些度量明显受评估时场景的影响，包括估计量的幅值、数据精度，以及当估计器为贝叶斯估计器时的先验信息。因此，绝对误差度量指标适合对整个估计系统的评估，而对估计算法的评估则不很理想。因此，应使用相对于某一参考量的评估准则，参考量可以是估计的幅值、先验误差、量测误差等。

2.2.1 贝叶斯估计误差商

贝叶斯估计误差商（Bayesian Estimation Error Quotient, BEEQ）是用来评估贝叶斯估计的一种相对度量[73]。对于动态的估计器，它刻画了估计精度相对于预测估计的改进；对于参数估计器，它可以理解为估计相对于先验均值x的改进。BEEQ的定义为

式中，M 为总的蒙特卡洛次数，xi、分别为第 i 次蒙特卡洛实验的待估量和估计量，为第i次蒙特卡洛实验的先验均值或预测值。

BEEQ量化的是数据对贝叶斯估计的贡献。随着误差的增加，一个近似为常值的BEEQ意味着数据对估计的贡献不显著，其量测误差远远大于; BEEQ下降的幅度可以反映出数据对估计精度的贡献。一个好的估计器，其BEEQ的值应小于1。这意味着，估计值比均值更为精确。BEEQ越小，说明估计精度相对于均值越好。

因为RMSE容易受大值主导，不推荐使用RMSE形式：

代数平均形式（其中）也不合适，因为它也容易受大值主导。换句话说，就是有些好的性能本该计算在内却很容易被忽略掉。更糟糕的是，这一形式下，即使对很多最优的估计器，BEEQ的值也远大于1，这是与直观相悖的。因此，几何均值较为合适，几何均值形式下的定义为。由于数值原因，BEEQ通常是通过其对数形式进行计算得到的：

BEEQ的取值范围为

式中，rmin=min{r1,…,rM}, rmax=max{r1,…,rM}。

2.2.2 估计-量测误差比

估计精度不仅依赖于先验信息，还依赖于量测值的精度。估计器的一个很优良的性质是估计往往要比量测更精确。估计-量测误差比（Estimate-Measurement Error Ratio, EMER）可刻画相对于量测值的估计性能的改进。假定z与x间的量测函数为z=g(x,v)，其中v为量测噪声，则EMER定义为

式中，AEE*表示量测空间里的AEE，即

式（2.2-6）的定义表明：在评估估计相对于量测的性能时，是把量测值xi和估计值分别转换到量测空间而进行的，计算的是x和之间的平均距离与x和z之间平均距离的比值。这里仍然不推荐使用RMSE形式。

和BEEQ类似，EMER的几何均值形式为

和BEEQ的式（2.2-4）类似，EMER的两种形式都以ρ 或ρ*的最小值和最大值为上下界。显然，对于一个好的估计器，仍期望EMER的值小于1。这意味着，估计值比量测值更为精确。EMER越小，说明相对于量测值的估计精度越高。