对于比较复杂的系统,当框图或信号流图的变换和简化方法都显得烦琐费事时,可根据梅森增益公式直接求取框图的传递函数或信号流图的传输量。梅森增益公式为
(2-71)
式中,T为从源点至任何节点的传输;Pk为第k条前向通道的传输;Δ为信号流图的特征式,是信号流图所表示的方程组的系数行列式,其表达式为
(2-72)
式中,∑L1为所有不同回路的传输之和;∑L2为任何两个互不接触回路传输的乘积之和;∑L3为任何三个互不接触回路传输的乘积之和;∑Lm为任何m个互不接触回路传输的乘积之和;Δk为余因子,即第k条前向通道的余因子,即对于信号流图的特征式,将与第k条前向通道接触的回路传输代以零值,余下的Δ即为Δk。
下面举例具体说明如何使用梅森增益公式求取信号流图的增益。
[例2-16] 根据图2-32给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,并用梅森增益公式求系统传递函数C(s)/R(s)。
[解] 根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的支路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图,如图2-36所示。
图2-36 信号流图
由图2-36可见,从源点R(s)到阱点C(s)之间,有一条前向通路,其增益为
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
没有互不接触回路。因此,流图特征式
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式为
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为