1.3 质量守恒方程封闭的两方程模型（模型）_化工计算传质学-QQ阅读男生玄幻网

书名：化工计算传质学
作者名：余国琮袁希钢
本章字数：5067字
更新时间：2020-08-27 21:28:47

1.3　质量守恒方程封闭的两方程模型（模型）

为了描述湍流条件下的质量传递过程，经过雷诺时均后的质量方程式（1-3）中出现了新的变量，即雷诺质流。获得该变量的理论模型，从而使得式（1-3）以及计算流体力学方程（见附录Ⅰ）组成的方程组实现封闭则是计算传质学的核心问题。

根据湍流动量、热量传递的类似，引用Boussinesq假设，可将雷诺质流表达为时均浓度梯度的函数：

　　（1-6）

式中，D_t表示组分n的湍流传质扩散系数（略去下标n，下同，单位为m²·s^-1），它与流场、组分浓度场及温度场相关。由于3个方向的都由统一的式（1-6）关联，故在此模型中认为D_t是各向同性的。但由于浓度梯度随位置而变化，故D_t的各向的梯度也会不相同，这和D_t是各向同性不矛盾。

将式（1-6）代入式（1-3），可将式（1-3）简化为：

　　（1-7）

在上式中U_i可由计算流体力学方程组求出，如果D_t能求解，则方程可封闭，从而求出C的分布。

1.2节传统方法中的特征数关联法即利用传递相似性原理，假设湍流中的动量传递与质量传递完全类似，D_t只与流场有关，而与组分种类、浓度完全无关，则可有：

　　（1-8）

式中，μ_t为湍流黏度，可根据计算流体力学求出（参阅附录Ⅰ）；Sc_t为湍流施密特数，，文献上常根据经验假设为一个常数。这种方法虽然简单，但由于其依赖经验假设的特征，不属于严格的计算传质学方法。

而模型，即两方程模型，则是获得D_t模型方程的一种理论方法。

1.3.1　两方程模型（模型）的导出

上节所述的常用模型只是把湍流传质扩散系数与流场等参数关联起来，而与组分浓度脉动的大小没有任何关联。然而很多实验研究表明，湍流传质扩散系数除与流场（即湍流动能k及其耗散率）密切有关外，还与组分浓度脉动大小及其耗散率有关，而组分浓度脉动大小可用代表组分浓度脉动平均偏差程度的组分脉动浓度方差来表示。

湍流传质扩散是由于流体中的速度湍动和存在流体中的浓度湍动而引起的，而虽然分子扩散仍会存在，但D与相比，分量很小。因此可以认为湍流传质扩散的程度（以湍流传质扩散系数表示）等于湍流的湍流动能k乘以其存在时间（即衰变时间），即，而特征扩散时间与速度方差衰变时间及浓度脉动方差衰变时间有关，而与k及其耗散率有关，与及有关。因此特征扩散时间可表示为：

各参数的因次（量纲）依次为：

采用因次分析方法，上式可写为：

根据方程中各参数因次的指数（幂）相等，而各参数的因次式为：

对于因次m

对于因次s

上两式的解可以是：

由此可得：

湍流传质扩散系数按上式可表示为：

　　（1-9）

式中，为比例系数。上式是脉动方差模型计算以求解湍流传质扩散方程的公式。由上式可见，计算就需要知道和的数值。为此，可通过建立下述方程求出。

1.3.1.1　方程的建立

（1）浓度脉动方差的精确方程

将式（1-2）代入式（1-1），减去式（1-3），可得脉动量的输运方程为：

　　（1-10）

将上式两边同乘以，并取雷诺时均，可得：

　　（1-11）

上式可进行简化，方程的左方可变为：

对于式（1-11）的右方，可做如下简化。根据下式：

故有：

上式乘以D，并根据定义等于浓度方差耗散率，即，式（1-11）右边第一项可简化为：

对式（1-11）右边第二项，由于：

故得：

对式（1-11）右边第三项，由于：

故得：

而式（1-11）右边第四项为：

综合以上各式，可得方差的精确方程为：

　　（1-12）

式中，右边第一项是由分子运动和湍流脉动引起的组分浓度脉动方差的输运项；第二项是由平均浓度梯度引起的脉动质流产生项；第三项是耗散项。除分子运动引起的方差输运项外，其他各项均需进行模型化。

