8.4　离散控制系统分析

8.4.1　稳定性分析

（1）稳定条件

离散控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根全部分布在Z平面上以原点为圆心的单位圆内，如图22-1-41所示。

（2）劳斯稳定判据

其判别步骤如下：

①求出离散系统的特征方程D（z）＝0；

②在D（z）＝0中令z＝（1+ω）/（1－ω），求出新方程D′（ω）＝0；

③利用劳斯表判别D′（ω）＝0的根是否均为负实部。若D′（ω）的根全部具有负实部，则D（z）＝0的根全部位于Z平面的单位圆内。

例　离散系统如图22-1-42所示。

系统的闭环脉冲传递函数为

其中 　　

因此　　D（z）＝z²+4.952z+0.368＝0

令 　　

则　　D′（ω）＝6.32ω²+1.264ω－3.584＝0

列劳斯表

劳斯表第一列元素符号变化一次，因此D′（ω）有一个根具有正实部，故D（z）中有一个根位于Z平面上的单位圆之外，系统不稳定。

8.4.2　过渡过程分析

评价离散系统过渡过程品质时，仍以单位阶跃信号作为输入信号，以超调量、过渡过程时间等特征量来描述系统的性能。

（1）单位阶跃响应

设系统如图22-1-43所示。

系统的闭环脉冲传递函数为

其中 　　

故 　　

单位阶跃输入时

则 　　

Z反变换后

C（nT）＝0.368δ（t－1）+1δ（t－2）+1.4δ（t－3）+1.4δ（t－4）+…

输出信号C*（t）如图22-1-44所示。

该系统的单位阶跃响应是衰减振荡，相应的特征值为

c^*（∞）＝1

σ_p＝40％

t_s＝10s（Δ＝0.05）

（2）离散系统的极点分布和瞬态响应之间的关系

离散系统的闭环脉冲传递函数为

　　 （22-1-75） 　　

其中 　　

式中　K——常数；

z_j——系统的零点；

p_i——系统的极点。

则p_j在Z平面上的位置与系统瞬态响应的关系如图22-1-45所示。

8.4.3　稳态误差分析

对于如图22-1-46所示的离散系统，其误差脉冲传递函数Φ_e（z）为

　　 （22-1-76） 　　

利用终值定理，可计算系统的稳态误差e（∞）

　　 （22-1-77） 　　

对于典型的输入函数，系统的稳态误差计算见表22-1-23。