1.1 动力学基本解析

在动力学中专业名称较多，简要解析如下。

激励：引起系统振动的原因，分为确定性激励和随机性激励。确定性激励可以用一个确定的函数来描述激励，例如正弦函数的简谐激励、阶跃函数的力激励、方波或锯齿波的周期激励、脉冲函数的冲击激励；随机性激励则无法直接用函数来描述，例如瞬时的风力、海浪、地震、车辆在路面行驶等，但这些均表现为一定的统计规律，因此采用概率分布函数或功率谱等方法来表达。激励的主要表现形式为系统的初始扰动（如初始速度和初始位移），作用于系统的周期性载荷（如力激励），系统底座的周期性或随机性运动（基础激励，如加速度）等。

响应：系统在激励作用下的运动形式，表现为位移、速度或加速度。

按激励方式将振动分为以下几种形式。

1）自由振动。自由振动是指系统不受任何外力，初始扰动在内力或重力作用下产生运动。动力学方程为，特征是振幅与外界扰动有关，频率为系统固有频率。由于其在数学上表现为无外力状态，因此在模态分析中不能加载外载荷。

2）强迫振动。强迫振动是指系统在外界周期性载荷激励下（力激励、基础激励等）发生的运动。动力学方程为。特征为振幅和频率都与外界激励有关。

3）自激振动。自激振动是指系统不受周期性外力激励的影响，仅在系统内部激发及反馈的相互作用下，产生稳定的周期性振动。以典型Rayleigh方程为例，表达式为，式中的第二项阻尼项为交变阻尼，耗散能量时为正阻尼，吸收能量时为负阻尼。表现为非线性行为，例如机床导轨爬行、机翼颤振、水管中流体的喘振、摩擦啸叫等，特征为振幅与频率均与外界扰动无关，均为系统固有参数。

4）参激振动。参激振动是指系统受周期性或随机性外力激励的影响，但激励不是以外力形式直接施加于系统的，而是通过系统内参数的周期性改变来间接地实现。例如荡秋千，在最高位伸直腿，在下降时逐渐收腿，这样可以让秋千越荡越高。

动力学基本方程为，在数学上表现为二阶非齐次微分方程，求解该方程共有两种方法，一种为模态叠加法，另一种为直接积分法。

模态叠加法的求解方法是先求出其对应的齐次微分方程的特征根，并根据特征解形式采用待定系数法求出特征解，最后求出二阶非齐次微分方程的通解。如图1-1-1所示，一个刚度为K的弹簧振子系统，下方挂质量为M的物体，垂直方向存在扰动力，忽略重力、弹簧质量和阻尼，求物体的运动规律。

解：按动力学通用方程得

取对应齐次方程为，特征根为。

齐次方程通解为：

（模态结果）

1）当时，非齐次方程的特征解为：

，将其代入通用方程，可得，则通解为：

当时，振幅将非常大，这是共振的表现。

2）当时，非齐次方程的特征解为：

，将其代入通用方程可得：，则通解为：

当时，振幅将非常大。在频率相等的工况下，随着时间的推移，振幅越来越大。

虽然模态叠加法简单易用，但对于非线性系统则难以运用，因此直接积分法常用于非线性的瞬态分析。由于直接积分法对时间域直接离散，列出每一段时间域中位移、速度和加速度的关系式，因此计算过程较模态叠加法要长。直接积分又分为显式算法和隐式算法。