（2）方程的模型化

式（1-12）中右方的和，可根据类似Boussinesq的假设与其相应时均量的梯度成正比，即：

式中，为校正常数，通常可取为1。的模型化方程式（1-12）变为：

　　（1-13）

上式和式（1-12）均含有未知量，需进一步求解。求解可有下述两个途径。

①通过实验求得值　设浓度方差衰变时间与速度方差衰变时间之比为r_c，即：

由于k、ε、的方程为已知，如果用实验方法得出值，则可求得。Lemoine等通过实验求得流体和发光染料通过栅格时，在主流动处的值平均为0.9，在近壁处的值则有所上升^［24］。Spadling对湍动射流得出^［25］，Launder等对湍动剪切流得出^［26］。因此可以认为值随着不同流场和浓度场而有不同数值，并且亦随不同位置而有所变化。

实际上，如果认为值是一个常数，可以证明一方程模型等同于零方程模型。将附录Ⅰ中的式（Ⅰ-14）除以式（1-9），经整理后可得：

上式左方即为湍流施密特数，，式中若为常数，则亦为常数，即等同于零方程模型。

由此可见，采用某一值的方法来求解一方程模型，是有很大偏差的，故很少应用。

②建立方程　如果能建立方程求解出，则浓度脉动方差模型就可以应用。实际上，方程则与方程一起就可形成计算传质学的两方程模型，如下节所示。因此也可以说两方程模型是模型的发展。

1.3.1.2　ε_c'方程的建立

（1）ε_c'的精确方程

将瞬时传质方程式（1-1）对求导数得：

上式乘以得：

　　（1-14）

将式（1-2），即、两式，代入上式，并进行时均运算得：

　　（1-15）

将式（1-3）对求导数，然后乘以，并进行时均运算得：

　　（1-16）

从式（1-15）中减去式（1-16），并定义，可得：

　　（1-17）

上式就是浓度方差耗散率的精确输运方程，方程右端的第一项是浓度方差耗散率的扩散项，第二、三、四项是的生成项，包括平均浓度梯度、平均速度梯度和脉动引起增加的生成项，第五、六项是的消失项。式（1-17）表示了浓度方差耗散率的输运是经过扩散、产生和消失的过程。方程的各项均需进行模型化才能进行数值计算。

（2）ε_c'方程的模型化

式（1-17）右方第一项，根据类似Boussinque的假设可以得到浓度方差耗散率湍流输运项的模式化形式：

式中，为模型常数。故得：

根据模型化法则，式（1-17）右端第二项可认为与及浓度梯度成正比，其比例常数按量纲相等法则等于，故得：

式（1-17）右端第三项可认为与及速度梯度成正比，其比例常数按量纲相等法则等于，故得：

式（1-17）右端第四项可模型化为，故得：

式（1-17）右端第五项可认为与成正比，其比例常数按量纲相等法则为，故得：

式（1-17）右端第六项可认为与成正比，其比例常数按量纲相等法则为，故得：

综合上述模型化，式（1-17）可写为：

由于DD_t数值甚小，可以忽略，故式（1-17）模型化形式变为：

　　（1-18）

孙志民为简化上式，采用与方程模型化类比的方法^［14］，将式（1-17）右方的生成项（第二、三、四项）模型化为：

将式（1-17）右方的耗散项（第五、六项）模型化为：

再将数值相对很小的项略去，并以式（1-6）代入式（1-18）可得：

　　（1-19）

根据一些计算，发现式（1-18）中的项约是项的3倍，所以可以设想C_c₃的对应项对湍流传质系数的影响不大，可以忽略。

通过对若干个算例结果的比较，证明忽略掉的对应项不会对浓度的计算结果产生影响，对湍流传质扩散系数也产生很小的影响。因此方程可再进一步简化为：

　　（1-20）

（3）模型常数的确定

①根据浓度为标量而确定式（1-18）常数　由于浓度为标量，式（1-18）可由相应标量方程转化，并可采用标量方程的常数。而浓度与温度均为标量，故众多标量及传热的模型及其常数原则上都可以通用。例如式（1-18）常数可采用有关的文献报道：Nagano等的模型常数^［5］，即在式（1-18）中，，，，，，，；Elghobashi等的模型常数^［4］，即在式（1-18）中，1.8，，2.2，，。

