1.5　计算传质学的数学方程体系

严格意义上的计算传质学，应该是动量、热量和质量传递的耦合计算，它由下列3个部分组成：计算流体力学方程组，包括连续性（质量守恒）方程、动量守恒方程及其封闭方程，其主要目的是求出流速分布（流速场）；计算传热方程组，包括能量守恒方程及其封闭方程，其主要目的是求出温度分布（温度场），它与流速分布（流速场）相关联；计算传质方程组，包括组分质量守恒方程及其封闭方程，其主要目的是求出浓度分布（浓度场），它与流速分布（流速场）及温度分布（温度场）相关联。

对于上述3个方程组所涉及的方程，若采用目前广泛应用各自的两方程模式，则可综合列出如下。

需要说明的是，在化工传质过程中常常是涉及多相和多组分，故下述数学模型是指有关相、有关组分的质量、动量、能量以及其湍流特征的守恒方程。关于方程中源项的计算将在下面各章中阐述。

由于传质过程中流体有质量和体积的变化（例如在气液吸收过程中气体的质量及体积均逐渐变小），故连续性方程不为零，改称为质量守恒方程。并且在动量守恒方程组中含有的项也不为零，这与一般无质量变化的流体流动情况下此项为零不同。方程中的也不是常数，只有在相间的净传质量很小时可近似地认为是常数。

1.5.1　数学模型方程组

（1）流体力学方程组（模型）

质量守恒方程为：

动量守恒方程为：

　　（Ⅰ-4）

公式编号以Ⅰ～Ⅶ开头的表示附录Ⅰ～Ⅶ中的公式，例如Ⅰ-4表示附录Ⅰ中的式（Ⅰ-4）。上式中：

模型化的k方程为：

　　（Ⅰ-15c）

模型化的ε方程为：

　　（Ⅰ-17a）

方程为：

　　（Ⅰ-14）

模型常数为：，，，，^［32］。

（2）传热方程组（-ε_T'模型）

能量守恒方程为：

　　（Ⅱ-3a）

或写为：

　　（Ⅱ-3b）

其中

模型化的方程为：

　　（Ⅱ-6c）

模型化的方程为：

　　（Ⅱ-9）

方程为：

　　（Ⅱ-7）

模型常数为：，，，，，^［6］。

（3）传质方程组（模型）

组分质量守恒方程为：

其中

模型化的方程为：

模型化的方程为：

方程为：

模型常数为：，1.8，2.2，，，^［6］。

按照上述采用两方程模式的3个方程组，对于用计算传质学求解有流动、传热和传质的化工过程需要解15个方程，即7个计算流体力学方程、4个计算传热方程及4个计算传质方程，因为含有15个未知量，即。如果不采用两方程封闭，而采用雷诺应力、雷诺热流及雷诺质流三个方程组封闭，则流体力学方程为12个，雷诺热流及雷诺质流各4个方程，使方程总数变为20个。在化工生产过程中，往往涉及多个相，例如气液两个相常同时存在，则模拟过程时还要分列描述各相的方程，这样更会使方程总数成倍增加。

由此可见，计算传质学（即传质过程的深入模拟计算）要涉及求解大量的微分方程，计算量很大，一般需使用商用软件来进行，如FLUENT、STAR CD、CFX等。但在一些传质设备中，温度对传质的影响较小或温度变化不大时，为了简化计算往往省略对传热的计算。如在精馏塔中，每一块塔板上的温度变化不大，所以经常忽略温度的影响以简化计算，这样就只包含动量传递和质量传递的方程组。但对于有热效应的化学吸收、化学反应和吸附过程，热量传递的方程就必须包括在计算传质方程体系中。

计算传质学方程体系的相互关系可由图1-3描述^［9］。

1.5.2　数学模型方程体系的统一

通过上面的内容可以看出，动量、热量和质量传递方程中的变量都服从一个通用的守恒原理。广义变量的守恒方程用散度形式可表示为：

　　（1-38）

上式从左到右分别是不稳态项、对流项、扩散项以及源项，不同的变量对应的扩散系数以及源项也不相同。式（1-38）在三维直角坐标系下的张量形式为：

　　（1-39）

在二维轴对称柱坐标系下的张量形式为：

　　（1-40）

下面以表格的形式列出直角坐标系构成计算传质学模型中不同变量对应的扩散系数以及源项，以便比较查阅。需要说明，不同研究者对公式的模型化方式有所不同，同时由于应用范围不同，常数值也各有不同。表1-1中只列出较典型的模型化方式及常数值。此外，表中的源项常可简化，例如表中项在一般情况下数值较小，与其他项比较，可以部分忽略，又如对于不可压缩流体，并且无传质或者传质量很小时，可设等。

为了使式（1-39）符合传质方程组，在表1-1中的组分浓度C的单位从质量浓度（kg·m^-3）改为组分的质量分数（无单位，其值从0到1），即组分质量浓度组分质量分数C×混合物质量（即混合物密度，单位为kg·m^-3）。