5.3 埃及分数再思考

古埃及人是用什么方法把分数转化为埃及分数的呢？古书中没有记载，后人也弄不明白，这又是一个谜。1202年，意大利比萨的一位绰号叫斐波那契的人，在他出版的一本名叫《计算之书》的著作中提出：任何真分数均可表示为有限个埃及分数之和。

这个结论直到1880年才被英国数学家西尔维斯特严格证明。

其实任何真分数（a＜b）都可以表示成：

式中：x表示的整数部分，即不超过的最大整数，它常记作［］。

反复利用上式即可将化为埃及分数之和。

例如，将化为埃及分数之和，因为x表示的整数部分，，整数部分为1，所以x=1。

由式（1）有

将继续代入式（1），有，因此，。

若注意到下面的式子：

你会发现：分数转化为埃及分数之和的表示法并不是只此一种。

近年来，人们又对埃及分数的研究产生了极大的兴趣，比如有人发现：分母是奇数的分数，总可以表示为分母全是奇数的相异的埃及分数之和。

再如，关于1表示为埃及分数之和的问题就有不少新的提法，比如1能否表示为分母全部是奇数的埃及分数之和呢？若能，最少有多少项？