实际上对于不同过程设备和操作，这些常数常乘以修正系数f使模拟更为准确（参阅附录Ⅰ）。

②根据及值确定式（1-19）及式（1-20）常数^［8，10］　确定式（1-9）中常数，首先将湍流黏度、湍流施密特数、动量与浓度的时间尺度比和湍流传质系数的定义式综述如下：

综合上述各式，可得到如下的结果：

　　（1-21）

对于标准方程，。虽然时间尺度比不是一个常数，但由于这方面的实验数据缺少，可取平均值为0.9^［27］。由于为不确定值，而且随着模拟类型而变化，可近似地取为0.7^［27］，综合、及值，结果可得。需要指出，由于采取及值的不确定性，故在不同情况下的值可能略有变化。例如，一些研究者令为0.85，仍为0.9，则结果可得。由此可见，方程的模型化只是一种近似的求解，不同模型化可能得出不同的结果，但一般相差不会很大。

③式（1-19）中和的确定　根据封闭模式方程的渐进性原则，当湍流退化为简单湍流时，由封闭模式导出的结果应当和理论、实验或直接数值模拟结果一致。因此和可以根据各向同性湍流中的结果获得。

在各向同性湍流中，在U为恒定的稳态流动情况下，湍动能、湍动能耗散率、浓度方差和浓度方差耗散率方程变为：

　　（1-22）

其中x为流动方向。根据，浓度方差耗散率可表示为：

并且在各向同性湍流中浓度与速度的时间尺度比在流动方向上不变^{［28，29］}。由以上各式可得：

　　（1-23）

比较式（1-22）和式（1-23），可得如下关系：

根据上述两式，如能确定值，则可求得及。若如上述令^［26］，并以标准方程中代入式（1-21）及式（1-22），可得，。如果改变值，例如Nagano令^［5］，得到，。可见及值可根据不同值而有较大变化，但此时值亦要随之修改。

④式（1-19）中的确定。对于式（1-19）中常数的研究较少，可参考Newman等^［3］及Colin等^［6］的研究工作，按照传热与传质的类比，可以取为2.0。

⑤式（1-13）中和式（1-18）中的确定。根据传热与传质之间的相似性，并与Elghobashi等^［4］的选择相同，可有。

综合上述式（1-19），各项常数为：，，2.0，，2.22，，。

孙志民经过对精馏过程的测算，认为项贡献很小，可以忽略，即可进一步简化式（1-20）模型常数为：，，，，。

（4）应用不同ε_c'模型及常数求解浓度分布及D_t的比较

①应用两方程模型求解传质过程　应用两方程模型来封闭求解传质微分方程，共有未知量11个，即流体力学方面7个（）和传质方面4个（）。而求解方程亦有11个，即流体力学方程7个（1个连续方程、3个动量方程、1个方程、1个k方程和1个ε方程），传质方程4个（1个传质方程、1个方程、1个方程、1个方程），故能封闭求解。

②应用不同模型求解的比较　采用两方程模型和式（1-18）、式（1-19）、式（1-20）三者之一及相应常数均可求解传质微分方程。孙志民对此分别应用于精馏过程的计算并做比较^［10］，模拟对象是工业规模筛板精馏塔中的一块塔板^［30］。其结果见于图1-1及图1-2。图中显示出采用3个不同方程来计算的塔板上浓度分布相差不大，对于的分布亦相似，但按式（1-19）及式（1-20）计算的平均值与Cai等的实验结果^［30］更为符合。可见采用不同模型化的模型和相应常数也能得到相近的模拟结果。