4.2　控制系统动态品质分析

控制系统的动态品质分析是在系统稳定的条件下确定系统的各项动态性能指标，以衡量系统性能的好坏。确定系统动态性能指标可以采用时域分析法和频域分析法。时域法是根据系统的单位阶跃响应函数来求取动态性能指标，其中包括利用数字计算机进行仿真分析。频率法是根据系统的闭环或开环频率特性间接求取系统的动态性能指标。

4.2.1　时域分析法

（1）一阶系统的单位阶跃响应函数及性能指标计算

设一阶系统的闭环传递函数为

　　 （22-1-15） 　　

式中　T——系统的时间常数。

单位阶跃响应函数如图22-1-7所示。

图中响应函数c（t）为

　　 （22-1-16） 　　

t_s＝4T

（2）二阶系统的单位阶跃响应函数及性能指标计算

设二阶系统的闭环传递函数为

　　 （22-1-17） 　　

式中　ω_n——系统无阻尼自然角频率；

ζ——系统阻尼比。

其单位阶跃响应函数如图22-1-8所示。

图中响应函数c（t）为

　　 （22-1-18） 　　

欠阻尼（0＜ζ＜1）情况下，系统动态性能指标的计算式为

　　 （22-1-19） 　　

　　 （22-1-20） 　　

　　 （22-1-21） 　　

　　 （22-1-22） 　　

式中，Δ为允许误差范围，通常Δ＝±（0.02～0.05）。若0＜ζ＜0.8时，忽略项，则

　　 （22-1-23） 　　

（3）三阶系统的单位阶跃响应函数

设三阶系统的闭环传递函数为

　　 （22-1-24） 　　

其单位阶跃响应函数如图22-1-9所示。

图中响应函数c（t）为

　　 （22-1-25） 　　

式中　　　0＜ζ＜1

　　

（4）高阶系统的单位阶跃响应函数

设高阶系统的闭环传递函数为

若系统的特征方程N（s）＝0具有n个不相重的根s_i，则单位阶跃响应函数为

　　 （22-1-26） 　　

式中　

　　

若系统的特征方程的根中包含重根和共轭复根，则可参阅第1篇中拉氏反变换中有关论述。

高阶系统若闭环极点中某一实数极点或某一对共轭极点，其距虚轴的距离与其他极点距虚轴距离之比小于或等于1/5，且在该极点附近不存在闭环零点，这类极点称为系统的主导极点。具有一对共轭极点为主导极点的高阶系统可以近似为二阶系统，其性能指标可以按二阶系统的方法进行计算。此时高阶系统的单位阶跃响应函数c（t）为

c（t）＝1－a₁exp（－ζω_nt）cosω_dt－a₂exp（－ζω_nt）sinω_dt　　t≥0　　（22-1-27）

式中　

　　

s₁，s₂——系统的一对共轭主导极点。

4.2.2　频率分析法

频率分析法是根据系统的频率特性来确定闭环系统过渡过程的品质指标。工程设计中主要是运用开环和闭环对数频率特性来评价系统的瞬态响应特征。当利用开环对数频率特性时，主要利用开环频域指标，如穿越频率ω_c、相位裕量γ和增益裕量K_g等来评价系统；当利用闭环对数频率特性时，主要利用闭环频域指标，如谐振频率ω_r、截止频率ω_b和谐振峰值M_r等来评估系统。这些指标与闭环系统瞬态响应的关系，对二阶系统来讲是可以准确计算的，但对高阶来讲，由于二者的关系比较复杂，通常是近似估算或按经验公式估算。

（1）二阶系统频域性能指标与时域性能指标之间的关系

设二阶系统的闭环传递函数为

系统开环频域指标与时域指标的关系为

　　 （22-1-28） 　　

　　 （22-1-29） 　　

　　 （22-1-30） 　　

频域指标与时域指标的换算关系如图22-1-10所示。

系统闭环频域指标与时域指标的关系为

　　 （22-1-31） 　　

　　 （22-1-32） 　　

　　 （22-1-33） 　　

　　 （22-1-34） 　　

频域指标与时域指标的换算关系如图22-1-11所示。

利用上述公式或关系曲线来确定闭环系统的过渡过程的品质时可按以下步骤来进行：

①根据开环波德图或闭环波德图确定频域指标穿越频率ω_c、相位裕量γ或谐振峰值M_r、截止频率ω_b和谐振频率ω_r；

②根据γ或M_r求取系统的阻尼比ζ；

③根据γ或M_r求取系统瞬态响应的超调量σ_p；

④由阻尼比ζ和ω_c/ω_n或ω_r/ω_n或ω_b/ω_n求取系统的无阻尼自然角频率ω_n；

⑤根据公式或关系曲线求取系统调整时间t_s。

（2）高阶系统频域指标与时域指标的关系

①若高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点，则可以近似为二阶系统，系统的频域指标和时域性能指标的关系同二阶系统。

②一般高阶系统，可按以下经验公式来估算：

σ_p＝［16+40（M_r－1）］％　　1≤M_r≤1.8　　（22-1-35）

　　 （22-1-36） 　　

K＝2+1.5（M_r－1）+2.5（M_r－1）²　1≤M_r≤1.8

式中　ω_c——开环对数幅频特性的穿越频率（亦称增益交界频率）；

M_r——闭环频率特性的谐振峰值。

当系统的谐振频率ω_r和穿越频率ω_c相差较小时，系统的谐振峰值M_r和相位裕量γ之间有以下的近似关系

指标的关系如图22-1-12所示。

4.2.3　控制系统波德图的绘制

波德图可以用人工绘制其近似图形，绘制方法简单；若人工绘制精确的波德图就很烦琐。利用计算机绘制波德图既快速又精确，同时，可以打印出波德图中的主要参数。如开环波德图中的相位裕量γ、增益裕量K_g、穿越频率ω_c，闭环波德图中的截止频率ω_b等。利用计算机绘制波德图也便于系统的校正。

例如，一控制系统如图22-1-13所示，可以绘出其开环波德图及闭环波德图，如图22-1-14所示 ，还可以打印出该系统的穿越频率ω_c＝8.3rad/s、相位裕量γ＝27.5°、增益裕量K_g＝7dB、截止频率ω_b＝13.7rad/s。