2.1　微分方程

（1）线性微分方程

线性元件或线性定常连续系统运动特性的数学方程是常系数线性微分方程，其一般形式为

　　 （22-1-1） 　　

式中　x——元件或系统的输入量；

y——元件或系统的输出量；

a_n、…、a₀，b_m、…、b₀——由系统的结构参数决定的常系数，实际的系统，均满足m≤n的条件。

（2）非线性运动方程的线性化

实际的自动控制系统中经常存在一些非线性因素，液压伺服系统中通过阀的流量特性就是非线性方程。当研究在某一工作点附近的运动特性或所研究的系统变量在动态过程中偏离平衡点不大时，可以应用线性化的方法把非线性运动方程转化为线性微分方程，称为非线性方程的线性化。线性化的目的是使某些非线性问题近似为线性问题。线性化的数学方法是将非线性函数在某工作点展开成泰勒级数后，取其一阶近似式，并以增量的形式表示相应的变量。线性化的公式如下。设非线性函数

y＝f（x）　　（22-1-2）

其稳定工作点为x₀，y₀，则线性化后的线性方程为

　　 （22-1-3） 　　

其中

Δy＝y－y₀，Δx＝x－x₀

若非线性函数　　y＝f（x₁，x₂）　　（22-1-4）

其稳定工作点为x₁₀，x₂₀和y₀，则线性化后的线性方程为

　　 （22-1-5） 　　

其中

Δx₁＝x₁－x₁₀，Δx₂＝x₂－x₂₀，Δy＝y－y₀

线性化举例，在液压伺服系统分析中，阀口的流量方程为

式中　Q——通过阀的流量；

C——流量系数；

x——阀芯位移量或阀的开口度；

p_L——负载压力；

p_s——恒定的供油压力。

若阀处于某平衡状态时相应的变量为Q₀，x₀和p_L0，则在平衡点附近线性化后，可得线性方程为

ΔQ＝K_qΔx－K_cΔp_L

式中　ΔQ＝Q－Q₀；

Δx＝x－x₀；

Δp_L＝p_L－p_L0；

K_q——流量增益，；

K_c——流量压力系数，。