1.5　应力、应变以及应力-应变关系

1.5.1　应力的概念与定义

分布内力在一点的集度称为应力（stress）。作用线垂直于截面的应力称为正应力（normal stress），用希腊字母σ表示；作用线位于截面内的应力称为剪应力或切应力（shearing stress），用希腊字母τ表示。应力的单位为Pa或MPa，工程上多用MPa。1MPa=1N/mm2=1MN/m2。

一般情形下，横截面上的附加分布内力，总可以分解为两种：作用线垂直于截面的；作用线位于横截面内的。图1-8所示为作用在微元面积ΔA上的总内力ΔFR及其分量，其中ΔFN和ΔFQ的作用线分别垂直和作用于横截面内。于是上述正应力和切应力的定义可以表示为下列极限表达式

需要指出的是，上述极限表达式的引入只是为了说明应力作用于一点的概念，二者在应力计算中没有实际意义。

1.5.2　应变的概念与定义

如果将弹性体看作由许多微单元体（简称微元体或微元）所组成，弹性体整体的变形则是所有微元体变形累加的结果。而单元体的变形则与作用在其上的应力有关。

围绕受力弹性体中的任意点截取微元体（通常为正六面体），一般情形下微元体的各个面上均有应力作用。下面考察两种最简单的情形，分别如图1-9（a）、图1-9（b）所示。

对于正应力作用下的微元体[见图1-9（a）]，沿着正应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变形称为线变形。表示弹性体在各点处线变形程度的量，称为正应变或线应变（normal strain），用εx表示。根据微元体变形前后x方向长度dx的相对改变量，有

式中：dx——变形前微元体在正应力作用方向的长度；

du——微元体变形后相距dx的两截面沿正应力方向的相对位移；

εx——线应变，下标x表示应变方向。

切应力作用下的微元体将发生剪切变形，剪切变形程度用微元体直角的改变量度量。微元直角改变量称为剪应变（shearing strain）或切应变，用γ表示。在图1-9（b）中，γ=α+β，γ的单位为rad。

关于正应力和正应变的正负号，一般约定：拉应变为正；压应变为负。产生拉应变的应力（拉应力）为正；产生压应变的应力（压应力）为负。关于切应力和切应变的正负号将在以后介绍。

1.5.3　应力与应变之间的物性关系

对于工程中的常用材料，实验结果表明：若在弹性范围内加载（应力小于某一极限值），对于只承受单方向正应力或承受切应力的微元体，正应力与正应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系，即

式中：E——弹性模量（modulus of elasticity）或杨氏模量（Young’s modulus）；

G——切变模量（shear modulus）。

式（1-4）和式（1-5）为描述线弹性材料物性关系的方程，统称为胡克定律（Hooke’s law）。所谓线弹性材料是指弹性范围内加载时应力-应变满足线性关系的材料。图1-10中所示为弹性范围内加载时的应力-应变关系，对于正应力与正应变、切应力与切应变，上述关系均称为胡克定律。