1.7　轴的可靠度计算

若从广义的概念把引起零件失效的外部因素称作应力，把零件自身抵抗失效的能力称作强度，则常规设计中就是通过判断应力是否超过强度来判断零件的安全性。若将应力与强度视为随机变量，通过计算强度高于应力的概率，就得到零件的可靠度。这就是机械零件可靠度计算的应力-强度干涉模型的基本概念。轴的可靠度计算可按这一基本概念进行。

1.7.1　轴可靠度计算的基本方法

将应力-强度干涉模型具体应用在轴的可靠度计算时，就是以轴的强度指标（例如轴的极限应力σ_lim）和作用应力σ都是随机变量的事实为基础。当用r表示轴的强度指标、s表示作用应力时，轴安全的条件可描述为：

y=r-s>0　　（6-1-22）

式中，y可理解为轴的安全裕度。这时，轴安全的概率P（y>0）就是轴的工作可靠度R，即：

R=P（y>0）=P（r>s）　　（6-1-23）

若轴的应力和强度均服从正态分布，即强度r～N（μ_r，），应力s～N（μ_s，），则安全裕度y=r-s也服从正态分布，即y～N（μ_y，）。其中：

μ_y=μ_r-μ_s，σ_y=　　（6-1-24）

式中　μ_r，μ_s——强度r和应力s的数学期望（均值）；

σ_r，σ_s——强度r和应力s的标准差（均方差）。

安全裕度y的概率密度函数为

　　（6-1-25）

因此，轴的可靠度为

　　（6-1-26）

式中，ϕ为标准正态分布随机变量的积分函数值，若令

　　（6-1-27）

则有

R=ϕ（β）　　（6-1-28）

式（6-1-27）称为可靠性连接方程，β称为可靠性系数或可靠度指数。β的值取决于轴的强度和应力的均值与均方差。

利用式（6-1-27）和式（6-1-28），可以根据已知的μ_r、μ_s、σ_r和σ_s来决定强度及应力均服从正态分布时轴的可靠度R，这属于轴的可靠性评估或可靠性分析问题；也可以根据轴的可靠度要求，来决定μ_r、μ_s、σ_r和σ_s中的任何一个值，这属于轴的可靠性设计问题。

1.7.2　轴可靠度计算举例

例　某轴在工作时受到交变的弯曲应力作用，危险截面处弯曲应力的均值μ_s=325MPa，均方差为σ_s=30MPa。轴用材料的弯曲疲劳极限的均值μ_r=425MPa，均方差σ_r=40MPa。若弯曲疲劳极限和弯曲应力均是服从正态分布的随机变量，试求该轴弯曲疲劳强度的可靠度。

解　按式（6-1-27）给出的连接方程，求出可靠性系数β

由机械设计手册可查得对应的可靠度R=ϕ（β）=0.97725。

例　有一轴在工作中受到扭转载荷的作用，扭转载荷的均值μ_T=560N·m，其均方差σ_T=33.6N·m。轴用材料屈服极限的均值为μ_r=240MPa，其均方差σ_r=19.2MPa。若扭转载荷与轴用材料屈服极限均为服从正态分布的随机变量，试按可靠度为90%的要求设计轴危险截面的直径d。

解　设轴危险截面处的抗扭截面模量为W_T，则轴危险截面处剪应力的均值μ_s及均方差σ_s分别为：

按照可靠度为90%的要求，由机械设计手册可查得R=ϕ（β）=0.9时，其对应的可靠性系数β=1.28，于是按式（6-1-27）有

由上式可解出轴危险截面处的抗扭截面模量W_T≈5689mm³。

则轴危险截面处的直径

显然，只要将轴危险截面处的直径设计得大于31mm，就可保证轴的工作可靠度不低于90%。