以二阶微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统。从物理意义上讲,二阶系统起码包含两个储能元件,能量有可能在两个元件之间交换,引起系统具有往复振荡的趋势,当阻尼不够充分大时,系统呈现出振荡的特性。所以,典型的二阶系统也称为二阶振荡环节。

在控制工程中,不仅二阶系统的典型应用极为普遍,而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此,着重研究二阶系统的分析和计算方法具有较大的实际意义。

典型二阶系统的动态结构如图3-10所示,其开环传递函数为

图3-10 典型二阶系统的动态结构

  (3-14)

式中,ζ为阻尼比;ωn为无阻尼自然振荡频率。

在实际工程中,对于不同的物理系统,系统参数ζ、ωn所代表的物理意义是不同的。但只要将实际系统的传递函数变换成与式(3-14)相同的标准形式,则很容易获得参数ζ、ωn的具体数值。因此,只要分析出二阶系统标准形式的动态性能指标与其参数ζ、ωn间的关系,便可据此求得任何二阶系统的动态性能指标。

令式(3-14)的分母多项式为零,得二阶系统的特征方程为

  (3-15)

其两个根(闭环极点)为

  (3-16)

下面将根据式(3-15),研究二阶系统的单位阶跃响应情况:

① 当0<ζ<1时,称为欠阻尼状态。此时,特征根为一对具有负实部的共轭复数根,即s1,2=-ζωn±jωn。令ωd=ωn,称ωd为二阶系统的阻尼振荡频率。则s1,2=-ζωn±jωd为一对复数根。

当输入信号为单位阶跃函数rt)=1(t)时,其拉普拉斯变换Rs)=,则

  (3-17)

对上式取拉普拉斯反变换,求得单位阶跃响应为

  (3-18)

式中,β=tan-1/ζ),或β=cos-1ζ,称为阻尼角。由式(3-18)可知,当0<ζ<1时,二阶系统的单位阶跃响应是以ωd为角频率的衰减振荡,其特征根分布和响应曲线如图3-11所示;且阶跃响应随着ζ的减小,其振荡幅度加大,即超调量加大。

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图3-11 欠阻尼情况

② 当ζ=1,称为临界阻尼状态。此时,系统特征根为两个相等的负实根,即s1,2=-ωn,在单位阶跃输入下系统输出的拉普拉斯变换为

则系统的响应为

  (3-19)

由式(3-19)可知,响应曲线无振荡和超调,其特征根分布和响应曲线如图3-12所示。

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图3-12 临界阻尼情况

③ 当ζ>1,称为过阻尼状态。此时,系统特征根为两个不相等的负实根,即s1,2=-ζωn±ωn,在单位阶跃输入下系统输出的拉普拉斯变换为

式中,k1k2k3为待定系数。求得系统的响应为

  (3-20)

由于s1s2为两个不相等的负实数根,则系统的响应随时间t单调上升,无振荡和超调,且阻尼比越大,过渡过程时间越长。在所有无超调的二阶系统中,临界阻尼时,响应速度最快。过阻尼情况的特征根分布和响应曲线如图3-13所示。由于响应中含有负指数项,因而随着时间的推移,对应的分量逐渐趋于零,输出响应最终趋于稳态值。

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图3-13 过阻尼情况

④ 当ζ=0,称为无阻尼状态。此时,系统特征根为一对纯虚根,即s1,2=±jωn。在单位阶跃输入下系统输出的拉普拉斯变换为

对上式进行拉普拉斯反变换可得控制系统的时域响应为

  (3-21)

由式(3-21)可知,系统的单位阶跃响应为等幅振荡波形。系统的等幅振荡是不能正常工作状态,属不稳定状态。

⑤ 当ζ<0时,称为负阻尼状态。此时系统的两个特征根均具有正实部,阶跃响应发散,也就是说阶跃响应的幅值随时间增加趋于无穷大。这样的系统不稳定,不能正常工作。